Otras carreras Mecánica cuántica y principio de mínima acción

[Pola]

Buenos días.

Se me ha planteado una duda que agradecería que me ayudarais a resolver.

La cuestión es que pensaba en si los bosones y los fermiones estaban sujetos en su trayectoria a un principio similar al movimiento de la materia bajo el campo gravitatorio, que les haga minimizar algo similar a la acción.

No parece de entrada lógico que no sea así. Debería ser un principio general que afecte tanto al movimiento bajo el campo gravitatorio como al movimiento baja el campo electromagnético. O cualquier otro.

Pero me hace dudar lo siguiente:

Imagino un campo (o conjunto de campos: el gravitatorio y el electromagnético) que ocupa(n) todo el espacio sujeto a consideración en el ejemplo. En él se mueve un electrón (por ejemplo).

Sabemos que hay una probabilidad no nula de que (la trayectoria de) ése electrón se encuentre en cualquier lugar del campo. Pero no todos los puntos de ése campo se corresponden con aquellos que minimizarían la acción.

Puedo imaginar que es muy poco probable que el electrón se encontrara en ése punto (pongamos por ejemplo que es una probabilidad igual a 0,000001). Pero tras un millón de experimentos, tendría una probabilidad del 100% de encontrar a la partícula en ése punto, que como digo, no sería uno en el que la acción fuera mínima.

Por tanto, y según éste razonamiento, o bien la partícula no puede estar en todos los puntos del campo con probabilidad no nula (o no puede seguir todas las trayectorias posibles), o bien no se cumple el principio de mínima acción.

Lo mismo me ocurre pensando en los fotones, neutrones, etc en los campos cuánticos que les afecten


No sé cuál es la solución.

[HanT]

Re: Mecánica cuántica y principio de mínima acción

No soy gran conocedor del tema pero te comento para que busques más por tu cuenta:

1) No siempre el problema variacional de una situación física conduce a un problema de mínima acción. En general se habla de principio de acción estacionaria: puede ser máximo o mínimo.

2) En mecánica cuántica, en lugar de encontrar una trayectoria entre dos puntos fijos 1 y 2 tal que extreme la acción, se dice que la partícula va por todas las trayectorias posibles entre 1 y 2 a la vez. Esto conduce al concepto de path integral de Feynman, cuya expresión incluye la acción de cada camino entre 1 y 2. Si consideras todas las trayectorias a la vez, es como si no estuvieras considerando ninguna en concreto, de modo que no hay problema con hacer eso.

[pod]

Re: Mecánica cuántica y principio de mínima acción

Simplemente, la mecánica cuántica no se rige por el principio de mínima acción. Ese es un principio clásico que no se cumple cuánticamente.

De hecho, el principio de mínima acción clásico se puede obtener como un límite de la mecánica cuántica, es relativamente fácil argumentarlo a través de la formulación de la integral de caminos de Feyman, tal y como comenta HanT. Nos permite calcular la probabilidad de obtener un resultado teniendo en cuenta todas la formas posibles en que dicho resultado se puede dar. Por ejemplo, en el experimento de la doble rendija, como no podemos saber por qué rendija ha pasado la partícula, tenemos que tener en cuenta las dos posibilidades. Resulta que lo que nos dice Feyman es que tenemos que sumar (integrar) todos los caminos posibles con un peso que es proporcional a la exponencial negativa de la acción, [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Obviamente, esta exponencial da mayor peso a aquellos trayectorias cuya acción es menor. En el límite clásico (donde la acción es mucho mayor a $\hbar$) sólo sobrevivirá el camino donde la acción es mínima, y de ahí que el principio de mínima acción es una buena aproximación en el mundo clásico. Pero, insisto, aproximación: no es de extrañar que en el mundo cuántico (donde la diferencia de acciones entre diferentes caminos es muy pequeña, en unidades de $\hbar$) no se cumpla.

[Pola]

Re: Mecánica cuántica y principio de mínima acción

Muchas gracias.

Una pregunta Pod: ¿podrías decirme cuál es la fórmula de la acción en el mundo cuántico?

[pod]

Re: Mecánica cuántica y principio de mínima acción

Muchas gracias.

Una pregunta Pod: ¿podrías decirme cuál es la fórmula de la acción en el mundo cuántico?

La misma: la integral a todo el espacio-tiempo de la densidad lagrangiana.

[carroza]

Re: Mecánica cuántica y principio de mínima acción

Resulta que lo que nos dice Feyman es que tenemos que sumar (integrar) todos los caminos posibles con un peso que es proporcional a la exponencial negativa de la acción, [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Obviamente, esta exponencial da mayor peso a aquellos trayectorias cuya acción es menor. En el límite clásico (donde la acción es mucho mayor a $\hbar$) sólo sobrevivirá el camino donde la acción es mínima,

Hola. Esto hay que corregirlo. La amplitud de un proceso se obtiene como una integral extendida, en principio, a todas las trayectorias posibles, por exóticas que pudieran parecernos. La integral de camino asigna a cada trayectoria un peso dado por un número complejo que es la exponencial compleja de la acción $\propto e^{ i S/\hbar}$. Como, en el mundo clásico, la acción es un número muy grande, comparado con $\hbar$, las contribuciones de la inmensa mayoría de las trayectorias tienden a cancelar sus efectos, ya que contribuyen con numeros complejos de fases muy diferentes. Solamente cuando las trayectorias están en la proximidad de una que hace a la acción extrema (máxima o mínima), tienen una contribución significativa a la amplitud. Esto lleva a la aproximación clásica a un problema cuántico, que nos diría que, en lugar de considerar todas las trayectorias posibles, basta con considerar las trayectorias que hacen máxima o mínima la acción. Además, como en la mayoría de los problemas, la acción no tiene un máximo, se obtiene el principio de mínima acción.

Un saludo