Secundaria Espacio de Hilbert y notación braket de Dirac

[Alofre]

Hola, he estad leyendo sobre este interesantísimo tema y la verdad es que me he hecho un poco de lío. Me gustaría exponer mis dudas y lo que he entendido a ver si alguien me puede ayudar... todo lo que he puesto en cursiva son preguntas :-)
1. Un espacio de Hilbert H es, de forma simple, un espacio vectorial complejo tal que cada punto representa un determinado estado cuántico, es decir el estado de un sistema cuántico. Por lo tanto un vector (ket |$\alpha$>) representará un estado cuántico.
2. Los espacio de Hilbert no tienen por que ser de dimensión infinita ¿no? por que por ejemplo, yo podría tener un espacio de Hilbert ${H}^{2}$ para representar el espín de una partícula.
3. Entiendo que un conjugado hermítico de una matriz es la traspuesta conjugada de esta... pero que es la adjunta?? Y como tratas esto en un espacio de dimensión infinita...??
4. Dados un ket |$\alpha$> y otro ket |$\beta$> el producto interno será <$\alpha$|$\beta$> es decir |$\alpha$> se transforma en un bra? Cual es el significado físico de esta operación?? Y de hacer <$\alpha$|L|$\beta$> donde L es un operador?

Muchas gracias por adelantado... :-)

[MrM]

Re: Espacio de Hilbert y notación braket de Dirac

Hola, he estad leyendo sobre este interesantísimo tema y la verdad es que me he hecho un poco de lío. Me gustaría exponer mis dudas y lo que he entendido a ver si alguien me puede ayudar... todo lo que he puesto en cursiva son preguntas :-)
1. Un espacio de Hilbert H es, de forma simple, un espacio vectorial complejo tal que cada punto representa un determinado estado cuántico, es decir el estado de un sistema cuántico. Por lo tanto un vector (ket |$\alpha$>) representará un estado cuántico.
2. Los espacio de Hilbert no tienen por que ser de dimensión infinita ¿no? por que por ejemplo, yo podría tener un espacio de Hilbert ${H}^{2}$ para representar el espín de una partícula.
3. Entiendo que un conjugado hermítico de una matriz es la traspuesta conjugada de esta... pero que es la adjunta?? Y como tratas esto en un espacio de dimensión infinita...??
4. Dados un ket |$\alpha$> y otro ket |$\beta$> el producto interno será <$\alpha$|$\beta$> es decir |$\alpha$> se transforma en un bra? Cual es el significado físico de esta operación?? Y de hacer <$\alpha$|L|$\beta$> donde L es un operador?

Muchas gracias por adelantado... :-)

¡Buenos días! Trataré de responderte a todo lo más claramente posible.

1) Sí, y no. La definición de espacio de Hilbert es meramente matemática y en ningún momento pasa por la física cuántica. Aunque considero que no es de provecho dar la definición estricta (no creo que sea el objetivo de tu post), en resumidas cuentas es un tipo muy particular de espacio de Banach.

No obstante, como tú bien sugieres, existe una relación entre la física y los espacio de Hilbert dada por primer postulado de la mecánica cuántica, que establece que todo estado cuántico viene representado por un vector perteneciente a un espacio de Hilbert. En la notación de dirac, estos estados vienen representados por kets, [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .

2) Tú mismo lo has dicho. Existen espacios de Hilbert de dimensión finita, como por ejemplo el espacio que describe el spin de una partícula de s=1/2, que vendría dado por la base $H_{1/2}=\{|\frac{1}{2},\frac{1}{2}>, |\frac{1}{2},-\frac{1}{2}>\}$. Lógicamente, la dimensión de este espacio es 2. Obviamente, también existen espacios de Hilbert de dimensión infinita.

3) Lo que comentas ya no es física; es matemática (aunque, muchas veces, ambas están inevitablemente entrelazadas). Puede que me bailen algunas definiciones, así que si digo una tontería espero que algún compañero me corrija. Allá vamos:

Nuevamente, la definición de operador hermítico no es interesante (además, lo he visto definido de distintas maneras en diversas fuentes). Lo importante es que sobre un operador hermítico, se demuestra que sus autovalores son reales. Ahora bien:

* Sobre operadores de dimensión finita: en este caso, el operador puede escribirse de forma matricial. Se demuestra aquí que todo operador hermítico es autoadjunto y viceversa (dicho de otro modo, un operador de dimensión finita es hermítico sí, y sólo sí, es autoadjunto). Autoadjunto quiere decir que es igual a su adjunto, y el adjunto es el transpuesto conjugado.

* Sobre operadores de dimensión infinita: ahora una de las implicaciones anteriores no se cumple. Si bien todo operador autoadjunto es hermítico, encontramos operadores de dimensión infinita que son hermíticos pero no autoadjuntos.

