Desarrollo en serie de un operador

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Re: Desarrollo en serie de un operador

Se puede ver el efecto del operador $\hat{T_{a}}=e^{ia\frac{\hat{P}}{\hbar}}=e^{ia\left (\frac{-i\hbar}{\hbar}\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \right ) }=e^{a\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}}$ sobre una función $\Psi (x)$ desarrollando el operador en la forma $1+a\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}+\frac{a^2}{2}\frac{\mathrm{d^2} }{\mathrm{d} x^2}+\frac{a^3}{3!}\frac{\mathrm{d^3} }{\mathrm{d} x^3}+...$ y luego aplicándolo a $\Psi (x)$

Mi pregunta es: ¿Cómo se hace este desarrollo si el operador no se puede evaluar en un punto como se hace con las funciones?

Muchas gracias por cualquier tipo de aclaración o sugerencia.

No acabo de entender qué quieres decir con que el operador "no se puede evaluar en un punto como se hace con las funciones".

En general, un operador se aplica sobre un elemento del estado de Hilbert, un ket $\big|\psi\big>$; de forma que a cada elemento le hace corresponder otro, $\big|\psi ' \big> = \hat O \big|\psi\big>$. La exponencial de un operador, por definición, es otro operador que se define como la serie que has puesto,

$$\eee{\hat O} = \sum_n \frac1{n!} \hat O^n .$$

Cada término se evalúa aplicando n veces el operador. La forma más senzilla de evaluar esto es descomponer el estado al que se aplica el operador en los estados propios de $\hat O$, por ejemplo

$$\big|\psi\big> = \sum_i \psi_i \big| o_i\big>.$$

De esta forma, podemos escribir

$$\eee{\hat O} \big|\psi\big> = \sum_{i,n} \frac{\psi_i^n}{n!} \big| o_i\big> .$$

Como dije, esta es la forma más sencilla; por que al ser un estado propio la actuación del operador es muy simple, simplemente multiplicar por el valor propio por cada aplicación del operador. Pero no siempre es posible. En general, lo único que necesitamos es saber como actúa el operador sobre alguna base. En tu ejemplo, el operador es el momento lineal, y sabemos actúa el operador sobre la base de posiciones (es una simple derivada). La base de posiciones es continua, no discreta. Por eso, en vez de una serie discreta de coeficientes $\psi_i$ ahora tenemos una función $\psi(x)$ y en vez de una suma sobre i tenemos una integral,

$$\big|\psi\big> = \int\dd x\ \psi(x) \big| x \big> .$$

Así, pues, la aplicación de un operador (aquí suponemos que se dan todas las condiciones para poder conmutar la aplicación del operador con la integral, algo que más o menos tenemos normalmente garantizado gracias a la condición de cuadrado integrable) simplemente queda

$$\bar|\psi'\big> = \eee{\hat O} \big| \psi \big> =\int\dd x \left(\sum_n \frac1{n!} O^n[\psi](x) \big|x\big>\right).$$

Finalmente, lo que indicaste tú se obtiene de esta última ecuación simplemente descomponiendo el estado $\psi'$ de nuevo en la base de posiciones, $\bar|\psi'> = \int\dd x\ \psi'(x) \dd x$, que es la definición de función de onda (la que conocemos de la versión ondulatoria de la mecánica cuántica),

$$\psi'(x) = \sum_n \frac1{n!} O^n[\psi](x) .$$

No sé si con esto te he respondido. La regla general es la que puse al principio: simplemente, aplicar n veces el operador en cada término. A la práctica, para poder calcularlo necesitamos saber como aplica el operador sobre el estado, y eso normalmente requiere descomponerlo en una base apropiada. En la mecánica cuántica "simple", lo descomponemos en la base de posiciones y eso nos da lo que solíamos llamar función de onda. Otra opción, mucho más cómoda cuando es posible, es descomponer el estado en la base propia del operador.

[jugarmen]

Se puede ver el efecto del operador $\hat{T_{a}}=e^{ia\frac{\hat{P}}{\hbar}}=e^{ia\left (\frac{-i\hbar}{\hbar}\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \right ) }=e^{a\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}}$ sobre una función $\Psi (x)$ desarrollando el operador en la forma $1+a\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}+\frac{a^2}{2}\frac{\mathrm{d^2} }{\mathrm{d} x^2}+\frac{a^3}{3!}\frac{\mathrm{d^3} }{\mathrm{d} x^3}+...$ y luego aplicándolo a $\Psi (x)$

Mi pregunta es: ¿Cómo se hace este desarrollo si el operador no se puede evaluar en un punto como se hace con las funciones?

Muchas gracias por cualquier tipo de aclaración o sugerencia.