como nacen forma orbitales s p d f

[ginin]

hola amigos algo lei que estas formas venian de las ecuaciones de schrodinger investigue pero no halle esa explicacion me intriga saber si estas formas nacieron de ecuaciones determinadas o son solo modelos convenientes gracias por su ayuda!!

[teclado]

Hola,

Por supuesto que las formas de los orbitales no salen de la nada. Como bien dices, son el resultado de resolver la ecuación de Schrödinger para dos partículas con cargas opuestas.

Es una ecuación diferencial en derivadas parciales (separable) que da como resultado una parte temporal $e^{-i\frac{Et}{\hbar}}$ y una parte espacial dada por la siguiente fórmula general:

$\psi_{n,l,m}(r,\theta,\phi) = -\sqrt{\left (\frac{2Z}{a_\mu n}\right )^3\frac{(n-l-1)!}{2n(n+l)!}} e^\frac{-Zr}{a_\mu n}\left (\frac{2Zr}{a_\mu n}\right )^l L_{n-l-1}^{2l+1}\left (\frac{2Zr}{a_\mu n}\right )Y_l^m(\theta, \phi)$

Donde

$a_\mu = \frac{4\pi\epsilon_0\hbar^2}{\mu e^2}$
$\mu = \frac{m_eM_p}{m_e+M_p}$

Y $n$, $l$ y $m$ son los números cuánticos del orbital.

$L_i^j(x)$ son los polinomios asociados de laguerre, y $Y_i^j(\theta, \phi)$ los armónicos esféricos.

La resolución paso a paso es un poco larga para un post, aquí abajo la tienes en PDF.

[ginin]

Hola,

Por supuesto que las formas de los orbitales no salen de la nada. Como bien dices, son el resultado de resolver la ecuación de Schrödinger para dos partículas con cargas opuestas.

Es una ecuación diferencial en derivadas parciales (separable) que da como resultado una parte temporal $e^{-i\frac{Et}{\hbar}}$ y una parte espacial dada por la siguiente fórmula general:

$\psi_{n,l,m}(r,\theta,\phi) = -\sqrt{\left (\frac{2Z}{a_\mu n}\right )^3\frac{(n-l-1)!}{2n(n+l)!}} e^\frac{-Zr}{a_\mu n}\left (\frac{2Zr}{a_\mu n}\right )^l L_{n-l-1}^{2l+1}\left (\frac{2Zr}{a_\mu n}\right )Y_l^m(\theta, \phi)$

Donde

$a_\mu = \frac{4\pi\epsilon_0\hbar^2}{\mu e^2}$
$\mu = \frac{m_eM_p}{m_e+M_p}$

Y $n$, $l$ y $m$ son los números cuánticos del orbital.

$L_i^j(x)$ son los polinomios asociados de laguerre, y $Y_i^j(\theta, \phi)$ los armónicos esféricos.

La resolución paso a paso es un poco larga para un post, aquí la tienes en PDF.

ok muchas gracia lo revise y no se si las soluciones se refieran a que haya orbitales esfericos,alargados como globos o achatados por que no vi en el pdf soluciones que expresaran esas formas gracias por su ayuda!!

[teclado]

Los dibujos que ves en los libros de química se obtienen al hacer $|\psi|^2=constante$. Por ejemplo, para $\psi_{1,0,0}$, se tiene que $Y_0^0=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{\pi}}$, y $\psi_{1,0,0}(r,\theta,\phi)$ sólo depende de $r$. Al hacer $|\psi_{1,0,0}(r)|^2=constante$ te da la ecuación de una esfera (cuando una función que únicamente depende de $r$ es constante, el propio $r$ debe ser constante).

Si haces las sustituciones verás que los orbitales son esféricos cuando l=0, que se corresponden a los orbitales s. Cuando l=1 y m=-1,0,1 tienes los p. En realidad el p_x y p_y que ves en química son combinaciones lineales de los que corresponden a m=-1 y a m=1 y el p_z es el que da la fórmula general para m=0). Los orbitales d y f se obtienen cuando l=2 y l=3 respectivamente, haciendo combinaciones lineales de las funciones de onda con distintos m pero igual valor de l.

Naturalmente en los casos con l>0 es más complicado resolver $|\psi|^2=constante$, pero te llevará a los dibujos de los libros.

[ginin]

Los dibujos que ves en los libros de química se obtienen al hacer $|\psi|^2=constante$. Por ejemplo, para $\psi_{1,0,0}$, se tiene que $Y_0^0=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{\pi}}$, y $\psi_{1,0,0}(r,\theta,\phi)$ sólo depende de $r$. Al hacer $|\psi_{1,0,0}(r)|^2=constante$ te da la ecuación de una esfera (cuando una función que únicamente depende de $r$ es constante, el propio $r$ debe ser constante).

Si haces las sustituciones verás que los orbitales son esféricos cuando l=0, que se corresponden a los orbitales s. Cuando l=1 y m=-1,0,1 tienes los p. En realidad el p_x y p_y que ves en química son combinaciones lineales de los que corresponden a m=-1 y a m=1 y el p_z es el que da la fórmula general para m=0). Los orbitales d y f se obtienen cuando l=2 y l=3 respectivamente, haciendo combinaciones lineales de las funciones de onda con distintos m pero igual valor de l.

