Secundaria Operador evolución temporal

[Alofre]

Hola, una pequeña duda, acerca del operador unitario de evolución temporal:

(Voy a simbolizar la daga/cruz con un asterisco)
En el libro que estoy leyendo aparece esta ec.:
U*($\epsilon$)U($\epsilon$)= I donde $\epsilon$ supongo que es un intervalo de tiempo muy pequeño e I la matriz identidad
La cual supongo que el la condición de unitariedad (o como se escriba eso en castellano
Luego se sacan estas relaciones de la manga:
U($\epsilon$)= I -i$\epsilon$H (1)
U*($\epsilon$)= = I +i$\epsilon$H (2)
Donde básicamente entiendo porque cambian de signo y que están restando un magnitud infinitesimal a la matriz identidad, aunque no entiendo muy porqué.

Y ahora: (I +i$\epsilon$H)( I -i$\epsilon$H)=I ---> H*-H= H (3)
¿Alguien podría explicarme de donde salen las ec. 1, 2 y 3?
Muchas gracias!!

[pod]

Re: Operador evolución temporal

Estas igualdades salen de forma muy sencilla simplemente haciendo el desarrollo de Taylor de U a primer orden. Pero supongo que lo estás haciendo para deducir la forma de U, y por lo tanto aún no sabes que forma tiene como para poder hacer el desarrollo. En ese caso, yo partiría de la ecuación de Schödinger:

$$i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\big| \psi(t) \big> =\mathcal H \big| \psi(t) \big> .$$

A primer orden en $\varepsilon$, la derivada es un simple cociente,

$$i \hbar \dfrac{\big|\psi(t+\varepsilon) \big> - \big|\psi(t) \big>}{\varepsilon} = \mathcal H \big| \psi(t) \big> .$$

Si agrupamos los términos que en que aparece el mismo Ket, (recuerda que $i = -1/i$)

$$\big|\psi(t+\varepsilon) \big> = \underbrace{\Big( \mathbb I - \frac{i \varepsilon}{\hbar} \mathcal H \Big)}_{U(\varepsilon)} \big|\psi(t) \big> .$$

Esta es directamente tu expresión de U a primer orden (supongo que has hecho $\hbar=1$). La expresión de $U^*$ sale al tener en cuenta que el Hamiltoniano es hermítico, y por lo tanto lo único que hace falta es cambiar el signo de la unidad imaginaria.

En cuanto a tu ecuación (3), obviamente se trata de un desarrollo a primer orden, ignorando el término con $\varepsilon^2$ y no lo puedes interpretar como una igualdad exacta. Obviamente no es cierto que $\mathcal H \ (-\mathcal H) = \mathcal H$. Probablemente seria más correcto escribir

$$\Big( \mathbb I - \frac{i \varepsilon}{\hbar} \mathcal H \Big) \Big( \mathbb I + \frac{i \varepsilon}{\hbar} \mathcal H \Big) = \mathbb I + o(\varepsilon^2) .$$

[Dj_jara]

Re: Operador evolución temporal

Basicamente de la ecuaciøon de Schrödinger dependiente del tiempo.

$\dfrac{d}{d t} \left | \psi\left(t \right) \right > = - i \hat H \left | \psi\left(t \right) \right >$

Con lo cuál, haciendolo bastante informal:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Entonces:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Al fin y al cabo el operador de evolución temporal viene a decir:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Con lo que tienes para cualquier función de onda:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

El efecto de U* al fin y al cabo es el inverso de U, así que no es raro que sea la misma expresión que U pero cambiando epsilon por - epsilon, uno te "avanza" la función de onda y el otro la "retrocede"

No entiendo de donde sacas la ecuación 3, si haces los cálculos correctamente verás que los terminos que van con epsilon se anulan ya que es$i \epsilon (H - H)$


P.S. Como puntualización, he usado unidades de Planck donde $\hbar = 1$ para utilizar las mismas expresiones que tú

[Alofre]

Re: Operador evolución temporal

Ups, perdoón quería poner H*-H=0, H*=H

- - - Actualizado - - -

En cuanto a tu ecuación (3), obviamente se trata de un desarrollo a primer orden, ignorando el término con $\varepsilon^2$ y no lo puedes interpretar como una igualdad exacta. Obviamente no es cierto que $\mathcal H \ (-\mathcal H) = \mathcal H$. Probablemente seria más correcto escribir

$$\Big( \mathbb I - \frac{i \varepsilon}{\hbar} \mathcal H \Big) \Big( \mathbb I + \frac{i \varepsilon}{\hbar} \mathcal H \Big) = \mathbb I + o(\varepsilon^2) .$$

Sí eso es lo que no entendía principalmente, como desparecía la épsilon al cuadrado. Sólo una cosilla, ¿qué significa esa $o(\varepsilon)^2$

[Alriga]

Re: Operador evolución temporal

... una cosilla, ¿qué significa esa $o(\varepsilon)^2$?

Te lo explico con un ejemplo, la Serie de Taylor de $e^x$ es:

$\dst e^x=\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{n!}=1+x+\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}6+\dfrac{x^4}{24}+\dfrac{x^5}{120}+ \dots$

Imagina que para tu caso es suficiente aproximación quedarte con solo los 2 primeros sumandos, entonces ello se expresa:

$\dst e^x=1+x+O(x^2)$

Con ello se quiere indicar que desprecias a partir de sumandos de 2º grado.

Imagina otro caso en que sea suficiente aproximación quedarte con solo los 5 primeros sumandos, entonces ello se expresa:

$\dst e^x=1+x+\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}6+\dfrac{x^4}{24}+O(x^5)$

Con ello se quiere indicar que desprecias a partir de sumandos de 5º grado. En general para el caso de la exponencial:

$\dst e^x=\sum_{n=0}^{m} \dfrac{x^n}{n!}+O(x^m)=1+x+\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}6+\dots+\dfrac{x^{m-1}}{(m-1)!}+O(x^m)$

NOTA: cuando te enseñen los desarrollos de funciones en Series de Taylor, te enseñarán a estimar el valor máximo de $O(x^m)$, con ello siempre tendrás una idea del error máximo que estás cometiendo truncando la serie en "m-1"

Saludos.

[Lorentz]

Re: Operador evolución temporal

Te lo explico con un ejemplo, la Serie de Taylor de es:



Imagina que para tu caso es suficiente aproximación quedarte con solo los 2 primeros sumandos, entonces ello se expresa:



Con ello se quiere indicar que desprecias a partir de sumandos de 2º grado.

Sólo quiero hacer un pequeño inciso.

Este ejemplo que te ha puesto Alriga viene que ni pintado, porque para un hamiltoniano que no depende del tiempo el operador evolución se escribe como:
$\dst U\left(t,t_0\right)$$\dst =e^{-i\frac{H \left(t-t_0\right)}{\hbar}}$ pero al hablar de intervalos muy pequeños $\dst \epsilon=t-t_0$, se aproxima por Taylor, quedándote el operador:

$\dst U\left(\epsilon\right)=\mathbb{I}-i\frac{H \epsilon}{\hbar}$

Un saludo