2o ciclo valor esperado energia

[juanmixp]

Tengo el siguiente problema que ahora os enunciaré. El ejercicio ya lo he resuelto pero no me da ninguna de las posibles soluciones que se supone que tiene dar. Os lo remito a ver si me decis algo (os lo copio literalmente para que no haya fallos)

una partícula está sometica a un potencial armónico unidimensional. En el instante t=0 su estado cuantico es [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , donde $\left|n\right>$ son los autoestados del operador hamiltoniano H. Calculad el valor esperado de la energia en t=0. Posibles soluciones:
a) $\omega\hbar\frac{5}{2}$
b) $\omega\hbar\frac{3}{2}$
c) $\omega\hbar$
d) $\omega\hbar(n+\frac{1}{2})$ Lo que me sale a mi, y veo bastante lógico

[pod]

Re: valor esperado energia

Esa opción d que pones tú sería la energía de un sólo estado $|n>$, pero tienes una superposición de muchos. Lo que tienes que hacer es el sandwitch que define el valor esperado

$$\big< \psi \big| H \big| \psi \big> = \frac12 \sum_{n,m} \frac1{2^{(n+m)/2}} \big< n \big| H \big| m \big>\ ,$$

y tienes que utilizar la propiedad definitoria de los estados de excitación,

$$\big< n \big| H \big| m \big> = \hbar \omega \left( n + \frac12 \right) \delta_{n,m} \ .$$

La delta de Kroneker te permite eliminar uno de los sumatorios; el otro será una serie de esas que sabes sumar

[zell_006]

Re: valor esperado energia

Hola juanmi se hacer ese problema y mira te explico:

tenemos ,y te pide el valor esperado de la energia,como sabes H=(n+1/2)hw,por lo tanto al hallar el valor esperado te va a quedar esto

1/2hw*sumatorio((1/raiz de 2)^2n *(n+1/2)),te pongo elevado a 2n pq tienes que considerar que n=m para que te salga,entonces finalmente te quedara sumatorio 1/2^n*(n+1/2),sabiendo que el sumatorio de 1/2^n vale 2 al multiplicarlo 1/2 hay te queda un uno,y luego finalmente 1/2^n por n vale 2 entonces te va a quedar de resultado final 3/2hw y luego te dice si coincide para algun n no?la respuesta es si para n=1,espero que te valga de ayuda,yo estoy lado con ese problema que no me sale jaja,mirate el de stern gerlach a ver si te da lo mismo que a mi si tienes mas dudas de cualquier otro dimelo vale!
un saludo

[juanmixp]

Re: valor esperado energia

mas o menos lo entendido, sólo tengo un par de flecos que no sé (que vienen del cálculo).
$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n}=2$

$\sum_{n=0}^\infty \frac{n}{2^n}=2$

como sabes esas dos identidades?? veo que si haces eso sale el problema pero no sé de donde salen esas dos identidades

[zell_006]

Re: valor esperado energia

hola juanmi si jaja es que por lo visto repite mazo preguntas,y si lo camba por que se da cuenta nos pone un caxo examen que para que jeje,bueno mira lo de los sumatorios viene de calculo 1(hay que repasar las series desgraciadamente).por ejemplo la de 1/2 elevado a n seria de esta forma

tienes que aplicar el teorema de convergencia de serie geometrica que viene dado de la siguiente forma:

sumatorio(a*r^n)=a/1-r

en este caso de (1/2)elevado a n a=1 y r=1/2 por lo tanto sustituyendo en la formula que te he puesto seria 2,pero como esta multiplicado por 1/2 queda uno.es decir (1/2)elevado a n por 1/2 e uno

y para el otro caso que quedano me sale ahora mismo pero se que sale eso por un libro que tengo de analisis matematico que aparece una serie identica en las soluciones y por eso me sale que vale 2,a ver si hay alguien que sepa demostrar esa serie de n*(1/2) elevado a n.

el otro problema que he puesto a ver si alguien lo puede resolver o explicarlo por que es muy fastidioso,un saludo

[juanmixp]

Re: valor esperado energia

muy bien tio, es que eso de las series...lo tengo más que olvidado...por otro lado estoy por reescribir el otro ejercicio que pones, por si no contesta la gente porque no lo entiende bien o porque directamente no saben la respuesta,

[zell_006]

Re: valor esperado energia

vale tio pos reesctribelo si a ver si lo consigue alguien por que es que a mi no me sale tampoco y seguro que es una tonteria pero no se....si te enterases de como se hace avisame va tioel viernes ya nos toca el examen queda poco!

saludos

[pod]

Re: valor esperado energia

mas o menos lo entendido, sólo tengo un par de flecos que no sé (que vienen del cálculo).
$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n}=2$

$\sum_{n=0}^\infty \frac{n}{2^n}=2$

como sabes esas dos identidades?? veo que si haces eso sale el problema pero no sé de donde salen esas dos identidades

Bueno, parece que ya te han dicho como se calcula la primera serie (son cosas elementales, deben saberse hacer ). La segunda de hecho sale de la primera. Considera la siguiente serie,

$$a\sum_{n=0}^\infty r^n = \frac a{1-r}\ .$$

Ahora, derivo respecto de $r$, aquí hay que hacer consideraciones sobre si se puede conmutar la suma con la derivada, pero vamos a suponer que sí y ya está . Por otra parte, fíjate que el término con n=0 es constante, su derivada cero, y se tiene que quitar de la suma. Por tanto,

$$a\sum_{n=1}^\infty n r^{n-1} = \frac a{(1-r)^2}\ .$$

Ahora hago un corrimiento (que mal suena, ¿no?) en la serie, $m = n-1$,

$$a\sum_{m=0}^\infty (m+1) r^{m} = \frac a{(1-r)^2}\ .$$

de donde sale

$$a\sum_{m=0}^\infty m r^{m} = \frac a{(1-r)^2} -a\sum_{m=0}^\infty m r^{m} = \frac a{(1-r)^2} - \frac{a}{1-r} \ ,$$

que simplificando, da

$$a\sum_{m=0}^\infty m r^{m} = \frac {a r}{(1-r)^2} \ .$$

[zell_006]

Re: valor esperado energia

ahh vale pod gracias,es que desde que no veo calculo 1 que es la tira de tiempo no me acordaba de hacer esa segunda identidad jaja,pod sabes hacer el de la probabilidad cuantica?gracias