Avanzado Relación de Indeterminación de Heisenberg para un electrón

[inakigarber]

Buenos dias;
Hace unos años me plantee un experimento mental del que ya he hablado en algún hilo en este foro y del que no me siento muy satisfecho. A ver si consigo mejorarlo.
Supongamos que tenemos un electrón metido dentro de una caja que para facilitar tiene una única dimensión de longitud $\Delta_l$. Como nuestro electrón es un objeto cuántico es una partícula y una onda a su vez, está sujeto a la relación de De Broglie $p=\frac{h}{\lambda}$.
En una distancia de longitud $\Delta_l$ podemos meter infinitas ondas posibles, pero sus longitudes de onda siempre tendrán que estar restringidos a la siguiente relación;

$$\lambda_n=\frac{2\Delta_l}{n}, n=(1,2,3,4,..\infty)$$

.
En principio trate de calcular con posiciones y momentos lineales, pero no me gustó nada el resultado por lo que calcule por energías.
Los momentos posibles serán;

$$P_n=\frac{nh}{2\Delta_l}$$

Y las energías posibles $E_c=\frac{P^2}{2m_e}$, que sustituyendo me queda;

$$E_n=\frac{n^2h^2}{8\Delta_l^2m_e}$$

Dado que todos los valores son constantes excepto n que es un valor cuantizado $n=1,2,3,4..\infty)$, nos encontraremos con que el electrón puede tener infinitos valores de energía, pero que estos valores están cuantizados. Si este electrón atraviesa una bobina y interactua enviando un fotón, el electrón pierde energía, pero siempre desde un estado $n_1$ posible a otro estado $n_2$, también posible. La energía cedida en ese proceso sería.

$$\Delta_E=(n_1^2-n_2^2)\frac{h^2}{8\Delta_l^2m_e}$$

Esta es la energía del fotón que a su vez sería igual a;

$$E_f=\frac{hc}{\lambda_f}$$

(no confundir la longitud de onda del fotón con la del electrón)
Dado que ambas energías, la del fotón y la cedida por electrón son iguales, y despejando la longitud de onda del fotón, obtengo;

$$\lambda_f=\frac{8hc\Delta_l^2m_e}{(n_1^2-n_2^2)h^2}$$

Creo que hasta aquí voy correctamente, pero a partir de aquí ya no estoy tan seguro de mi mismo.
Razoné pensando que la longitud mínima que podemos medir con una onda (un fotón) es del orden de la longitud de onda. Dado que la velocidad del fotón es finita esto implica también un tiempo finito cuyo valor mínimo sería;

$$\Delta_t=\frac{\lambda_f}{c}$$

(c=velocidad de la luz en el vacío)
Despejando de lo obtenido anteriormente tendríamos;

$$\Delta_t=\frac{8\Delta_l^2m_e}{(n_1^2-n_2^2)h}$$

y el producto $\Delta_t\Delta_E$ resultaría ser de lo obtenido en (1) y (2)y simplificando me sale. Considerando $\Delta_t$ como el menor valor posible.

$$\Delta_E\Delta_t\geqslant h$$

Pero este razonamiento no es exacto, al menos a mi no me lo parece (ya que en la mayoría de los textos aparece la expresión que puse en mi post inicial en función de $\hbar$ y a mi no me sale ni $\hbar$ ni $h/(2\pi)$).
Tal vez con un experimento de este tipo en el que un único electrón interactua con una bobina intercambiando un único fotón no pueda llegarse a más conocimiento del que he llegado, de manera que he llegado a lo máximo que podría llegar. Quizá fui un poco tacaño al pensar en el experimento y debiera pensar en unos términos en que uno o varios electrones intercambian varios fotónes. No lo se, pero quizá sea un buen momento de volver a atacar el problema a ver si mejoro un poco el experimento.
Saludos y gracias.

- - - Actualizado - - -

En primer lugar, gracias a tods por contestar.
Después de leeros, mi conclusión es que el concepto de "sistema de referencia" merece una revisión crítica a nivel de la mecánica cuántica.
No se podría pues afirmar que, por ejemplo, mi quadrivelocidad con respecto a mí mismo sea [1,0,0,0]. (Al menos a nivel cuántico).