Naturalmente en los casos con l>0 es más complicado resolver $|\psi|^2=constante$, pero te llevará a los dibujos de los libros.

ok muchas gracias solo 2 pgtas 1-me basta solo las ecs de schrodinger para resolver o necesito otras 2-puedo resolver estas ecuaciones con el nivel de la fisica 2 de zemansky o necesito textos mas avanzados gracias!!

[teclado]

La ecuación de Schödinger es la que se resuelve en el PDF. Necesitas al menos tener una base en ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, o al menos de ecuaciones diferenciales en general, así como conocer los criterios de convergencia de series. Esto deberías saberlo al terminar el 2º curso de Física, pero no sabría decirte sobre el libro porque no lo tengo.

Para resolver las ecuaciones de las superficies equiprobables ($|\psi|^2=constante$) debería valerte la trigonometría, pero vas a tener que echar mano de inventiva. Yo no me atrevo a ponerme.

[Alofre]

Hola!
Una explicación sencilla (quizás algo más sencilla que lo que pides pero tal vez te sirva de partida) a como resolver la ecuación de Schrödinger con el potencial de un átomo hidrogenoide la puedes encontrar en "Introduction to Quantum Mechanics" de Griffiths (un clásico) que lo hace con bastante detalle. Ahí te vas a explicar tanto la parte radial como la angular (con los armónicos esféricos).

[ginin]

Hola!
Una explicación sencilla (quizás algo más sencilla que lo que pides pero tal vez te sirva de partida) a como resolver la ecuación de Schrödinger con el potencial de un átomo hidrogenoide la puedes encontrar en "Introduction to Quantum Mechanics" de Griffiths (un clásico) que lo hace con bastante detalle. Ahí te vas a explicar tanto la parte radial como la angular (con los armónicos esféricos).

ok muchas gracias tengo base del fisica 2 de sears que libro me recomendaria a continuacion para profundizar en mecanica cuantica gracias!!

[Alofre]

Hola, el libro "Introduction to Quantum Mechanics" de Griffiths me parece muy adecuado. Con saber algo de números complejos, cálculo y ecuaciones diferenciales creo que se puede leer el libro entero, o al menos entender lo más importante.

No obstante no es el libro más "formal" porque trata básicamente todo con funciones de onda y no discutiendo con detalle la formulación matemática (lo que puede ser una ventaja o desventaja según se vea). Otro que me gusta bastante es el Ajit Kumar "Fundamentals of Quantum Mechanics".

[ginin]

Hola, el libro "Introduction to Quantum Mechanics" de Griffiths me parece muy adecuado. Con saber algo de números complejos, cálculo y ecuaciones diferenciales creo que se puede leer el libro entero, o al menos entender lo más importante.

No obstante no es el libro más "formal" porque trata básicamente todo con funciones de onda y no discutiendo con detalle la formulación matemática (lo que puede ser una ventaja o desventaja según se vea). Otro que me gusta bastante es el Ajit Kumar "Fundamentals of Quantum Mechanics".

ok gracias y conocera alguno en español he visto solo el de INTRODUCCIÓN A LA
MECÁNICA CUÁNTICA de JULIO GRATTON gracias!!

[Alriga]

ok muchas gracia lo revisé y no se si las soluciones se refieren a que haya orbitales esféricos, alargados como globos o achatados por que no vi en el pdf soluciones que expresaran esas formas gracias por su ayuda!!

En el PDF que adjuntó teclado están las ecuaciones que dan origen a los "dibujos" que suelen aparecer en los libros. Y teclado te ha explicado como obtener los "dibujos" a partir de las ecuaciones:

Los dibujos que ves en los libros de química se obtienen al hacer $|\psi|^2=constante$. Por ejemplo, para $\psi_{1,0,0}$, se tiene que $Y_0^0=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{\pi}}$, y $\psi_{1,0,0}(r,\theta,\phi)$ sólo depende de $r$. Al hacer $|\psi_{1,0,0}(r)|^2=constante$ te da la ecuación de una esfera (cuando una función que únicamente depende de $r$ es constante, el propio $r$ debe ser constante).

Si haces las sustituciones verás que los orbitales son esféricos cuando l=0, que se corresponden a los orbitales s. Cuando l=1 y m=-1,0,1 tienes los p. En realidad el p_x y p_y que ves en química son combinaciones lineales de los que corresponden a m=-1 y a m=1 y el p_z es el que da la fórmula general para m=0). Los orbitales d y f se obtienen cuando l=2 y l=3 respectivamente, haciendo combinaciones lineales de las funciones de onda con distintos m pero igual valor de l.

Naturalmente en los casos con l>0 es más complicado resolver $|\psi|^2=constante$, pero te llevará a los dibujos de los libros.

Puedes encontrar la ecuaciones y los "dibujos" de los orbitales que se obtienen de las ecuaciones, en este enlace: The Schrödinger Wave Equation for the Hydrogen Atom

Saludos.