1r ciclo Otro problema de examen

[Libia]

[FONT=Verdana]El problema dice: Considere el hamiltoniano H=AL^2+BLz.

a) Escriba las autofunciones (indicando sus números cuánticos) y los autovalores de H. Si ђA=4B y A>0, obtenga los cinco niveles de energía más bajos de H.

b) Obtenga el elemento de matriz de Ly entre el primer y el segundo estado excitado.

c) Suponga que la partícula tiene s=1[/FONT] [FONT=Verdana][FONT=&quot]/2 y se encuentra en el primer nivel [FONT=Verdana]excitado y con máxima proyección de espín sobre el eje z. ¿Qué valores se pueden obtener en una medida de J^2? ¿Con qué probabilidades? Obtenga el valor esperado de J^2. ¿De qué operadores es autoestado el estado de la partícula?[/FONT]
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[FONT=Verdana]El apartado a) y b) los sé hacer (siempre que el primer estado excitado sea l=1 m=-1, y el segundo l=1 m=0). Mi duda está en el tercero: Los valores que se pueden obtener al medir J^2 son sus autovalores j(j+1) donde l-s<j<l+s.[/FONT][FONT=Verdana] Es decir, sale 3[/FONT] [FONT=Verdana][FONT=&quot]/4 y 5[/FONT][/FONT] [FONT=Verdana][FONT=&quot][FONT=Verdana]/4. Pero para calcular las probabilidades, el valor esperado, y saber qué operadores es autoestado tengo que saber el estado de la partícula, ¿no? ¿Cómo lo calculo? Por más que busco en el libro y en los apuntes de clase no encuentro nada. Las autofunciones de J^2 no son los armónicos esféricos como en el apartado a), ¿no? [/FONT]
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[pod]

Re: Otro problema de examen

Supongo que lo que tienes que hacer es sacar la tabla de coeficientes de Clebish-Gordon (como se escriban ) para pasar a la base acoplada.

Por cierto, no se de donde sacas el 5/4. ¿No sería 15/4 = 3/2 ( 3/2 + 1 )?

[Libia]

Re: Otro problema de examen

Cierto, es 15/4.

Y sí, debe ser con los coeficientes de Clebsch-Gordan. El problema es que esa parte se dio al final de curso y mal. Vamos, poco menos que se limitaron a enseñarnos la tabla, y en el libro tampoco es muy distinto.

Ya he visto cómo se pone en la base acoplada. Es decir, para cada |j1 m1 j2 m2> obtengo una combinación lineal en la base |J M>. Y una vez que hago eso, ¿qué hago? Es que no tengo ni idea. Ni en los problemas de clase ni en los exámenes de otros años aparece un problema como este.

[c0per0]

Re: Otro problema de examen

Hola Libia, no se si esto te ayude pero ahi va ^_^

con respecto a los coeficientes de Clebsch-Gordan, por ejemplo, para calcular los autoestados de $\vec{l}$, tal que: $\vec{l}=\vec{l_{1}}+\vec{l_{2}}$ ; $|l_{1}-l_{2}|<=l<=|l_{1}-l_{2}|$, existen ($2l_{1}+1$)($2l_{2}+1$) autoestados para $\vec{l}$. Estos autoestados se pueden expresar como:

$|m_{l},l>=\sum|m_{1},l_{1}>|m_{2},l_{2}><l_{1}l_{2}m_{1}m_{2}|m_{l}l>$

Los brackets al ultimo son los coeficientes de Clebsch-Gordan.
Aveces no es necesario usar una tabla para hallar estos coeficientes pues se pueden hallar los autoestados mediante un uso recurrente de los operadores escalera:

$l_{+}|m_{l},l>=\sqrt{l(l+1)-m_{l}(m_{l}+1)}|m_{l}+1,l>$
$l_{-}|m_{l},l>=\sqrt{l(l+1)-m_{l}(m_{l}-1)}|m_{l}-1,l>$

Por ejemplo si se tiene: $l_{1}=1$ y $l_{2}=1$, tendríamos 9 autoestados para $\vec{l}$, con $l=0,1,2$, y obviamente $m_{1}=1,0,-1$, $m_{2}=1,0,-1$. Luego se empieza a calcular todos los autoestados, por ejemplo empezando de $l=2$, $m_{l}=2,1,0,-1,-2$:

$|2,2>=|1,1>|1,1>$, este fue trivial y directo

para calcular $|1,2>$ usamos el operador $l_{-}$ sobre $|2,2>$, asi:

$l_{-}|2,2>=\sqrt{2(2+1)-2(2-1)}|1,2>=2|1,2>$
ademas:
$l_{1}|2,2>=(l_{1-}+l_{2-})|1,1>|1,1>=\sqrt{1(2)-1(0)}|0,1>|1,1>+<br /> |1,1>\sqrt{2}|0,1>$

comparando los resultados se obtiene:

$|1,2>=\frac{\sqrt{2}}{2}[|0,1>|1,1>+|1,1>|0,1>]$

Y asi hallas todos los autoestados, siempre recordadndo las condiciones de normalizacion y ortogonalidad que te haran falta si sigues con el cálculo

Salu2

[Libia]

Re: Otro problema de examen

Gracias C0per0. Al final no me dio tiempo de hacer ese problema, pero en el examen me pusieron uno que se hacía con lo que tú me explicaste.

Por cierto, aprovecho para decir que ya soy licenciada!!!

[pod]

Re: Otro problema de examen

Gracias C0per0. Al final no me dio tiempo de hacer ese problema, pero en el examen me pusieron uno que se hacía con lo que tú me explicaste.

Por cierto, aprovecho para decir que ya soy licenciada!!!

¡Felicidades!

[c0per0]

Re: Otro problema de examen

Gracias C0per0. Al final no me dio tiempo de hacer ese problema, pero en el examen me pusieron uno que se hacía con lo que tú me explicaste.

Por cierto, aprovecho para decir que ya soy licenciada!!!

que bueno Felicidades ! ^_^