Problema efecto compton

[China]

Buenas, necesito ayuda con este problema:

"En la dispersión de un fotón por un electrón libre y en reposo de masa m, obtenga la expresión de la energía del fotón en función del ángulo de dispersión del fotón y de la energía cinética final del electrón"

Llego bien a deducir la ecuación de este efecto, pero no veo como hacer lo que se pide.
Gracias

[Alriga]

Uups perdona China, lo vi pero después me olvidé. Parto de la conocida expresión* del Efecto Compton:

$\lambda_2-\lambda_1=\dfrac h{m c} (1-\cos \theta)$

Llamo:

• m = masa del electrón
• $E_1$ = energía del fotón incidente de longitud de onda $\lambda_1$
• $E_2$ = energía del fotón dispersado de longitud de onda $\lambda_2$
• $E_e$ = energía total final del electrón
• $E_k$ = energía cinética final del electrón

Sustituyendo las longitudes de onda de los fotones en función de sus energías:

$\dfrac{h c}{E_2} - \dfrac{h c}{E_1}=\dfrac h{m c} (1-\cos \theta)$

$$\dfrac{1}{E_2} - \dfrac{1}{E_1}=\dfrac{1-\cos \theta}{m c^2}$$

Como la energía antes y después del choque se conserva, debe cumplirse:

$E_1+mc^2=E_2+E_e$

$E_1=E_2+(E_e - mc^2)$

$$E_1=E_2+E_k$$

Sustituimos (2) en (1) y operamos para obtener $E_2$ que entiendo que es lo que pide el enunciado:

$$E_2^2+E_k E_2 - \dfrac{E_k m c^2}{1-\cos \theta}=0$$

La solución de la ecuación de segundo grado nos proporcionará $E_2$

Saludos.

PD. El enunciado es un poco ambiguo, no me queda claro si lo que pide es $E_2$ o bien es $E_1$. Yo lo he solucionado para $E_2$ pero si lo que pidiese fuese $E_1$ sería tan fácil como

$$E_2=E_1-E_k$$

Sustituir (3) en (1) y operar para despejar $E_1$ La ecuación de 2º grado que se obtiene ahora es:

$$E_1^2-E_k E_1 - \dfrac{E_k m c^2}{1-\cos \theta}=0$$

* La demostración de la expresión del Efecto Compton la puedes encontrar en el hilo Problema de colisión entre un fotón y un electrón libre post#6

[China]

Gracias Alriga, estuve desconectada estos, días, visto así es fácil, el problema es dar con la idea...