Divulgación Duda sobre la ecuación de Schrodinger

[ignorante]

Hola, buen día. Comparto una dudita sobre la ecuación de Schrodinger: si entiendo bien, esta ecuación nos dice la probabilidad de detectar una partícula en un punto dado del espacio en cierto experimento. Inventando un ejemplo, nos dice que para el experimento X, la probabilidad de detectar a la partícula en el punto (3, -5, 12) es de 67%.

Mi duda es, ¿esa probabilidad, en ese punto (3, -5, 12), tiene ese valor fijo todo el tiempo (67%) o cambia de valor oscilatoriamente?

[Mossy]

Re: Duda sobre la ecuación de Schrodinger

Bueno, la ecuación de Schrödinger no te da la probabilidad. La probabilidad de la da la función de onda $\psi (\vec{r},t)$ (en concreto la integral volúmica de su módulo al cuadrado). Lo que ocurre es que esta función de onda evoluciona con el tiempo según la ecuación de Schrödinger (de igual forma que una onda electromagnética evoluciona según la ecuación de ondas).

Cuando el hamiltoniano no depende del tiempo es posible hacer una descomposición en una función de onda que sólo depende del espacio y una parte de evolución temporal, por lo que tienes una distribución de probabilidad espacial que no depende del tiempo. A esto se conoce como estados estacionarios, y se caracterizan por tener la energía bien definida (los orbitales atómicos del átomo de hidrógeno son estados estacionarios, por ejemplo). Si tienes un estado estacionario de energía bien definida entonces sí, la probabilidad no cambia con el tiempo en cada punto.

En la práctica estos estados no existen físicamente, pues si tuvieras un electrón en un estado estacionario no podría transitar a otro nivel de energía y no se verían los espectros de emisión de los átomos. Pero las energías que se obtienen de cada nivel y todo eso cuadran muy bien con los resultados experimentales.

[ignorante]

Re: Duda sobre la ecuación de Schrodinger

Hola Mossy, gracias por tu respuesta.

la ecuación de Schrödinger no te da la probabilidad. La probabilidad de la da la función de onda

¿No es lo mismo la ecuación de onda que la ecuación de Schrödinger ? ¿Cuál es la diferencia?

[pod]

Re: Duda sobre la ecuación de Schrodinger

En cuántica, el estado actual del universo (o la parte que te interesa de él) está codificada en una entidad abstracta llamada... estado (no es un nombre muy original), también conocido como "ket". A un estado le podemos preguntar cuál es la probabilidad de obtener una medición concreta.

La ecuación de Schödinger nos dice como evoluciona ese estado con el tiempo. En general, el estado cambia con el tiempo, evolucionando hacia otro estado diferente, y que dará probabilidades diferentes.

¿No es lo mismo la ecuación de onda que la ecuación de Schrödinger ? ¿Cuál es la diferencia?

La función de onda es la solución de la ecuación de Schödinger (cuando ésta está en variables de espacio). Más en general, la función de onda es una representación del estado o ket cuando sólo nos interesa la parte de posición espacial (nos podrían interesar otras cosas, algunas que no tienen análogo clásico como el spin).

[ignorante]

Re: Duda sobre la ecuación de Schrodinger

Gracias por la respuesta pod, pero sigo con la duda:

La función de onda es la solución de la ecuación de Schödinger (cuando ésta está en variables de espacio). Más en general, la función de onda es una representación del estado o ket cuando sólo nos interesa la parte de posición espacial

¿Significa que cuando se resuelve la ecuación de Schrodinger de este modo (ignorando la “parte temporal”) se obtienen las probabilidades únicamente para un instante t determinado?

[pod]

Re: Duda sobre la ecuación de Schrodinger

¿Significa que cuando se resuelve la ecuación de Schrödinger de este modo (ignorando la “parte temporal”) se obtienen las probabilidades únicamente para un instante t determinado?

