Consulta sobre la ecuación de Scrodinger independiente del tiempo.

[carroza]

Re: Consulta sobre la ecuación de Scrodinger independiente del tiempo.

A continuación aparece;
$i\hbar\frac{\partial }{\partial t}\Psi{(\vec{r} ,t)}=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\Delta\Psi(\vec{r} ,t)+V(r)\psi(\vec{r} ,t)$

Bien, entonces me pregunto, si estamos hablando de algo que no es dependiente del tiempo, considero que es independiente del tiempo. Entonces, si es independiente del tiempo ¿Porque aparece la variable t en en los paréntesis que definen las variables?

Hola. El hecho de que el potencial ( la causa del movimineto) no dependa del tiempo, no implica que la función de onda (la descripción del movimiento), no pueda depender del tiempo.

Fijate lo que ocurre en mecánica clásica: Puedes tener un potencial que no depende del tiempo, como el potencial armónico $V(x) = 1/2 K x^2$, y sin embargo las trayectorias sí dependen del tiempo $x(t) = A \cos (\omega t + \phi)$.

Incluso puedes tener un potencial nulo, y aún así ña trayectoris sígue dependiendo del tiempo $x(t) = x_0 + v_0 t$.

Saludos

[arivasm]

Re: Consulta sobre la ecuación de Scrodinger independiente del tiempo.

La ecuación de Schrödinger debe satisfacerse en todos los casos.

El texto que mencionas entiendo que es una entradilla para justificar el desarrollo que le sigue, consistente en separar la función de onda, $\Psi(\vec r,t)$ como producto de dos funciones, una dependiente solo de las coordenadas y la otra dependiente solo del tiempo. Permíteme usar mi propia notación, y no tener que subir un par de pisos a buscar mi ejemplar del Cohen: $\Psi(\vec r,t)=\psi(\vec r)\cdot\chi(t)$ (ojo, estate atento, no confundas $\Psi$ con $\psi$)

De este modo, al substituir en la ecuación de Schrödinger nos queda lo siguiente: $i\hbar\psi(\vec r)\dfrac{\dd \chi(t)}{\dd t}=-\chi(t)\dfrac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi(\vec r)+V(\vec r)\psi(\vec r)\chi(t)$.

Ahora procederemos a separar ambas variables, dividiendo previamente ambos miembros por $\psi(\vec r)\chi(t)$:

$\dfrac{i\hbar}{\chi(t)}\dfrac{\dd \chi(t)}{\dd t}=\dfrac{1}{\psi(\vec r)}\left[-\dfrac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi(\vec r)+V(\vec r)\psi(\vec r)\right]=E$

donde hemos escrito la igualdad con la constante $E$ porque en cada lado de la primera igualdad tenemos funciones de variables diferentes, con lo que dicha igualdad solo es posible si cada uno de ambos términos es una constante (y además la misma, obviamente).

Así tenemos dos ecuaciones, al tomar la segunda igualdad resulta la archiconocida ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, $\dst -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi(\vec r)+V(\vec r)\psi(\vec r)=E\psi(\vec r)$ (que usualmente abreviamos como $\hat H\psi(\vec r)=E\psi(\vec r)$) y que es la que empleamos para conocer los estados estacionarios (los independientes del tiempo) del sistema.

La segunda la tenemos al considerar la igualdad $\dfrac{i\hbar}{\chi(t)}\dfrac{\dd \chi(t)}{\dd t}=E$ y nos da, $\chi(t)$, es decir la parte temporal de $\Psi(\vec r,t)$, cuya solución inmediata es $\chi(t)=\ee^{-i(E/\hbar)t}$ (en realidad multiplicada por una constante arbitraria).

A modo de ejemplo podemos considerar el caso típico del átomo de hidrógeno. Cuando se resuelve la ecuación $\hat H\psi(\vec r)=E\psi(\vec r)$ y encontramos los famosos orbitales atómicos, $\psi(\vec r)$, en realidad solo estamos prestando atención a una parte de la función de onda, $\Psi(\vec r,t)$, cuya forma completa es $\dst\ee^{-i(E/\hbar)t}\psi(\vec r)$

[inakigarber]

Buenas noches;

A vueltas con "El Cohen" de cuántica me encuentro con el siguiente texto que me plantea dudas;
En la página 35 del capítulo 1 Ondas y partículas dice lo siguiente;
1 Separation of variables. Stationary states;
The wave function of a particle whose potential energy V(r) is not time dependient must satisfy the Schrodinger equation"
Que yo interpreto de la siguiente manera; (No sé si correctamente).
1 Separación de variables;
La función de onda de una partícula cuya energia potencial V(r) no es dependiente del tiempo debe satisfacer la ecuación de Schrodinger. El subrayado es mio.

A continuación aparece;
$i\hbar\frac{\partial }{\partial t}\Psi{(\vec{r} ,t)}=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\Delta\Psi(\vec{r} ,t)+V(\vec{r} )\psi(\vec{r} ,t)$

Bien, entonces me pregunto, si estamos hablando de algo que no es dependiente del tiempo, considero que es independiente del tiempo. Entonces, si es independiente del tiempo ¿Porque aparece la variable t en en los paréntesis que definen las variables?

Por otra parte, Cohen no lo explica (supongo que lo hará más adelante, o tal vez los da por sabidos) que significan exactamente los términos de la ecuación.
a primera vista veo la base de los números imaginarios (luego tenemos un resultado imaginario). Tenemos la constante reducida de Planck $\hbar$, la derivada parcial respecto al tiempo de una función $\Psi$ (sí la ecuación es independiente respecto al tiempo esta derivada parcial ¿no debiera ser cero?, supongo que el vector $\vec{r}$ representa la posición del objeto. La letra m representa a la masa ¿es así?

Quisiera poder tener una explicación detallada de lo que significan los términos que aparecen en ella.

Saludos y gracias.