Otras carreras Operador momento

[alexpglez]

¿Cómo se obtiene (según los postulados de la mecánica cuántica) el operador momento?

En muchos libros de física viene el operador momento dado en la base de posiciones como $P=-i\hbar \frac{\partial }{\partial x}$. Sin embargo, en los postulados de la mecánica cuántica se postula que $XP-PX=i\hbar$ y, dado $X$ operador lineal, el conjunto de operadores $U=\{P| XP-PX=i \hbar\}$ tiene más de un elemento.

Si imponemos condiciones de que existe una base en la que X es diagonal (postulado 2) y además los autovalores son distintos. Entonces escribiendo $P=P^*+C$ donde $XP^*-P^*X=i\hbar$ es un operador particular (como el que ya conocemos) entonces tenemos que $XC-CX=0$ y éstos son todos los $C$ diagonales en la base escogida.

Es decir, mi pregunta es, ¿por qué escogemos $p=-i\hbar\frac{\partial }{\partial x}$, si no es el único momento que podemos definir? ¿Darían resultados distintos escoger otros momentos, se perdería el límite clásico escogiendo otro, por ejemplo $P'=-i\hbar\frac{\partial }{\partial x}+kx$?

[Weip]

Re: Operador momento

Hola. La respuesta a tu pregunta creo que la da el teorema de Stone-von Neumann. Esencialmente lo que te dice es que la relación $[X,P]=i \hbar I$ determina los operadores de posición y momento salvo transformaciones unitarias. Eso sí, la demostración no la conozco, intervengo más que nada para que puedas buscar información sobre este teorema.

[alexpglez]

Re: Operador momento

Gracias, pero no entendí nada de la wikipedia. He preguntado a mi profesor de álgebra lineal, pero no me entendió. Voy a ver si encuentro más información sobre ello.

Gracias

[alar]

Re: Operador momento

La justificación del operador posiciones sale de considerarlo el generador de translaciones
Una translación $\hat{T_{a}}|x>=|x+a>$ y queremos el operador $\hat{T_{a}}$ unitario, es decir [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .
Para una translación pequeña $\psi(x+dx)=<x+dx|\Psi>=\Psi (x)+\frac{\partial \Psi}{\partial x}dx+O(dx^2)$
I como Translación $<x+dx|\Psi>=T_{dx}|x>=e^{i\hat{p} dx/h}|x>$
$<x+dx|\Psi>=<x|e^{i\hat{p}dx/h}|\Psi>=<x|I+i\frac{\hat{p}dx}{h}+O(dx^2)|\Psi>$
Comparando llegamos a que $\frac{\partial \Psi }{\partial x}=\frac{i}{h}<x|\hat{p}|\Psi>$ y nos queda el operador momento en la base de las x:
$<x|\hat{p}|\Psi>=-ih\frac{\partial \Psi}{\partial x}$

Si trabajas en la base de las p los papeles cambian y el operador posición es la derivada.

[sater]

Re: Operador momento

La justificación que te da Alar (como el acero de Ramston supongo ) es la que se suele hacer en Mecánica Cuántica en un curso más avanzado en la carrera, y la que te encontrarás en libros como el Ballentine. Tiene algo más por detrás, y se puede avanzar algo más hacía delante. Te invito a leer cómo lo hace ese autor en su libro.

El resumen es que buscas transformaciones que sean simetrías del sistema, como por ejemplo las traslaciones, y ves que deben estar dadas por operadores unitarios. Tales operadores se demuestra que pueden ir como la exponencial de la unidad imaginaria por un operador hermítico que sería el generador infinitesimal del grupo de traslaciones (y que sea hermítico es una alegría en Q.M.). Para las traslaciones se le llama $\hat p$ a tal operador (por el operador momento) porque luego, si estudias como conmuta con el operador de posición (que es el único del que se define su actuación) encuentras que satisface las conocidas relaciones de conmutación. Y así con otros operadores, como el momento angular.

Intervengo más bien para comentar que hay otra forma de hacerlo, y es encontrar el Kernel del operador momento en la base de posiciones, es decir, intentar encontrar $\langle q | \hat p | q^{\prime}\rangle$, con q,q' autovectores del operador posición. Pasa por insertar una identidad de autovectores del operador momento y sale una transformada de Fourier facillla (también hay que conocer la matriz de cambio de base entre momento y posición).

Un saludo

[Weip]

Re: Operador momento

Gracias, pero no entendí nada de la wikipedia. He preguntado a mi profesor de álgebra lineal, pero no me entendió. Voy a ver si encuentro más información sobre ello.

Gracias

Vaya, bueno, en ese caso intentaré hacer un pequeño resumen del enunciado del teorema. Muchos detalles los suprimiré así que tómalo como una idea general. El teorema te dice que los operadores de posición y de momento son únicos en el sentido siguiente. Si tu tienes dos operadores $X'$ y $P'$ autoadjuntos en un espacio de Hilbert que cumplen $[X', P']=i \hbar Id$ entonces uno puede encontrar una transformación unitaria $U$ tal que $U^{-1}X'U=X$ y $U^{-1}P'U=P$ donde $X$ y $P$ son los operadores posición y momento que ya conoces. Estas expresiones las puedes interpretar como una especie de cambio de base que establece una "equivalencia unitaria" entre los operadores $X'$, $X$ y los operadores $P'$, $P$. Al final si escoges otro operador posición y otro operador momento con las condiciones adecuadas, la física que encontrarás será la misma que con los operadores $X$ y $P$.

[alexpglez]

Re: Operador momento

Gracias Weip. Voy a ver si encuentro más sobre este teorema y analizar su significado.

Gracias a los demás por las otras deducciones, sin embargo estaba buscando si se podían deducir únicamente de la ecuación de Born, en el sentido que explica Weip.