Primero, no se puede "ignorar" la parte temporal. Lo que se hace es una separación de variables; si el potencial no depende del tiempo (y, por lo tanto, el hamiltoniano) se puede hacer el "ansatz" de la ecuación de onda $\psi(\vec r,\ t) = f(t) \phi(\vec r)$. La solución de la parte temporal es trivial $f(t) = \mathrm{e}^{-i E t / \hbar}$, y eso deja la parte espacial como ya conoces,

$$\left[- \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\vec r) \right] \phi(\vec r) = E \phi(\vec r).$$

Pero es importante entender que viene de hacer una separación de variables, y no de ignorar. La solución completa no es esa $\phi(\vec r)$, sino la original con todas las variables. Aquí, matemáticamente E aparece como un parámetro de separación de variables (en realidad, el parámetro seria $E/\hbar$, pero obviaremos el detalle); interpretar ese parámetro como la energía es algo puramente físico, no matemático.

En este contexto, es importante entender la teoría de Strum-Liouville de las ecuaciones diferenciales en varias variables. En general, la resolución de la ecuación (1) nos da una serie de soluciones para diferentes valores del parámetro de separación de variables, E; donde lo más probable es que E sólo pueda asumir un conjunto de valores discreto $\{E_n\}$, para otros valores, no hay solución posible. La solución general a la ecuación original es una combinación de todas esas soluciones:

$$\psi(\vec r,\ t) = \sum_n a_n \mathrm{e}^{- i E_n t / \hbar} \phi_n(\vec r) ,$$

donde $a_n$ son coeficientes (complejos) totalmente arbitrarios en la solución general. Para aplicar la solución a un problema concreto es necesario aplicar condiciones de contorno para determinar los coeficientes.

Con todo este preámbulo, que seguramente ya conocías, respondamos a tu duda: resulta que la ecuación de Schödinger independiente del tiempo (1) sólo da como resultado la función de onda de un sistema donde las condiciones de contorno hagan que todos los coeficientes $a_n$ sean nulos, excepto uno (pongamos que sólo el coeficiente m-éssimo no es nulo, $a_m = \delta_{n,m}$). En ese caso, la función de onda total del sistema será, simplemente, $\psi(\vec r,\ t) = \mathrm{e}^{- i E_m t / \hbar} \phi_m(\vec r)$. Es obvio que en estas condiciones la probabilidad de encontrar la partícula en un punto concreto, $\vec r = \vec a$, no depende del tiempo:

$$P(\vec r = \vec a, t) = \Big|\psi(\vec r,\ t) \Big|^2 = \big| \phi_n(\vec r) \big|^2 .$$

Es decir, si yo procuro de alguna forma preparar el sistema para que en un momento dado esté en un estado que sea solución de la ecuación de Schödinger independiente del tiempo, entonces permanecerá siempre en ese estado y las probabilidades no cambiaran.

En cualquier otro caso, si el estado inicial del sistema no era tal que fuera solución de la ecuación (1); es decir, donde el estado viene descrito por una combinación lineal (2) donde "sobreviven" dos o más términos, entonces las probabilidades sí cambiarán a lo largo del tiempo.

[ignorante]

Re: Duda sobre la ecuación de Schrodinger

Gracias por sus detalladas y pacientes explicaciones pod y Mossy (y perdón por tardar tanto en responder; andaba celebrando el fin de año).

A ver si he entendido:

- Hay casos en que un sistema se puede modelar con la ecuación de schrodinger independiente del tiempo, por lo que su función de onda será estacionaría, y la probabilidad en cada punto del espacio será constante.

- Por otro lado, hay casos de sistemas que no se pueden modelar con la ecuación de schrodinger independiente del tiempo, por lo que su función de onda no será estacionaria, y la probabilidad en cada punto del espacio no será constante.

De estar correcto este resumen, ¿existen en la realidad sistemas en estado estacionario (independientes del tiempo)?. Si entendí bien a Mossy, dichos estados estacionarios no existen en la realidad, en cuyo caso la ecuación de schrodinger independiente del tiempo sólo daría "fotos instantáneas" de un fenómeno.


Gracias y un productivo 2018 para todos.

[pod]

Re: Duda sobre la ecuación de Schrodinger

Gracias por sus detalladas y pacientes explicaciones pod y Mossy (y perdón por tardar tanto en responder; andaba celebrando el fin de año).

A ver si he entendido:

- Hay casos en que un sistema se puede modelar con la ecuación de schrodinger independiente del tiempo, por lo que su función de onda será estacionaría, y la probabilidad en cada punto del espacio será constante.

- Por otro lado, hay casos de sistemas que no se pueden modelar con la ecuación de schrodinger independiente del tiempo, por lo que su función de onda no será estacionaria, y la probabilidad en cada punto del espacio no será constante.