Al margen de que espero que esto te haya aclarado un poco tu duda, simplemente por dar una respuesta más directa y menos explayada a tu pregunta, te diré: existe una definición para operador adjunto generalizada a cualquier dimensión finita o infinita (puedes encontrarla en wikipedia, creo que se entiende bastante claro: https://es.wikipedia.org/wiki/Operador_adjunto). En el caso particular de dimensión finita, para calcular el adjunto de un operador basta con hacer la traspuesta conjugada de su matriz asociada.

4) En efecto, cuando te encuentras un producto interno de la forma $<\alpha|\beta>$, el estado $<\alpha|$ es un bra. Esta notación se puede justificar con uno de los teoremas de Riesz, que establece que un espacio de Hilbert y su dual (pues los bras no pertenecen al Hilbert, sino a su dual) son isomorfos.

Su significado físico se puede adivinar fácilmente. Supón que yo tengo un sistema en un cierto espacio de Hilbert (finito o infinito) cuyo estado viene dado por un ket $|\alpha>$. Supongamos ahora que yo tengo una cierta base ortonormal de dicho espacio $|\beta_1>, |\beta_2>, |\beta_3>...$.
Entonces, tenemos que $\sum_{i=1} |\beta_i><\beta_i|=1$ (por condición de ortonormalización) (notar que, mientras que $<\alpha|\beta>$ es un número, $|\alpha><\beta|$ es un operador).
Ahora nada me impide descomponer el estado $|\alpha>$ en mi nueva base, pues:
$|\alpha>=1\cdot |\alpha>=\sum_{i=1} |\beta_i><\beta_i| |\alpha>=\sum_{i=1} <\beta_i|\alpha>|\beta_i>$.
Donde queda de manifiesto que el braket $<\beta_i|\alpha>$ no es más que la proyección del estado $|\alpha>$ sobre $|\beta_i>$. Notar que entonces, al medir un cierto operador cuyos autoestados son la base $\{|\beta_i>\}$, la probabilidad de que el estado alfa colapse sobre $|\beta_i>$ viene dada por $|<\beta_i|\alpha>|^2$.

¡Un saludo!

[Weip]

Re: Espacio de Hilbert y notación braket de Dirac

Hola Alofre, solo vengo a comentar un par de cosillas (lo importante ya lo ha explicado MrM).

1. Un espacio de Hilbert H es, de forma simple, un espacio vectorial complejo tal que cada punto representa un determinado estado cuántico, es decir el estado de un sistema cuántico. Por lo tanto un vector (ket |$\alpha$>) representará un estado cuántico.

Los elementos de un espacio de Hilbert (en general los elementos de los espacios vectoriales) no son puntos, son vectores.

2. Los espacio de Hilbert no tienen por que ser de dimensión infinita ¿no? por que por ejemplo, yo podría tener un espacio de Hilbert ${H}^{2}$ para representar el espín de una partícula.

Como ha dicho MrM, existen espacios de Hilbert de dimensión finita, lo que ocurre es que en muchos libros lo encontrarás explicado en dimensión infinita porque al principio los ejemplos que se ponen son los de calcular los niveles de energía de partículas en cajas, y en ese caso el espacio de Hilbert es $L^2$ (el espacio de funciones de cuadrado integrable), que es de dimensión infinita. En cambio el espacio de Hilbert de un sistema formado por un qubit es $\mathbb{C}^2$, que tiene dimensión finita, pero esos ejemplos suelen ir después.

PD: Perdona por la pregunta Alofre, pero, ¿en serio estás en secundaria? Es que me sorprende ya no solo los temas que vas mirando si no la madurez científica que muestras en los mensajes del foro.

[Alofre]

Re: Espacio de Hilbert y notación braket de Dirac

[FONT=arial]Unas explicación maravillosas, muchísimas gracias!!
Eh... sí estoy en secundaria, en (hago1º de bachillerato realmente) pero con ayuda y motivación :-) estoy estudiando en mi tiempo libre Física, no solo para prepararme sino por lo interesante que me parece todo esto, especialmente el electromagnetismo y cuántica... (aun que admito que mis conocimientos tienden a 0)
P.D. Sí lo de puntos fue meter un poco la pata ;-)[/FONT]

[Alriga]

Re: Espacio de Hilbert y notación braket de Dirac

Sin alto rigor matemático, pero que da una idea de la importancia de los Espacios de Hilbert echa un vistazo a cosas que escribí aquí: http://forum.lawebdefisica.com/threa...173#post173173 y aquí http://forum.lawebdefisica.com/threa...112#post179112

Saludos.