Otras carreras (Duda) Escalón de Potencial

[rusocdu]

Hola amigos! Como andan?
Ya que me han ayudado mucho con cuantica este tiempo... recurro a Uds.
Debo imponer en un ejercicio la condicion de "empalme" suave para $\Psi_(x,t)$... ¿Dicha condicion será que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y que $\Psi$ deben ser continuas al igual que sus derivadas primeras?? Es correcto?

Mi duda es tambien discutir la dependencia para [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y para [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Aquí no entendí a qué se refiere...

Otra duda me surge cuando pienso en la normalizacion en este potencial escalon... Para una particula que incide y refleja en una caja de potencial, la normalizacion puede hacerse facilmente, pero cómo es en este caso??

Y por ultimo, debo hallar la expresión para la densidad de Probabilidad $P_{(x,t)}$ [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] a los Reales.
Podrian ayudarme?
Gracias de antemano, como siempre!

[Jose D. Escobedo]

Re: (Duda) Escalón de Potencial

Otra duda me surge cuando pienso en la normalizacion en este potencial escalon... Para una particula que incide y refleja en una caja de potencial, la normalizacion puede hacerse facilmente, pero cómo es en este caso??


Gracias de antemano, como siempre!

Este problema habla de "scattering states" y te dire que las particulas libres no son normalizables. "Una paritcula libre no existe en un estado estacionario o para ponerlo de otra forma no existe esa cosa llamada particula libre con energia definida" parafraseando un poco el libro de Intro to Quantum Mechanics by Griffiths.

Piensa un poco en las fluctuaciones de energia en el espacio. Tambien en QED se dice que los photones no se conservan, por lo que pensar en energia definida no tiene sentido.

Este problema seria mejor que lo resuelvas con los coeficientes de transmision y reflexion teniendo en cuenta el flujo de densidad de onda.

Lo que si podrias estimar seria la distancia de penetracion de la particula por medio del principio de Heisenberg para cuando E < V

Ademas, para E < V el coeficiente de refexion es de 1 y el transmision es 0, pero para E>V lo siento pero tienes que resolver la equacion de Schrodinger o consultar un libro en el que este problema este resuelto (porque yo tengo pereza en este preciso momento).

Good luck!

Saludos.

[rusocdu]

Re: (Duda) Escalón de Potencial

Gracias por ayudarme!!!!

[pod]

Re: (Duda) Escalón de Potencial

Debo imponer en un ejercicio la condicion de "empalme" suave para $\Psi_(x,t)$... ¿Dicha condicion será que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y que $\Psi$ deben ser continuas al igual que sus derivadas primeras?? Es correcto?

Sí. En realidad, lo que tienes que hacer es asegurarte que la función de onda sea derivable dos veces, ya que en la ecuación de Schödinger aparecen derivadas segundas. Eso, entre otras cosas, implica que tanto la función como sus primeras derivadas deben ser continuas. La segunda derivada puede no ser continua (de hecho, no será continua, ya que va sumada con el potencial escalón, que no es continuo).

Mi duda es tambien discutir la dependencia para [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y para [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Aquí no entendí a qué se refiere...

El problema en este caso es que no hay ninguna zona clásicamente prohibida donde uno pueda poner condiciones de que la función de onda sea cero. En ese caso, lo normal es intentar que la función de onda sea cero en el inifnito. Pero en este caso no es posible las soluciones que salen son puramente oscilantes, si uno pretende que sean cero en el infinito, la única forma es poner a cero las amplitudes, y te quedas sin solución. Y eso enlaza con tu siguiente pregunta:

Otra duda me surge cuando pienso en la normalizacion en este potencial escalon... Para una particula que incide y refleja en una caja de potencial, la normalizacion puede hacerse facilmente, pero cómo es en este caso??

La integral de algo que no va a cero en el infinito está claro que no puede converger. Por lo tanto la f.d.o. no es normalizable. Las razones ya te lo han contado.

La interpretación es la que sigue (es un poco cutre, para que nos vamos a engañar, pero funciona): esta función de onda no describe sólo a una partícula, sino a muchas a la vez. En realidad, tenemos un flujo contínuo de partículas que se lanzan contra el escalón. Por lo tanto, la integral de normalización ya no debería dar uno, sino N, el número de partículas. Pero como el espacio es infinito, también hay infinitas partículas, por eso la integral da infinito.

Hay algo más que se puede tener en cuenta. como estamos tirando partículas hacia el escalón, digamos de izquierda a derecha, algunas rebotarán y volveran hacia el infinito sentido derecha; y otras seguirán y se irán al infinito positivo. Eso significa que no hay partículas que vienen del infinito positivo hacia el escalón: eso te permite poner a cero una de las cuatro constantes. Por lo tanto:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
A es la amplitud de la onda incidente (por lo tanto, $|A|^2$ es proporcional al a cantidad de partículas que se envían). B es la amplitud de la onda reflejada, y C la de la transmitida. Las condiciones de continuidad y suavidad te permitirán encontrar B y C en función de A. Los coeficientes de reflexión y transmisión, serán por tanto

$$n_r = |B/A|^2 \ , \qquad n_t = |C/A|^2\ .$$

Y por ultimo, debo hallar la expresión para la densidad de Probabilidad $P_{(x,t)}$ [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] a los Reales.
Podrian ayudarme?
Gracias de antemano, como siempre!

Una vez hayas conseguido resolver la función de onda, es trivial,

$$P(x,t) = | \Psi(x,t) |^2\ .$$

Por supuesto, te saldrá proporcional a $|A|^2$. Normal, la probabilidad de encontrar una partícula es proporcional al número de partículas

[rusocdu]

POD... increible tu respuesta!
No me han quedado dudas con respecto al tema que inicie!!!
Eres un grande de la fisica!
Eternamente agradecido!

*** duda solucionada ***