De estar correcto este resumen, ¿existen en la realidad sistemas en estado estacionario (independientes del tiempo)?. Si entendí bien a Mossy, dichos estados estacionarios no existen en la realidad, en cuyo caso la ecuación de schrodinger independiente del tiempo sólo daría "fotos instantáneas" de un fenómeno.


Gracias y un productivo 2018 para todos.

En cualquier sistema (en que el potencial no dependa del tiempo; pero no creo que haya ningún potencial fundamental que dependa del tiempo,... quizá algún potencial efectivo, pero no nos debería preocupar) uno puede plantear la ecuación independiente del tiempo; lo que en otra terminología es el problema de valores propios del hamiltoniano. Luego, si tu eres capaz de preparar el sistema para que en un momento esté en uno de estos estados, la ecuación de Schödinger dependiente del tiempo (que es la que nos da la evolución del estado cuántico) dice que ese estado no cambiará jamás.

Así que no es cuestión de "unos sistemas sí, unos sistemas no". Es cuestión de que tu puedas preparar el sistema para que esté exactamente en uno de esos estados en el instante inicial, después se quede en él.

Luego, sobre lo que decía Mossy sobre que estos estados no existe, sino no existiría el espectro de emisión de los átomos, el asunto es algo más complicado. Cuando uno resuelve la ecuación independiente del tiempo para el átomo de hidrógeno (que se puede hacer de forma exacta), en realidad uno sólo está resolviendo la ecuación para una parte de la realidad: la interacción Coulombiana entre electrón y núcleo. Si en la realidad sólo existiera esto, si el hamiltoniano sólo tuviera el potencial de Coulomb, entonces un electrón en un átomo excitado se quedaría siempre allí, porque seria un estado propio del hamiltoniano.

Pero en realidad, el hamiltoniano (léase, la parte de la izquierda de la ecuación de Schödinger independiente del tiempo) tiene más términos que sólo el de Coulomb. Por ejemplo, todo lo que tiene que ver con el campo electromagnético en si (los fotones) que viene de la electrodinámica cuántica. Los estados que conocemos del átomo de hidrógeno son propios de la parte Coulombiana, pero no del hamiltoniano total; por lo tanto ya no existe la garantía de que un electrón en un estado excitado se quede en ese estado. Si uno prepara el sistema en un estado excitado, como ese estado no es propio del hamiltoniano total las probabilidades irán evolucionado. Al principio la probabilidad es 100% del electrón en el estado excitado, y después cada vez va creciendo la probabilidad de que el electrón decaiga y aparezca un fotón. Para esto, en principio, no es suficiente con la mecánica cuántica "rasa", ya que tiene fácil la descripción de la creación de partículas; es necesaria la teoría cuántica de campos.

Pero la teoría sigue siendo la misma: si alguien consiguiera preparar el sistema en un estado que fuera propio del hamiltoniano completo, las probabilidades no cambiarían con el tiempo. Serian siempre las mismas. Pero estamos resolviendo una parte de la ecuación, no toda, y por eso el estado puede decaer.

[ignorante]

Re: Duda sobre la ecuación de Schrodinger

Muchas gracias pod. Creo que por fin he capizcado el meollo del asuntillo. Sólo una última dudita:

Así que no es cuestión de "unos sistemas sí, unos sistemas no". Es cuestión de que tu puedas preparar el sistema para que esté exactamente en uno de esos estados en el instante inicial, después se quede en él.

¿Cómo debe entenderse eso de “preparar el sistema”?

[pod]

Re: Duda sobre la ecuación de Schrodinger

¿Cómo debe entenderse eso de “preparar el sistema”?

Puedes entenderlo como "hacer lo que puedas para asegurarte que está en un estado conocido en un momento dado".

A la práctica, experimentalmente puede ser bastante complicado dependiendo de la naturaleza del sistema. Un ejemplo donde es relativamente sencillo (seguramente, el caso más típico) es el experimento de Stern-Gerlach. Con un campo magnético separas partículas (el experimento original es con átomos de plata) según el signo de su spin. Si te quedas sólo con uno de los haces, por ejemplo el positivo, puedes estar seguro que el estado de spin es +1/2. Así, pues, has preparado una serie de átomos con un estado conocido (a costa de perder la mitad de átomos que tenias al principio).