Secundaria ¿Qué significa la actuación de un operador sobre un vector en Cuántica?

[Alofre]

Buenas, esta es una pregunta que me lleva carcomiendo un tiempo. Explico mejor mi duda con un ejemplo:

Si tenemos ${\sigma}_{z}|u>$ yo en un principio interpreté que esto conceptualmente significa "Tenemos una partícula en el estado preparado|u> y medimos en el eje-z por lo que el resultado será |u>.

Pero ahora, en casos un poco más difíciles

${\sigma}_{z}|d>=-|d>$ En este caso el autovalor es -1 mi pregunta es ¿porqué? Es decir, entiendo porque está matemáticamente pero no conceptualmente, que siginifica tener autovalor -1?

${\sigma}_{z}|r>=(1/({2}^{ 1/2}))*(|u>-|d>)$ Esto quiere decir "Medimos en el eje-z estando la partícula en el estado de espín |r> y hasta que midamos se encontrará en un estado de superposición de los dos estados del eje-z??"

${\sigma}_{x}|u>=|d>$Ahora bien, algo que no entiendo y me confunde bastante es porqué aquí "medir en el eje-z con la partícula en el estado |u> nos da |d>. Ya he visto que matemáticamente es así pero conceptualmente me pierdo.

Muchas gracias por adelantado :-)

[carroza]

Re: ¿Qué significa la actuación de un operador sobre un vector en Cuántica?

Hola.

No es necesario mezclar la medida para hablar de operadores y vectores estado.

Un operador es una cosa que, cuando actua sobre un estado, me produce otro estado, en general diferente.

Como un caso particular muy especial, cuando un operador actua sobre uno de sus autoestados, nos da el mismo estado, multiplicado por un numero, que es su autovalor.

Cuando tengas esto claro, hablamos de medidas.

Saludos

[Alofre]

Re: ¿Qué significa la actuación de un operador sobre un vector en Cuántica?

Sí eso lo tengo claro, mis preguntas van referidas más bien a que significa todo eso en el mundo "experimental"

[carroza]

Re: ¿Qué significa la actuación de un operador sobre un vector en Cuántica?

Sí eso lo tengo claro, mis preguntas van referidas más bien a que significa todo eso en el mundo "experimental"

${\sigma}_{x}|u>=|d>$Ahora bien, algo que no entiendo y me confunde bastante es porqué aquí "medir en el eje-z con la partícula en el estado |u> nos da |d>. Ya he visto que matemáticamente es así pero conceptualmente me pierdo.

Alofre, para aclararse las ideas en física, es util aclararse primero lo que uno sabe, lo que no sabe, y lo que quiere saber. Perdoname lo que sigue, porque sonará un poco "patronizing", pero creo que puede ser formativo.

La frase "medir en el eje-z con la partícula en el estado |u> nos da |d>", es gramaticalmente incorrecta. No se mide en el eje z. Se mide la proyección de algo a lo largo del eje z. Asumiré en lo que sigue que quieres medir la proyección del espín.

La afirmación "La medida de la proyección del espín a lo largo del eje-z con la partícula en el estado |u> nos da |d>", es conceptualmente incorrecta. Una medida de algo da un resultado, que puede ser 1/2, -1/2, pi, cero o infinito. Una medida de algo da siempre un numero. Si mido una particula, no me puede dar un estado.

Estaremos encanatdos en el foro de resolver tus dudas, a cualquier nivel, pero sería util que expresaras tus dudas con más claridad.

Un saludo

[Alofre]

Re: ¿Qué significa la actuación de un operador sobre un vector en Cuántica?

Disculpa mi falta de rigor y claridad. Permíteme concretar mi preguntar: Si un operador A que tiene como autovector el vector perteneciente a un espacio de Hilbert |a>, la ecuación A|a>=a|a> quiere decir que si el sistema cuántico se encuentra en el estado |a>, a será el resultado de la medida de la variable representada por A?
Ahora, lo que me resulta más difícil de comprender es el caso: ${\sigma}_{x}|u>=|d>$ u otros casos en los que el vector no sea autovector del operador. ¿Que sucede por ejemplo en este caso?
Gracias, y de nuevo, disculpa la falta de claridad.

