2o ciclo Completitud

[fisiko88]

Querría saber por qué es tan importante que el espacio sea completo en Mec. Cuántica.

Se que un espacio es completo si toda sucesión de Cauchy converge, pero me gustaría saber qué propiedades o resultados implíca esto para que los espacios que son completos sean tan interesantes.

Un saludo y gracias!!

[Juanma1976]

Re: Completitud

Supongo que porque las trayectorias cuánticas posibles para una particula son como sucesiones de cauchy y no puede ser que una sucesión no tenga límite en el espacio.

Bueno, sólo son elucubraciones
Un saludo.

Querría saber por qué es tan importante que el espacio sea completo en Mec. Cuántica.

Se que un espacio es completo si toda sucesión de Cauchy converge, pero me gustaría saber qué propiedades o resultados implíca esto para que los espacios que son completos sean tan interesantes.

Un saludo y gracias!!

[carroza]

Re: Completitud

Querría saber por qué es tan importante que el espacio sea completo en Mec. Cuántica.

Se que un espacio es completo si toda sucesión de Cauchy converge, pero me gustaría saber qué propiedades o resultados implíca esto para que los espacios que son completos sean tan interesantes.

Un saludo y gracias!!

Hola. ¿No confundes Completo con Compacto?

[fisiko88]

Re: Completitud

Hola. ¿No confundes Completo con Compacto?

No, me refiero a completo. ¿Alguien puede darme una explicación más completa (nunca mejor dicho xD)?

[fisiko88]

Re: Completitud

No es por ser insistente, pero he notado que siempre que escribo posts preguntando cosas muy muy poca gente me contesta. No se si es que hay alguien con un nick parecido al mío que ha sido muy impertinente con la gente, pero vamos yo no xD. Es que me resulta raro que gente como POD (que de estas cosas sabe un webo y contesta un montón de posts) no me haya contestado prácticamente nunca que he preguntado dudas en este foro. (A Entro le doy las gracias por adelantado, que muchas veces me ha contestado).

Yo entiendo que cada uno tiene un tiempo limitado para dedicarle a esto, pero es más por saber si ha habido algún tipo de malentendido con mi nick (se que alguien más del foro se llama "fisiko") que otra cosa.

Weno un saludo!!

[Metaleer]

Re: Completitud

No es por ser insistente, pero he notado que siempre que escribo posts preguntando cosas muy muy poca gente me contesta. No se si es que hay alguien con un nick parecido al mío que ha sido muy impertinente con la gente, pero vamos yo no xD. Es que me resulta raro que gente como POD (que de estas cosas sabe un webo y contesta un montón de posts) no me haya contestado prácticamente nunca que he preguntado dudas en este foro. (A Entro le doy las gracias por adelantado, que muchas veces me ha contestado).

Paciencia, aquí no cobramos por ayudar.

Yo entiendo que cada uno tiene un tiempo limitado para dedicarle a esto, pero es más por saber si ha habido algún tipo de malentendido con mi nick (se que alguien más del foro se llama "fisiko") que otra cosa.

Weno un saludo!!

No creo.

[carroza]

Re: Completitud

No, me refiero a completo. ¿Alguien puede darme una explicación más completa (nunca mejor dicho xD)?

Hola. Si no me equivoco, un conjunto es compacto cuando el límite de una sucesión de elementos de un conjunto, pertenece al conjunto.

Una base de un espacio vectorial es completa cuando todos los estados del espacio vectorial pueden expresarse como una combinación de estados de la base.

En mecánica cuántica, si tienes una base completa puedes usar expresiones tales como

$<a|X^2|b> = \sum_n <a|X|n><n|X|b>$


Espero que esto te resulte útil. Si no, quizás debas expresar tu pregunta de forma más completa, y no tan compacta.

[Juanma1976]

Re: Completitud

Hola a todos, sólo una puntualización que no afecta al sentido de la respuesta dada por Carroza.

