Divulgación Duda sobre el valor del radio atómico de Bohr

[inakigarber]

Buenas noches;
Leyendo en este blog sobre la mecánica matricial aplicada al átomo de hidrógeno, hay un párrafo que me ha dejado un tanto fuera de lugar.
Se llega a establecer que la esperanza matemática del radio atómico es;

$$<R>=\dfrac{3a_0}{2}$$

Bien, el problema viene en el párrafo siguiente cuando dice;

"[FONT=Georgia]La explicación estriba en el hecho de que el valor del radio para la primera órbita en el modelo atómico planetario de Bohr es un valor numérico [/FONT][FONT=Georgia]exacto[/FONT][FONT=Georgia], mientras que [/FONT][FONT=Georgia]<[/FONT][FONT=Georgia]R[/FONT][FONT=Georgia]>[/FONT][FONT=Georgia] es una esperanza matemática, un [/FONT][FONT=Georgia]promedio[/FONT][FONT=Georgia] que nos resulta de la media estadística de muchos valores posibles. Además es un hecho muy familiar para quienes han tomado un curso introductorio de Estadística que en un diagrama del tipo [/FONT][FONT=Georgia]histograma[/FONT][FONT=Georgia], el valor máximo de la curva de distribución de probabilidades (valor que muchos toman como el valor más probable) es generalmente inferior al valor promedio que se encuentra a la derecha del valor tope."
[/FONT]
Sí el radio de Bohr es un valor numérico exacto ¿Como puede ser que la esperanza matemática <R> sea un valor menor que este? Siendo un valor exacto ¿no deberían coincidir ambos valores?
No entiendo la segunda frase.
¿Hay algún ejemplo en física clásica que avale esta explicación? A mi no me sale.

Saludos y gracias.

[The Higgs Particle]

Re: Duda sobre el valor del radio atómico de Bohr

Bueno, por partes. Primero, $\left< R \right>$ es mayor que $a_0$ (es 1.5 veces este valor).

Segundo: Bohr, para llegar a sus resultados, utlilizó mecánica clásica (es decir, como consideró el átomo un sistema planetario con órbitas circulares, utilizó la fuerza de cohesión del sistema - en los planetas, la gravedad; aquí, la fuerza de Coulomb - y la igualó a la centrípeta: $\vec F_{centr.} = \vec F_{coulomb}$, sacando de ahí todos sus resultados). Por eso a Bohr le salió un número concreto, un único número, lo cual era esperable para la mecánica clásica. Sin embargo, hoy sabemos que todo se basa en probabilidades, siendo $\psi(x)^2$ una densidad de probabilidad. Pero esto no es algo que se inició con la mecánica cuántica. Puedes ver este gráfico (el segundo que viene en la página) la distribución de Maxwell-Boltzmann; ésta estudia las velocidades de gases ideales para temperaturas dadas. Como ves en esa gráfica, hay varias cosas (siguiendo la notación):

- $v_p$: la velocidad más probable. Corresponde al pico de la curva de probabilidades. En el caso que nos atañe, correspondería al $a_0$ que también encontró Bohr. Se puede calcular estudiando el máximo de la función (es decir, haciendo que $\dst \frac{\dd f(v)}{\dd v} = 0$).

- $v_{avg}$ es el valor esperado de la probabilidad. Se calcula haciendo:

$v_{avg } = \left< v \right> = \dst \int_{-\infty}^{\infty} v f(v) \dd v$

Y, como ves, se encuentra desviado hacia la derecha (es mayor que) respecto al valor más probable. Es algo puramente probabilístico, debido a toda la cola de valores que se encuentran en la parte derecha de dicho valor más probable.


- $v_{rms}$: velocidad cuadrática media. $v_{rms} = \sqrt{\left< v^2 \right>}$



Y eso es todo. En la segunda gráfica de esta web puedes ver la gráfica de probabilidad de $r$ para el átomo de hidrógeno, y verás cómo a lo que se refieren con $<r>$ no es exactamente $r_{probable}$

[inakigarber]

Re: Duda sobre el valor del radio atómico de Bohr

Gracias por tu respuesta;
Entonces, el Radio de Bohr correspondería al valor mas probable de una función, en este caso, puesto que la mayoría de los valores posibles son mayores que este valor, el valor medio (valor esperado) es mayor que el valor más probable. Por poner un ejemplo tonto. Si hago un experimento siempre en las mismas condiciones y obtengo por ejemplo 5 veces el valor 100, 2 veces el valor 103 y una vez el valor 97. El valor más probable es 100 (se repite más veces), pero el valor medio será mayor que 100. En este caso 100,375. Por poner otro ejemplo, a ver si voy entendiendo, si hago una serie larga de medidas del radio del átomo de hidrógeno, obtendré que el valor que más se repite es $a_0$, si hago la media de esta larga serie de medidas obtendré $\frac{3a_0}{2}$. ¿Es esto lo que quiere decir el texto?

Creo que para entender la mecánica cuántica (si es que algún día la entiendo) debe uno despojarse de la visión determinista y asumir un enfoque probabilista. Pero aún no tengo muy claro el como hacerlo (ni si lo sabré hacer).

Me pierde y me desespera este extraño mundo de la mecánica cuantica.

Saludos y gracias.