[Weip]

Re: ¿Qué significa la actuación de un operador sobre un vector en Cuántica?

Disculpa mi falta de rigor y claridad. Permíteme concretar mi preguntar: Si un operador A que tiene como autovector el vector perteneciente a un espacio de Hilbert |a>, la ecuación A|a>=a|a> quiere decir que si el sistema cuántico se encuentra en el estado |a>, a será el resultado de la medida de la variable representada por A?
Ahora, lo que me resulta más difícil de comprender es el caso: ${\sigma}_{x}|u>=|d>$ u otros casos en los que el vector no sea autovector del operador. ¿Que sucede por ejemplo en este caso?
Gracias, y de nuevo, disculpa la falta de claridad.

Buenas. Lo que voy a comentar ya está recogido en este magnífico artículo de blog que pod escribió hace ya unos años. Te recomiendo que lo leas para aclararte. Aún así te puedo dar una respuesta rápida. Considera un operador $A$ que tiene como conjunto de estados propios $\left\{ \left|i\right> \right\}_i$ y como conjunto de valores propios $\left\{ a_i\right\}_i$. Es decir, que para cada $i$ tenemos $A\left|i\right>=a_i\left|i\right>$. Como $\left\{ \left|i\right> \right\}_i$ es una base tenemos que un estado $\left|\psi\right>$ puede ser escrito como:

$\left|\psi\right>=\dst\sum_{i}c_i \left|i\right>$

La interpretación del asunto es la siguiente: Si el estado está normalizado, la probabilidad de que al medir obtengamos un valor propio $a_i$ viene dada por $|c_i|^2$. Y bueno a partir de aquí a la función de onda le pasan cosas que responden a tu segunda pregunta pero eso lo explica pod mejor que yo.

[carroza]

Re: ¿Qué significa la actuación de un operador sobre un vector en Cuántica?

Hola.

Weip, y Pod en su blog, te han explicado cómo se describe la medida en mecánica cuántica.

Me parece que ya entiendo el origen de tu confusión:

Sabes, correctamente, que un operador actúa sobre un estado, produciendo otro estado, de forma que, por ejemplo, $\sigma_x |u> = |d>$

Sabes, correctamente, que una medida de una magnitud experimental lleva asociado un operador, de forma que los autovalores del operador son los valores posibles del resultado de la medida. Así, la medida de la proyección del espín a lo largo del eje x lleva asociada el operador $\sigma_x/2$.

Has deducido, incorrectamente, que realizar una medida experimental sobre un sistema es equivalente, en cierto modo, a actuar con el operador asociado a la medida experimental sobre el estado cuantico que describe el sistema, antes de la medida.

Cuando mides (según el postulado de la medida), proyectas el estado del sistema sobre los autoestados del operador asociado a la medida. Así, según el postulado de la medida, cuando mides la proyección del espin sobre el eje z sobre un estado $|u>$, puedes obtener al final el autoestado de $\sigma_x/2$ correspondiente al autovalor +1/2, que es $(|u> + |d>)/\sqrt{2}$, con una probabilidad del 50%, o bien el autoestado de $\sigma_x/2$ correspondiente al autovalor -1/2, que es $(|u> - |d>)/\sqrt{2}$, con una probabilidad del 50%.

Saludos

[Alofre]

Re: ¿Qué significa la actuación de un operador sobre un vector en Cuántica?

Has deducido, incorrectamente, que realizar una medida experimental sobre un sistema es equivalente, en cierto modo, a actuar con el operador asociado a la medida experimental sobre el estado cuantico que describe el sistema, antes de la medida.

Cuando mides (según el postulado de la medida), proyectas el estado del sistema sobre los autoestados del operador asociado a la medida. Así, según el postulado de la medida, cuando mides la proyección del espin sobre el eje z sobre un estado $|u>$, puedes obtener al final el autoestado de $\sigma_x/2$ correspondiente al autovalor +1/2, que es $(|u> + |d>)/\sqrt{2}$, con una probabilidad del 50%, o bien el autoestado de $\sigma_x/2$ correspondiente al autovalor -1/2, que es $(|u> - |d>)/\sqrt{2}$, con una probabilidad del 50%.

Sí, era eso lo que me estaba confundiendo. Muchas gracias por vuestras respuestas.:-)