1r ciclo Energía y momento relativistas

[edugp17]

Hola alguien me podría aclarar cuando hay que usar la energía para una partícula no relativista E = p^2/2m y cuando la relativista E = raíz( p^2c^4 + m^2c^4)
Y si me podría decir cual usar en este ejercicio se agradecería :

La resolución máxima que se puede conseguir en un microscopio viene dada por la longitud de onda utilizada. Debido a la difracción, la distancia mínima observable seria del orden de λ. Si queremos ver el interior de un átomo (∼ 1 ˚A) necesitaremos entonces una resolución de al menos 0.1 ˚A. (a) Si utilizamos un microscopio electrónico, ¿Cuál ha de ser la energía cinética mínima de los electrones? ¿A que velocidad se mueven? (b) Si quisiéramos utilizar un microscopio óptico, ¿Cuál debería ser la energía mínima de los fotones? ¿En que región del espectro magnético se encontrarían? ¿A que velocidad se mueven?

[Alriga]

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...Hola alguien me podría aclarar cuando hay que usar la energía para una partícula no relativista E = p^2/2m y cuando la relativista E = raíz( p^2c^4 + m^2c^4)

E = raíz( p^2 c^2 + m^2 c^4 )

Nota que ambas expresiones, aplicadas a una partícula con masa que se mueve a una velocidad v<c no son identificables entre si, puesto que:

$E=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}$

Nos proporciona la energía total de la partícula, es decir la energía de su masa mas la energía cinética.

Mientras que la expresión

$$E_c=\dfrac{p^2}{2m}$$

Nos proporciona tan solo la energía cinética de la partícula, y es válida para calcular solo eso, la energía cinética, y solo cuando v<<c

La expresión relativista de la energía cinética de una partícula en movimiento, siempre válida para cualquier v<c es:

$$E_c=(\gamma-1)m c^2$$

Es esta última (2) la que es comparable con la newtoniana (1) Y la expresión (1) solo puede usarse en sustitución de (2) cuando v<<c

La resolución máxima que se puede conseguir en un microscopio viene dada por la longitud de onda utilizada. Debido a la difracción, la distancia mínima observable seria del orden de λ. Si queremos ver el interior de un átomo (∼ 1 ˚A) necesitaremos entonces una resolución de al menos 0.1 ˚A. (a) Si utilizamos un microscopio electrónico, ¿Cuál ha de ser la energía cinética mínima de los electrones? ¿A que velocidad se mueven?

Queremos una longitud de onda de De Broglie para el haz de electrones de 0.1 angstrom. Primero hacemos el cálculo relativista:

$\lambda=0.1$ angstrom

$\lambda=10 \ pm=10\cdot 10^{-12}$ m

$h=6.6261\cdot 10^{-34}$ S.I.

$p=\dfrac h{\lambda}=6.6261\cdot 10^{-23}$ S.I.

$c=299792458$ m/s

La masa del electrón

$m=9.1094\cdot 10^{-31}$ kg

$E=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}=8.4247\cdot 10^{-14} \ J=525.82 \ keV$

El factor de Lorentz

$\gamma=\dfrac E{m c^2}=1.02901$

La energía cinética

$E_c=(\gamma-1)m c^2=\boldsymbol{2.3754\cdot 10^{-15}}$ J

La velocidad:

$v=c \sqrt{1-\dfrac{1}{\gamma^2}}=\boldsymbol{70688}$ km/s


Si realizásemos el cálculo usando las expresiones newtonianas del momento lineal y de la energía cinética:

$p=\dfrac h{\lambda}=6.6261\cdot 10^{-23}$ S.I.

$E_c=\dfrac{p^2}{2m}=\boldsymbol{2.4099\cdot 10^{-15}}$ J

$v=\dfrac p m=\boldsymbol{72739}$ km/s

El error cometido en la velocidad es del 2.90% y el error cometido en la energía cinética del 1.45% Tu pregunta "¿cuándo para este tipo de situaciones podemos usar las expresiones no relativistas?" tiene como respuesta "depende del error que estés dispuesto a aceptar"

En este ejercicio, si te parecen aceptables errores de hasta el 3% puedes usar las expresiones newtonianas, pero si necesitas los cálculos con una precisión de por ejemplo el 1% debes usar necesariamente las expresiones relativistas, que por cierto ya ves que no son muy complicadas.

En este ejercicio el ratio $\beta=v/c=0.2358$ . Cuanto mayor sea este ratio, mayor error cometerás si usas las expresiones newtonianas en vez de las relativistas.

(b) Si quisiéramos utilizar un microscopio óptico, ¿Cuál debería ser la energía mínima de los fotones?

$\lambda=10\cdot 10^{-12}$ m

$E=h \nu=\dfrac{h c}{\lambda}=1.9865\cdot 10^{-14} \ J=123.98 \ keV$

$p=\dfrac h{\lambda}=6.6261\cdot 10^{-23}$ S.I.

¿En que región del espectro magnético electromagnético se encontrarían?

La energía de 123.98 keV corresponde a Rayos X duros, justo en la frontera de lo que ya empiezan a considerarse rayos gamma. En general, se considera que corresponden a los rayos X las longitudes de onda comprendidas entre 10 pm y 15 nm.

¿A que velocidad se mueven?

El fotón al ser una partícula sin masa, en el vacío se mueve siempre a la velocidad de la luz, independientemente de su energía.

Saludos.