2o ciclo duda

[alejandrito29]

Hola . En una prueba me salió el siguiente problema.

Considere el siguiente estado:

$|a> = |R><R|a> + |L><L|a>$

con $a_r = <R|a> ; a_l= <L|a>$

Si el Hamiltoneano es :

$H = T ( |L><R| + |R><L|)$

a) Encuentre autovalores y autovectores de energía normalizados.

b) Encuentre $|a;t>$ para t>0.
______________________________________


La pregunta a) la tube buena..es muy sencilla...

autovalor1 = T , autovector 1 = (1,1): raíz(2)

autovalor2 = -T , autovector 2 = (1,-1): raíz(2)
_______________________________________________________

En la pregunta b), yo dije $|a;t> = U(t)*|a>$, con
U(t) =exp(-iHt:h)...
Yo lo pantié así:

$|a;t> = a_r* exp(-iTt:h)*autovector1 + a_l* exp(-i(-T)t:h)*autovector2$,

El profesor me dijo que estaba malo, por que no podía asumir que en la evolución los valores de energía serán T y -T. Dijo que la energía era una sola y había que poner H.
Yo también asumí que como los autovectores del hamiltoneano son los autoestados, entonces IR> era autovector1 y IL> era autovector2...¿esta malo esto?.
Alguien me podría ayudar?...Aún creo no tener muy claro esta parte de la teoría
(no me fue mal en la prueba en todo caso, )

[Jose D. Escobedo]

Re: duda

Hay algo que me intriga.
Dices que la pregunta a) la tubiste buena y que era facil, pero en b) los valores de T y -T estan equivocados. Entonces, quiere decir que tambien hay algo equivocado en a) porque obtuvistes los "eigen values" de T y -T los cuales son usados en b)

Ademas, me gustaria si fuera posible me dijeras como obtuviste T y -T porque es muy dificil obtener energias negativas.

[pod]

Re: duda

Ademas, me gustaria si fuera posible me dijeras como obtuviste T y -T porque es muy dificil obtener energias negativas.

¿En serio? Por ejemplo, los estados ligados del átomo de hidrógeno...

Para obtener los autovalores, basta con diagonalizar la matriz

$$\begin{pmatrix} 0&1\\1&0 \end{pmatrix}$$

Hola . En una prueba me salió el siguiente problema.

Considere el siguiente estado:

$|a> = |R><R|a> + |L><L|a>$

con $a_r = <R|a> ; a_l= <L|a>$

Si el Hamiltoneano es :

$H = T ( |L><R| + |R><L|)$

a) Encuentre autovalores y autovectores de energía normalizados.

b) Encuentre $|a;t>$ para t>0.
______________________________________


La pregunta a) la tube buena..es muy sencilla...

autovalor1 = T , autovector 1 = (1,1): raíz(2)

autovalor2 = -T , autovector 2 = (1,-1): raíz(2)
_______________________________________________________

En la pregunta b), yo dije $|a;t> = U(t)*|a>$, con
U(t) =exp(-iHt:h)...
Yo lo pantié así:

$|a;t> = a_r* exp(-iTt:h)*autovector1 + a_l* exp(-i(-T)t:h)*autovector2$,

El profesor me dijo que estaba malo, por que no podía asumir que en la evolución los valores de energía serán T y -T. Dijo que la energía era una sola y había que poner H.
Yo también asumí que como los autovectores del hamiltoneano son los autoestados, entonces IR> era autovector1 y IL> era autovector2...¿esta malo esto?.
Alguien me podría ayudar?...Aún creo no tener muy claro esta parte de la teoría
(no me fue mal en la prueba en todo caso, )

Lo que tienes que hacer es expresar el estado en función de los vectores propios propios,

$$\big| \pm \big> = \frac{1}{\sqrt2} \left( \big|R\big> \pm \big|L\big> \right) \ .$$

Entonces, seguro que podemos escribir

$$\big| a \big> = a_+ \big| + \big>+ a_-\big| - \big>\ ,$$

donde obviamente

$$a_\pm = \big< \pm \big| a \big> \ .$$

Una vez hayas calculado estos coeficientes (en función de $a_r$ y $a_l$), sólo te queda escribir

$$\big| a(t) \big> = a_+ \eee{- i T t / \hbar} \big| + \big>+ a_- \eee{i T t / \hbar} \big| - \big>\ .$$

Esto es así por que los estados $\big| \pm \big>$. En cambio, los estados $\big|L\big>$ y $\big|R\big>$, no.

La otra opción es desarrollar por Taylor la exponencial, encontrando la relación de recurrencia entre las potencias de H; pero imagino que eso te será más complicado.

[Jose D. Escobedo]

Re: duda

bueno,pod, yo referia ha este ejemplo.

porque:

$H\big| a \big> = T (\big| L \big > \big<R \big | + \big |R \big > \big< L \big|)(\big| R \big> \big<R \big| a \big> + \big|L \big> \big< L \big| a \big> ) = T (\big| L \big> \big<R \big| a \big > + \big | R \big> \big<L \big| a \big >$

Ahora si $\big<a \big|=\big< a \big| R \big> \big<R \big| + \big< a \big | L \big> \big < L\big|\Rightarrow$

$\big<a \big| H\big| a \big> = T (\big< a \big| L \big> \big< R \big| a \big> + \big<a \big| R \big> \big< L \big| a \big>) = T (a_l^* a_r + a_r^* a_l) = E_t$ si se tine encuenta que $a_r = \big< R\big|a \big>$ y $a_l = \big< L \big| a \big>$

Si finalmente $\big<a \big| a \big> = 1 = a_r^* a_r + a_l^ * a_l \Rightarrow a_r ^2 + a_l^2 =1$

De aqui precisamente, tal vez, se podria obtener los resultados a que se hace referencia, pero el signo menos es dificil de visualizar para mi, por eso preguntaba.

[pod]

Re: duda

bueno,pod, yo referia ha este ejemplo.

porque:

$H\big| a \big> = T (\big| L \big > \big<R \big | + \big |R \big > \big< L \big|)(\big| R \big> \big<R \big| a \big> + \big|L \big> \big< L \big| a \big> ) = T (\big| L \big> \big<R \big| a \big > + \big | R \big> \big<L \big| a \big >$

Ahora si $\big<a \big|=\big< a \big| R \big> \big<R \big| + \big< a \big | L \big> \big < L\big|\Rightarrow$

$\big<a \big| H\big| a \big> = T (\big< a \big| L \big> \big< R \big| a \big> + \big<a \big| R \big> \big< L \big| a \big>) = T (a_l^* a_r + a_r^* a_l) = E_t$ si se tine encuenta que $a_r = \big< R\big|a \big>$ y $a_l = \big< L \big| a \big>$

Si finalmente $\big<a \big| a \big> = 1 = a_r^* a_r + a_l^ * a_l \Rightarrow a_r ^2 + a_l^2 =1$

De aqui precisamente, tal vez, se podria obtener los resultados a que se hace referencia, pero el signo menos es dificil de visualizar para mi, por eso preguntaba.

Ese es el valor esperado del Hamiltoniano, no su valor propio.

Diagonaliza la matriz que te puse, y lo verás.

[Jose D. Escobedo]

Re: duda

Gracias pod, estaba pensando que este problema era muy dificil. Cuando en realidad no lo es.