La definición de espacio compacto es de un espacio para el cual, para cada recubrimiento por abiertos del espacio existe un subrecubrimiento finito de él.

La condición de que toda sucesión convergente de elementos del conjunto converga a un elemento del conjunto es la de completitud.

Un saludo. Espero no haber sido un poco puntilloso.

Hola. Si no me equivoco, un conjunto es compacto cuando el límite de una sucesión de elementos de un conjunto, pertenece al conjunto.

Una base de un espacio vectorial es completa cuando todos los estados del espacio vectorial pueden expresarse como una combinación de estados de la base.

En mecánica cuántica, si tienes una base completa puedes usar expresiones tales como

$<a|X^2|b> = \sum_n <a|X|n><n|X|b>$


Espero que esto te resulte útil. Si no, quizás debas expresar tu pregunta de forma más completa, y no tan compacta.

[carroza]

Re: Completitud

Hola a todos, sólo una puntualización que no afecta al sentido de la respuesta dada por Carroza.

La definición de espacio compacto es de un espacio para el cual, para cada recubrimiento por abiertos del espacio existe un subrecubrimiento finito de él.

La condición de que toda sucesión convergente de elementos del conjunto converga a un elemento del conjunto es la de completitud.

Un saludo. Espero no haber sido un poco puntilloso.

Gracias, Juanma1976. A los físicos nos hace falta que los matemáticos nos recordeis el rigor.

Aclarame una cosa:

Yo pensaba que las rotaciones, dadas por el intervalo de ángulos $[0, 2 \pi]$ formaban un conjunto compacto, mientras que las translaciones, dadas por el intervalo de desplazamientos $(-\infty, \infty)$ formaban un conjunto no compacto, precisamente porque el intervalo $[0, 2 \pi]$ contiene el límite de cualquier sucesión convergente,
y $(-\infty, \infty)$ no.

¿Confundo compacidad con completitud?

[Frank]

Re: Completitud

Es que son conceptos relacionados, si no recuerdo mal si tenemos un subconjunto compacto de un espacio métrico se puede demostrar que ese subconjunto también es completo.

[Juanma1976]

Re: Completitud

Hola, Carroza:

Es verdad que el intervalo $[0,2\pi]$ es compacto, pero no porque sea completo (que lo es) sino porque es un conjunto cerrado en un espacio métrico.

Igualmente el conjunto $(-\infty, \infty)$ también es completo (cualquier sucesión convergente de números reales tiene a un número real) y no es compacto.

Espero haberte aclarado. Un saludo

Gracias, Juanma1976. A los físicos nos hace falta que los matemáticos nos recordeis el rigor.

Aclarame una cosa:

Yo pensaba que las rotaciones, dadas por el intervalo de ángulos $[0, 2 \pi]$ formaban un conjunto compacto, mientras que las translaciones, dadas por el intervalo de desplazamientos $(-\infty, \infty)$ formaban un conjunto no compacto, precisamente porque el intervalo $[0, 2 \pi]$ contiene el límite de cualquier sucesión convergente,
y $(-\infty, \infty)$ no.

¿Confundo compacidad con completitud?

[pod]

Re: Completitud

Bueno, una vez superado el escollo terminológico, y volviendo a la pregunta inicial,

Supongo que porque las trayectorias cuánticas posibles para una particula son como sucesiones de cauchy y no puede ser que una sucesión no tenga límite en el espacio.

Bueno, sólo son elucubraciones
Un saludo.

Dudo que ésto sea todo. En general, el concepto de trayectoria no existe en cuántica. Lo que existe es la evolución Hamiltoniana del estado. Básicamente, esto es una función que a cada valor del tiempo le hace corresponder un elemento del conjunto. Ahora bien, el tiempo es un parámetro real, no natural, así que esto no se puede pensar exactamente como una sucesión. Es más bien "una función".

La pregunta para el matemático aquí es precisamente si existe alguna forma de "extender" el concepto de completitud a las funciones, no sólo a las sucesiones.