Divulgación Consulta sobre desarrollo matricial en mecánica cuantica

[inakigarber]

Buenas noches;
Siguiendo este blog sobre mecánica cuántica me he encontrado nuevamente con un desarrollo que no entiendo;
Donde dice;
"[FONT=Georgia]PROBLEMA[/FONT][FONT=Georgia]: [/FONT][FONT=Georgia]A partir de la relación matricial de Max Born:"
[/FONT]$[Q,P]=i\hbar I$
Demostrar que;
$[Q^2,P]=2i\hbar I$
No entiendo porque hace el proceso de premultiplicar y postmultiplicar.
Yo he intentado hacerlo a través de desarrollar la ecuación de Born;
$[Q,P]=QP-PQ=i \hbar I$, luego $QP=i \hbar I+PQ$
Luego;$[Q^2,P]=Q(QP)-(PQ)Q$, por tanto; $Q(i \hbar I+PQ)-(PQ)Q$, pero no llego a la conclusión a la que se pretende llegar.
¿En que me pierdo?
Saludos y gracias

[Lorentz]

Re: Consulta sobre desarrollo matricial en mecánica cuantica

Buenas
Teniendo $\left[ Q,P \right]=i \hbar I$ , es decir $QP-PQ=i \hbar I$

Lo que tienes que hacer es multiplicar a la derecha y a la izquierda para hacer un sistema de ecuaciones:

$Q^2P-QPQ=i \hbar Q$

$QPQ-PQ^2=i \hbar Q$

Sumas y te queda:

$Q^2P-PQ^2=2i \hbar Q$

Demostrar que;
$\left[ Q^2,P \right]=2i \hbar I$

Creo que querías poner el operador $Q$ y no el identidad

Un saludo

[inakigarber]

Re: Consulta sobre desarrollo matricial en mecánica cuantica

...Creo que querías poner el operador $Q$ y no el identidad

Un saludo

Si, me colé, quise poner $[Q^2,P]=2i\hbar Q$
Efectivamente, siguiendo tu procedimiento si sale, pero entonces ¿porque no me sale a mi?
A ver si empiezo a enterarme;
yo partí de lo sigiente; $[Q,P]=QP-PQ=i \hbar I$, luego despejando obtengo; $QP=i \hbar I -PQ$
Bien, ahora;
$[Q^2,P]=Q^2P-PQ^2=QQP-PQQ$
Ahora bien, de la ecuación de Born deducimos que $QP=i \hbar I+PQ$
sustituyo;
$[Q^2,P]=Q(i \hbar I+PQ)-PQQ$
$[Q^2,P]=i \hbar Q+QPQ-PQQ$
vuelvo a tener el factor QP que vuelvo a sustituirlo;
$[Q^2,P]=i \hbar Q+(i \hbar I +PQ)Q-PQQ$
$[Q^2,P]=i \hbar Q+i \hbar Q +PQQ-PQQ$
$[Q^2,P]=2i \hbar Q$
¿esto es correcto?
Por otra parte, me gustaría saber ¿que significado físico tiene esta ecuación?

¿Podria considerarse que la ecuación de Born es un caso particular de esta ecuación?
$[Q^n,P]=ni \hbar Q^{n-1}$
Saludos y gracias;

[Lorentz]

Re: Consulta sobre desarrollo matricial en mecánica cuantica

Buenas,

No veo ningún problema a tu procedimiento. Lo único que, aunque luego lo has puesto bien, has cambiado el signo aquí.

A ver si empiezo a enterarme;
yo partí de lo sigiente; , luego despejando obtengo;
Bien, ahora;

Solo te lo digo para que lo tengas en cuenta si lo vas a copiar, realmente es una tontería.

Una cosilla que puede que te sea útil, si en una igualdad a un lado tienes operadores y al otro lado números se asume que esos números multiplican al operador identidad, no es necesario añadirlo siempre. A veces el abuso de notación es útil para ahorrar tiempo.

Por otra parte, me gustaría saber ¿que significado físico tiene esta ecuación?

Bueno, de aquí lo que te puedo decir es que los conmutadores de operadores en Mecánica Cuántica en el límite de condiciones macroscópicas ($\hbar \rightarrow 0$) se corresponde con los corchetes de Poisson de los observables en Mecánica Clásica.

$\frac{1}{i\hbar} [A,B] \rightarrow \lbrace \mathcal{A},\mathcal{B} \rbrace$ cuando $\hbar \rightarrow 0$

Este principio de correspondencia viene justificado por el Teorema de Ehrenfest.

