1r ciclo Valor esperado electrón libre

[The Higgs Particle]

Tengo este ejercicio que creo que sé matemáticamente plantear, pero no estoy segura de que me den cosas coherentes.

La función de onda de un $e^-$ viene descrita por:

$\dst \psi(x) = C e^{\frac{-|x|}{x_0}}$

a) Calcula $C$

Empleo para ello la condición de normalización (para no tardar tanto, pondré infinitos en los límites de integración. Lo siento, matemáticos )

$\dst \int^\infty_{-\infty} \psi(x) \cdot \psi^*(x) \dd x= \int^\infty_{-\infty} |\psi(x)|^2 \dd x= \int^\infty_{-\infty} C^2 e^{\frac{-2|x|}{x_0}} \dd x = 1$

Que es:

$\dst \left[ C^2 \left( \frac{-x_0}{2} \right) \cdot e^{-\frac{2|x|}{x_0}}\right]^\infty_{- \infty} =0$

De esta forma, $C$ puede ser cualquier valor real.

b) Calcula la incertidumbre, $\Delta x$
Como

$\Delta x = \sqrt{\left< x^2\right> - \left< x\right>^2}$

He de calcular, por lo tanto, los valores esperados de ambas magnitudes. La lógica me dice que como hay infinitos puntos entre $\infty$ y $-\infty$, y es un electrón libre - misma probabilidad de encontrarse en un lugar determinado - no tiene ningún valor esperado $\left< x \right>$ y su probabilidad de encontrarse en un punto concreto es nula.

b.1) Calcular $\left< x \right>$:

$\left< x\right> =\dst \int^\infty_{-\infty} x \cdot \psi(x) \cdot \psi^*(x) \dd x= \int^\infty_{-\infty} x \cdot |\psi(x)|^2 \dd x$ $=\int^\infty_{-\infty} x \cdot C^2 e^{\frac{-2|x|}{x_0}} \dd x$

Obteniendo:

$\left[ C^2 \cdot \left( \dst \frac{-xx_0}{2} e^{-\frac{2 |x|}{x_0}} - \frac{x_0^2 e^{\frac{-2 |x|}{x_0}}}{4}\right) \right]^\infty_{-\infty}$

Así:

$\left< x\right>=0$

b.2) Calcular $\left< x^2 \right>$:

$\left< x^2\right> =\dst \int^\infty_{-\infty} x^2 \cdot \psi(x) \cdot \psi^*(x) \dd x= \int^\infty_{-\infty} x^2 \cdot |\psi(x)|^2 \dd x$ $=\int^\infty_{-\infty} x^2 \cdot C^2 e^{\frac{-2|x|}{x_0}} \dd x$

Obteniendo:

$\left[ \left( -x_0x^2 -2x_0^2|x| -2x_0^3\right)e^{\frac{-2|x|}{x_0}} \right]^\infty_{- \infty}$

Así:

$\left< x^2\right> = 0$

c) Calcula la probabilidad de encontrar al $e^-$ en la región descrita como $<x> - \Delta x, <x> + \Delta x$

[FONT=Verdana]Como $\left< x \right>+\Delta x = \left< x\right> - \Delta x = 0$, me estarían pidiendo hacer una integral con ambos límites de integración nulos cuyo resultado es, por lo tanto, también 0.[/FONT]

[Weip]

Re: Valor esperado electrón libre

La función de onda de un $e^-$ viene descrita por:

$\dst \psi(x) = C e^{\frac{-|x|}{x_0}}$

a) Calcula $C$

Empleo para ello la condición de normalización (para no tardar tanto, pondré infinitos en los límites de integración. Lo siento, matemáticos )

$\dst \int^\infty_{-\infty} \psi(x) \cdot \psi^*(x) \dd x= \int^\infty_{-\infty} |\psi(x)|^2 \dd x= \int^\infty_{-\infty} C^2 e^{\frac{-2|x|}{x_0}} \dd x = 1$

Que es:

$\dst \left[ C^2 \left( \frac{-x_0}{2} \right) \cdot e^{-\frac{2|x|}{x_0}}\right]^\infty_{- \infty} =0$

De esta forma, $C$ puede ser cualquier valor real.

A mi la integral no me da cero, me da $C^2x_0$. No tengo tiempo para mirarmelo mejor pero bueno revisa la integral a ver.

Empleo para ello la condición de normalización (para no tardar tanto, pondré infinitos en los límites de integración. Lo siento, matemáticos )

No sé muy bien a qué te refieres. Los infinitos en los límites de integración están bien puestos.

[The Higgs Particle]

Re: Valor esperado electrón libre

A mi la integral no me da cero, me da $C^2x_0$

Cierto. Me he colado con $e^0 \neq 0 \to e^0 = 1$

No sé muy bien a qué te refieres. Los infinitos en los límites de integración están bien puestos

A las integrales impropias. He sido incapaz de encontrar el hilo en el que Ángel o tú - no recuerdo - me dijo que la forma correcta habría sido expresarlo como:

$\dst \lim_{c_1 \to - \infty} \left( \int^{0}_{c_1} f(x) \dd x \right)+ \lim_{c_2 \to \infty} \left( \int^{c_2}_0 f(x) \dd x \right)$

En cualquier caso, ¿los resultados obtenidos en los valores esperados - y lo que la intuición me decía que iban a salir - son correctos?

- - - Actualizado - - -

Edito: He encontrado la solución en Internet. La integral de $\left< x^2\right>$ tampoco es 0, por lo que los apartados b y c los he hecho mal.

[Weip]

Re: Valor esperado electrón libre

Edito: He encontrado la solución en Internet. La integral de $\left< x^2\right>$ tampoco es 0, por lo que los apartados b y c los he hecho mal.

Si lo has entendido todo, bien entonces.

Una cosa que quería decirte ayer, la integral del principio fíjate que si te daba 0 podías haberte dado cuenta de que estaba mal porque imponiendo la condición de normalización te salía 0=1. Mal asunto.

A las integrales impropias. He sido incapaz de encontrar el hilo en el que Ángel o tú - no recuerdo - me dijo que la forma correcta habría sido expresarlo como:

$\dst \lim_{c_1 \to - \infty} \left( \int^{0}_{c_1} f(x) \dd x \right)+ \lim_{c_2 \to \infty} \left( \int^{c_2}_0 f(x) \dd x \right)$

Bueno pero eso es lo mismo que poner $\int_{- \infty}^{\infty}f(x)dx$. A mí me suena un hilo en que hacías una integral impropia sustituyendo los infinitos directamente sin hacer límites, que eso sí que está mal.