No me he dado cuenta de que nuestros mensajes se han solapado.
Saludos.

[Julián]

Re: Relación de Indeterminación de Heisenberg para un electrón

Está bien tu deducción. No obtienes $\frac{\hbar}{2}$ por 2 razones. La primera estás trabajando con $\lambda$ y con en vez de $k$ y $\omega$, ya que $k= \frac{2 \pi}{\lambda}$ lo que implica que $p = \frac{h}{\lambda} = \hbar k$ y de la misma manera. $E = \omega \hbar = h f = \frac{c h}{\lambda}$

Si trabajaras con $\hbar$ llegarías a que la indeterminación es $\hbar$

¿y por qué no obtienes $\frac{\hbar}{2}$? Pues porque esa relación se obtiene cuando se trabaja con las distribuciones probabilísticas, la distribución estandar y no con las funciones de onda.


http://www.fisicafundamental.net/rup...rtidumbre.html

Pero a lo que tu llegas está bien.

[carroza]

Re: Relación de Indeterminación de Heisenberg para un electrón

Hace unos años me plantee un experimento mental del que ya he hablado en algún hilo en este foro y del que no me siento muy satisfecho. A ver si consigo mejorarlo....

Razoné pensando que la longitud mínima que podemos medir con una onda (un fotón) es del orden de la longitud de onda. Dado que la velocidad del fotón es finita esto implica también un tiempo finito cuyo valor mínimo sería;

$$\Delta_t=\frac{\lambda_f}{c}$$

(c=velocidad de la luz en el vacío)

Bueno, no se si estás satisfecho con este argumento para obtener delta t. Fijate que si tuviéramos un fotón con una longitud de onda bien definida, entonces su energía estaría también bien definida y por tanto sería un estado estacionario, y por tanto la incertidumbre en la medida del tiempo sería infinita.

Creo que para entender bien el significado de la incertidumbre energía-tiempo $\Delta E \cdot \Delta t \ge \hbar/2$ tienes que considerar estados no estacionarios, es decir, cosas que no son autoestados del hamiltoniano. No te ayuda considerar los autoestados de una caja, ya que la distribución de probabilidad de estos autoestados no varía con el tiempo. Por tanto, para ellos, $\Delta t$ es infinita.

Yo formularía el experimento mental de la forma siguiente: Voy a imaginarme algo que produce una señal que puede varíar en el tiempo (por ejemplo, un pulso de luz, o un pulso de corriente eléctrica producido por electrones). Para ello, tendrías que construir un paquete de ondas. Si lo hicieras con fotones, o con electrones, de una energía determinada, entonces tu función de onda sería una onda plana, que se extiende indefinidamente, y tarda un tiempo infinito en pasar. Si mezclas sabiamente fotones, o electrones, de diferentes energías, con sus fases bien ajustadas, tu función de onda se localiza en un paquete con una forma determinada, atravesaría el detector con una amplitud determinada, que varía con el tiempo, y a partir de esta señal en tu detector, que variaría con el tiempo, puedes obtener el valor medio del tiempo y su desviación estandar. Esta última te da $\Delta t$.

Saludos

[inakigarber]

Re: Relación de Indeterminación de Heisenberg para un electrón

Está bien tu deducción....Si trabajaras con $\hbar$ llegarías a que la indeterminación es $\hbar$


¿y por qué no obtienes $\frac{\hbar}{2}$? Pues porque esa relación se obtiene cuando se trabaja con las distribuciones probabilísticas, la distribución estandar y no con las funciones de onda.


http://www.fisicafundamental.net/rup...rtidumbre.html

Pero a lo que tu llegas está bien.

He vuelto a hacer los cálculos y sigue saliendome h, pero es posible que me haya equivocado, volveré a rehacer los cálculos con más tiempo más adelante.
Creo que con un electrón que atraviesa una bobina intercambiando un fotón solo puede llegarse a donde yo he llegado. Tal vez fui un poco tacaño al plantearme el experimento, pero ¿y si en vez de intercambiar un único fotón intercambia varios? (por ejemplo 3 de longitudes $\lambda_1, \lambda_2 \ y\ \lambda_3$).
¿Obtendría el mismo resultado?
Saludos.