Preguntas conceptuales acerca la dualidad onda-partícula

[alexpglez]

Re: Preguntas conceptuales acerca la dualidad onda-partícula

Hay una respuesta larga y una corta. La corta es la que te cuenta Quantum Fracture, que no hay que interpretar las ondas como ondas, sino como distribuciones de probabilidad. La larga es la que sigue (donde mezclo bastante mi opinión personal al respecto), y no está muy al nivel de secundaria, así que disculpas.

Desde una perspectiva matemática, la mecánica cuántica se fundamenta en la teoría de la probabilidad. No hablo de la probabilidad en el sentido de los axiomas de Kolmogorov, sino en una "probabilidad cuántica" que se hace llamar probabilidad libre o probabilidad no conmutativa, que se basa, no en el estudio de los sucesos, sino el de las variables aleatorias.

El estudio de las variables aleatorias en la probabilidad de Kolmogorov "mata" la probabilidad en cuántica. Sea $(\Omega, \sigma, P)$ un espacio de probabilidad, una variable aleatoria real es cualquier función $X: \Omega \longrightarrow \mathbb R$. Si a esta definición la interpretamos de manera "estándar" podemos definir la media de una variable aleatoria como el valor promedio que toma. Y así podemos hablar de desviación media, desviación típica, etc.
Consideremos que la física se pueda describir con esta teoría de variables aleatorias, en realidad con la teoría de procesos estocásticos (variables aleatorias que dependen del tiempo). Comprobemos si se podría dar el principio de incertidumbre. Consideremos un ejemplo extremo: $\Omega={A}$, obviamente $\sigma=\{\emptyset, \{A\}\}$ y $P(\emptyset)=0 \;\;\; P(\{A\})=1$. Sean $X$ y $P$ dos variables aleatorias, como solo hay un suceso, las desviaciones típicas $\sigma_X=\sigma_P=0$ y si en concreto cogemos dos que representen la posición y el momento en un cierto instante, no es verdad que $\sigma_X\sigma_P\geq \frac{\hbar}{2}$.

Aunque, la teoría clásica de variables aleatorias "mate" la física cuántica. Podemos hacer la siguiente observación, y es que tenemos un álgebra conmutativa, (obviamente también asociativa y unital) sobre $\mathbb R$ con las operaciones:

$$(XY)(U)=X(U)Y(U) \;\;\; (X+Y)(U)=X(U)+Y(U) \;\;\; (\lambda X)(U)=\lambda X(U)$$

Y se ve que el espacio de funciones complejas sería una $\mathbb C^*$ álgebra conmutativa. Los complejos, aunque no tengan ningún significado físico, son bastante útiles en manipulaciones "algebraicas" (me da risa que los físicos digan la palabra "álgebra" al hacer integrales o jugar con los complejos, de álgebra no tiene nada...). Así pues vamos a considerar estos espacios. Tengamos en cuenta a la siguiente observación, y es que para todo suceso $U \in \sigma$ podemos definir una función promedio:

$$E(X)=<X>_{U}$$

Que es lineal, $E(1)=1$ donde $1(U)=1 \forall U \in \Omega$ y $E(X^*)=E(X)^*$ y $E(X^*X)\geq 0$ (pero no necesariamente estrictamente positiva). Quitemos la conmutatividad del álgebra, a ver que sale.

Sea $A$ una $C^*$ álgebra asociativa y unital. Llamamos estado a las funciones lineales $\rho: A \longrightarrow \mathbb C$ tal que $\rho(1)=1$, $\rho(x^*)=\rho(x)^*$ y $\rho(x^*x)\geq 0$, llamemos $S(A)$ al espacio de todos los estados. Veamos que esto describe "bien" (al menos eso creo) la mecánica cuántica. Hemos interpretado que los elementos del álgebra $X \in A$ son variables aleatorias a $\mathbb C$, ahora podemos intepretar a $\rho(X)$ como el promedio de esa variable aleatoria.
Observamos que cada estado determina una forma bilineal positiva $(x,y)=\rho(x^*y)$, pero no estrictamente positiva, pero se sigue cumpliendo la desigualdad de Cauchy-Scharz $|\rho(x^*y)|^2 \leq \rho(x^* x)\rho(y^*y)$. Y dado que el principio de incertidumbre se deducía de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, no es complicado ver que también se deduce $\sigma_{\rho,x} \sigma_{\rho,y} \geq \frac{1}{2}|\rho([x,y])|$ para todo $\rho \in S(A)$ donde $\sigma_{\rho,x}$ es la desviación típica de $x$ según el estado $\rho$. Y en nuestro caso particular, $[x,p]=i\hbar$ recuperamos el principio de incertidumbre posición - momento.