Además me gustaría añadir que los conmutadores son de gran utilidad porque el producto de incertidumbres de dos observables viene dado por:

$\Delta f \Delta g \geqslant \frac{1}{2} \mid \langle [F,G] \rangle \mid$

Si aplicas esto a la relación de Born obtendrás el clásico principio de incertidumbre:

$\Delta x \Delta p \geqslant \frac{\hbar}{2}$

¿Podria considerarse que la ecuación de Born es un caso particular de esta ecuación?

Saludos y gracias;

Sinceramente nunca lo he visto, pero supongo que podrías tratar de demostrarlo por el método de inducción.

Un saludo

[inakigarber]

Re: Consulta sobre desarrollo matricial en mecánica cuantica

Buenos dias,
Necesitaré más tiempo para entender tu comentario, especialmente en lo referente al teorema de Ehrenfest. He encontrado este enlace en este mismo foro, lo adjunto por si a alguien mas le interesa.
Saludos y gracias

[Lorentz]

Re: Consulta sobre desarrollo matricial en mecánica cuantica

A lo mejor te sirve echarle un vistazo a estos apuntes, en general

http://llacolen.ciencias.uchile.cl/~...uantica/qm.pdf

especialmente en lo referente al teorema de Ehrenfest.

Para esto mira la página 109

Un saludo

[inakigarber]

Re: Consulta sobre desarrollo matricial en mecánica cuantica

Gracias por tu respuesta.
He descargado el archivo y estoy echándole un vistazo. Desgraciadamente, vuelvo a chocar con mi escasa formación en matemáticas.
Saludos.

[Lorentz]

Re: Consulta sobre desarrollo matricial en mecánica cuantica

De acuerdo, si tienes alguna duda más intentaré ayudar.
Un saludo

[inakigarber]

Re: Consulta sobre desarrollo matricial en mecánica cuantica

...Sinceramente nunca lo he visto, pero supongo que podrías tratar de demostrarlo por el método de inducción.

Un saludo

Creo que puedo demostrarlo de la siguiente manera. pongamos por ejemplo n=3. Entonces se trataría de demostrar que $[Q^3,P]=3i\hbar Q^2$
De la relación de Born sabemos que $QP=i\hbar I+PQ$.
$[Q^3,P]=QQQP-PQQQ$
$=QQ(i\hbar I+PQ)-PQQQ$
$=i\hbar I Q^2+Q(QP)Q-PQQQ$
$=i\hbar I Q^2+Q(i\hbar I+PQ)Q-PQQQ$
$=i\hbar I Q^2+i\hbar IQ^2+(QP)QQ-PQQQ$
$=2i\hbar I Q^2+(i\hbar I+PQ)QQ-PQQQ$
$=2i\hbar I Q^2+i\hbar I Q^2+PQQQ-PQQQ$
$[Q^3,P]=3i\hbar I Q^2$
Luego, se cumple la relación;
$[Q^n,P]=ni\hbar Q^{n-1}$

[Lorentz]

Re: Consulta sobre desarrollo matricial en mecánica cuantica

Creo que puedo demostrarlo de la siguiente manera. pongamos por ejemplo n=3. Entonces se trataría de demostrar que
De la relación de Born sabemos que .








Luego, se cumple la relación;

No puedes asumir que se cumple de modo general solamente mirando el caso concreto $n=3$. El método de inducción consiste en tres pasos:

$1)$ Comprobar que sea cierto para $n=1$.

En efecto veríamos $\left[ Q,P\right]=i\hbar$

$2)$ Suponer que es cierto para $n$.

En este paso asumimos que es cierto $\left[ Q^n,P\right]=n i \hbar Q^{n-1}$

$3)$ Comprobamos si se cumple para $n+1$. Si se cumple este paso entonces la expresión es cierta.

Para que se cumpla este paso deberíamos obtener que $\left[ Q^{n+1},P\right]=(n+1) i \hbar Q^n$

Para demostrar el paso $3)$ hacemos lo siguiente:

$\left[ Q^{n+1},P\right]=Q^n Q P-P Q^n Q$

Y siguiendo un desarrollo parecido al que has estado empleando, y utilizando la expresión del paso $2)$ he obtenido que en efecto se cumple.

Así que, si no me he equivocado en nada, la relación que pusiste debería ser correcta.

Saludos

[inakigarber]

Re: Consulta sobre desarrollo matricial en mecánica cuantica

Tienes toda la razón en lo que pones en el ultimo post. El hecho de que para n=3 se cumple no es argumento suficiente para decir que se cumple siempre. En este caso se cumple, yo también lo he obtenido.

saludos y gracias.