Vale, ¿pero qué tiene que ver las álgebras $C^*$ con los espacios de Hilbert que se usan en mecánica cuántica? El espacio de operadores de un espacio de Hilbert es de hecho una $C^*$ álgebra pero además ocurre que toda álgebra $\mathbb C^*$ de Banach normada es isomorfo a un subespacio de los operadores acotados de un espacio de Hilbert (Teorema de Gelfand-Neimarck, cuya prueba se basa en los estados definidos anteriormente), no sé si hay generalización para los operadores no acotados, pues los operadores momento, posición o energía son no acotados. Visto la posible equivalencia entre jugar con $C^*$ álgebras y operadores en un espacio de Hilbert, dediquémonos a mirar con lupa estos espacios.
Observemos que cada vector del espacio de Hilbert $\phi \in H \;\;\; (\phi,\phi)=1$, define un estado $\rho(A)=(\phi,A \phi)$. Creo que debería haber un teorema parecido al teorema de representación de Riesz (no sé si existe ni bajo que hipótesis, esto sabrás más que yo), que establezca la equivalencia entre estados en un espacio de Hilbert y estados definidos por vectores de la forma anterior. Otra vez, me reestrinjo al conjunto de estados definidos por vectores del espacio de Hilbert.

Me vas a perdonar que una última vez vaya a apelar a un razonamiento matemático que no sé si existe. Y es el de isomorfismo (o al menos homomorfismo inyectivo) entre espacios de Hilbert. Y es que, tendría que dar lo mismo en trabajar con los operadores de un espacio de Hilbert cualquiera generados por $<1,x,p; \; [x,p]=i\hbar>$ que trabajar con $H=L^2[-\infty,+\infty]$, $x \rightarrow x$, $p \rightarrow -i\hbar\frac{d}{dx}$. Ahora resulta que queremos conocer el espectro del operador energía o hamiltoniana $H=\frac{p^2}{2m}+V(x)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V(x)$ con $V(x)$ una cierta función, si llamamos a $E$ a un valor del espectro y jugamos al "vector propio valor propio", nos queda:

$$E \Psi(x)=-\frac{\hbar^2}{2m}\Psi''(x)+V(x)\Psi(x)$$

Y no es de sorprender que sea la ecuación de Schrödinger, pues toda esta teoría buscaba dar un entendimiento matemático de la ecuación. Además notemos que si $p(t)$ es un polinomio:

$$(\Psi,p(x) \Psi)=\int_{-\infty}^{\infty} p(x) ||\Psi(x)||^2 dx$$

Luego podemos interpretar a la propia $||\Psi(x)||^2$ como una distribución de probabilidad. Una última observación es que si un operador $G$, tiene un autovalor $\lambda$ cuyo vector propio es $u \in H$, entonces el estado $\rho(A)=(u,Au)$ nos da justo que $\rho(G)=(u,Gu)=(u,\lambda u)=\lambda (u,u)=\lambda$, luego espectro, valor propio, vector propio y estado son conceptos íntimamente relacionados.


Con esto podemos responder a la pregunta, ¿qué es la función de onda? Un artificio matemático que nos permite calcular espectros y obtener estados. Que su significado físico esté relacionado con la densidad de probabilidad es debido a como cogemos el espacio de Hilbert, podríamos haber cogido otro y tendría otra interpretación física o probablemente ninguna.
Así pues, intentar dar un significado físico a $\Phi$ nos llevaría a un enfoque muy sesgado de la realidad. Es por eso que si se explica de mala manera, como se suele explicar, da lugar a confusión, a que la materia son a la vez partículas y ondas, pues la solución de la ecuación de Schrödinger da lugar a las ondas, pero resulta que estamos tratando con partículas... ¿acaso la partícula es una onda, o a la onda es una distribución de probabilidad de encontrar a la partícula? Esta discusión no nos lleva a ningún sitio. Yo creo que es a lo que se refiere el video de QuantumFracture.

Respecto a lo que dice Pod sobre la dualidad onda-partícula, no tengo ni idea de a qué se refiere. Como ejemplo de dualidad, sería la mecánica matricial de Heisenberg y la mecánica ondulatoria de Schrödinger, que vienen a ser lo mismo, espacios de Hilbert.


Por último, (por si Carroza me dice que lo que digo es erróneo porque no es el enfoque actual), considera un sistema de n partículas, se puede describir como un producto de n espacios de Hilbert iguales, y es bastante tedioso. Ahora considera infinitas partículas (sin perjuicio de que trates con un número finito), creo que lo llaman espacio de Fock, pues es un producto directo de infinitos espacios de Hilbert, ¿podrías tener en cuenta las posiciones y momento de cada partícula individual? La respuesta no la conozco, pero los físicos se abstraen y dicen "no vamos a tratar partículas individuales, sino de un campo que las incluya a todas". Un campo cuántico sería una función $\phi: \mathbb R^4 \longrightarrow Op(H)$ donde el último conjunto son los operadores de un espacio de Hilbert. Ahora el vectorcillo expresaría la configuración del campo, que parece que se interpreta como el número de partículas del campo y su respectiva energía (aquí puede que esté metiendo la pata...)
No sé si ambos conceptos, campo cuántico e infinitas partículas cuánticas, son equivalentes. La física moderna juega con el primer concepto, y así se verían las partículas: como estados particulares del campo (podríamos añadir el adjetivo bien localizadas...).

Y bueno, ya conoces las integrales de Feynman, que no entiendo muy bien donde entrarían en la anterior teoría de variables aleatorias.

PD: ¿no es apasionante toda la matemática que hay detrás de la probabilidad en cuántica? ¿no quiero ni pensar cuán compleja sería la matemática que combinase probabilidad cuántica y geometría?

Me he extendido demasiado, pero creo que vas a agradecer que haya hecho tantas referencias a las matemáticas.

Saludos

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PD2: Es interesante hacer la siguiente reflexión filosófica, ¿qué estamos haciendo mal para que la axiomática de la probabilidad de Kolmogorov no funcione para la mecánica cuántica? La respuesta es que estamos pidiendo que esté determinado un valor exacto para cada variable aleatoria en cada suceso elemental y esto no lo podemos hacer en cuántica. En la probabilidad clásica, puede ser muy grande el producto de las desviaciones típicas de dos variables aleatorias en ciertos espacios, pero en otros teóricamente podemos hacerlo 0. Además, aunque dos variables aleatorias se puedan describir mediante sucesos elementales, nada nos garantiza que sean los mismos y que podamos definir un producto. Luego la teoría de sucesos elementales se cae si intentamos describir más de una variable aleatoria, luego deja de tener interés.
Otra observación la da otro teorema de Gelfand (está en el artículo que te enlacé), y es que si pedimos que la álgebra sea conmutativa, podemos construir el espacio de probabilidad clásico.

[Weip]

Hola a todos. Hoy vengo a preguntar por la dualidad onda-partícula. Yo tenía entendido, al menos lo asegura mi libro de bachillerato, que las partícula de materia como los electrones pueden exhibir comportamientos propios de las ondas y por tanto tiene sentido hablar de su longitud de onda, frecuencia, etc y esto se ha comprobado en los experimentos. Hace un tiempo también leí el artículo de blog de pod "Dualidades" y pues encaja con lo que me habían explicado: la teoría corpuscular y ondulatoria son equivalentes para describir la naturaleza de forma que la dualidad es una especie de diccionario de traducción entre las dos. Aún así empecé a dudar de esta versión cuando vi un vídeo divulgativo del canal QuantumFracture en el que se presenta la dualidad onda-partícula como un "artefacto" anticuado para explicar las órbitas de los electrones en el modelo atómico de Bohr. Luego he leído un hilo del foro y me he encontrado los siguientes comentarios. Son del hilo "¿Qué debe enseñarse de cuántica en secundaria?":

Por contra, no veo muy util repetir los mantras de la dualidad onda corpusculo, y veo absolutamente fuera de tiesto hablar de quarks, bosones W o Z, o de higgs. El principio de incertidumbre se suele entender mal, como si la cuántica no fuera capaz de dar respuestas.

¡Totalmente de acuerdo! Pero qué manía con la maldita dualidad onda-corpúsculo y que lleva al menos 34 años en temario!

Más o menos me deja con la misma sensación que en el vídeo de QuantumFracture, que la dualidad es algo "pasado de moda". Para comprobar un poco porqué la dualidad onda-partícula es considerada un tema antiguo he ido a revisar un libro de mecánica cuántica, "Modern Quantum Mechanics" de J. J. Sakurai, y no he encontrado ningún apartado que hable de la dualidad onda-partícula. Quizás es porque he buscado mal, pero revisando otros libros y apuntes o bien no hablan de ella o como mucho la ponen en el capítulo de la historia de la mecánica cuántica.

En definitiva mis preguntas son: ¿La dualidad onda-partícula sigue teniendo vigencia o es una curiosidad histórica? ¿Cómo debo interpretarla? ¿Cómo encaja esta dualidad en mecánica cuántica tal como conocemos la teoría actualmente?

Gracias por adelantado.