2o ciclo ¿Cómo se deduce la ecuación para el efecto túnel?

[Stormkalt]

[FONT=Arial]¡Hola![/FONT]

[FONT=Arial]Conociendo la ecuación[/FONT]
[FONT=Arial]$T = 16\frac{E_0}{U_0}(1-\frac{E_c}{U_0})e^{-4L\pi \frac{\sqrt[]{2E(U_0-E_c)}}{hc}}$[/FONT]
[FONT=Arial]Donde[/FONT]

[FONT=Times New Roman][FONT=Arial]E = energía total de la partícula ([/FONT][/FONT][FONT=Arial]Ec + E0[/FONT][FONT=Arial])[/FONT]

[FONT=Arial]E[/FONT][FONT=Arial]c [/FONT][FONT=Arial]= energía cinética de la partícula[/FONT]

[FONT=Arial]U[/FONT][FONT=Arial]0 [/FONT][FONT=Arial]= Potencial de la barrera[/FONT]

[FONT=Arial]L [/FONT][FONT=Times New Roman][FONT=Arial]= espesor de la barrera[/FONT][/FONT]

[FONT=Times New Roman][FONT=Arial]En el libro dice:[/FONT][/FONT]

[FONT=Times New Roman][FONT=Times New Roman][FONT=Arial]"Se puede determinar a partir de la ecuación de Schrödinger la probabilidad [/FONT][/FONT][/FONT][FONT=Times New Roman][FONT=Arial]T [/FONT][FONT=Arial]de que una partícula atraviese la barrera. Esta probabilidad es proporcional al cuadrado de la relación de amplitudes de las funciones senoidales de onda, a los dos lados de la barrera. Estas amplitudes se determinan igualando las funciones de onda y sus derivadas en los puntos limítrofes, lo cual es un problema matemático bastante complicado. Cuando T es mucho menor que la unidad, se determina de forma aproximada con la fórmula anterior."[/FONT][/FONT][FONT=Times New Roman]

[FONT=Arial]La verdad es que lo intenté varias veces pero no me sale ni remotamente. Como tampoco la ecuación a utilizar cuando la probabilidad es cercana a la unidad.[/FONT]

[FONT=Arial]¡Saludos cordiales![/FONT]

[/FONT]

[polonio]

Re: ¿Cómo se deduce la ecuación para el efecto túnel?

El libro te dice cómo obtener la función de ondas (si conoces la ec. de Schrödinger). Si puedes ser más explícito en lo que has intentado, se te podrá ayudar mejor.

Por otra parte, no se obtienen probabilidades cercanas a la unidad (ni mucho menos) para el efecto túnel. Las probabilidades siempre serán pequeñas.

[Stormkalt]

Re: ¿Cómo se deduce la ecuación para el efecto túnel?

Gracias polonio por responder:

Yo lo que hice fue partir de la ecuación de Schrödinger:

$<br /> -\frac{\hbar ^2}{2m}\frac{{\partial ^2 \Psi (x;y)}}{{\partial x^2}} + V(x;t) \Psi (x;t) = i\hbar \frac{{\partial \Psi (x;t)}}{{\partial t}}<br />$

Intenté aplicar las funciones senoidales de onda:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Pero luego no entiendo cuando dice:
[FONT=Arial]"Esta probabilidad es proporcional al cuadrado de la relación de amplitudes de las funciones senoidales de onda, a los dos lados de la barrera."[/FONT]


[FONT=Arial]Y me falta la función de onda con respecto a (x;y) y el potencial V(x;t). Salvo que en el caso del tunelamiento V(x;t) = constante[/FONT]

[FONT=Arial]Saludos[/FONT]

[Sartie]

Re: ¿Cómo se deduce la ecuación para el efecto túnel?

Gracias polonio por responder:

Yo lo que hice fue partir de la ecuación de Schrödinger:

$<br /> -\frac{\hbar ^2}{2m}\frac{{\partial ^2 \Psi (x;y)}}{{\partial x^2}} + V(x;t) \Psi (x;t) = i\hbar \frac{{\partial \Psi (x;t)}}{{\partial t}}<br />$

Intenté aplicar las funciones senoidales de onda:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Pero luego no entiendo cuando dice:
[FONT=Arial]"Esta probabilidad es proporcional al cuadrado de la relación de amplitudes de las funciones senoidales de onda, a los dos lados de la barrera."[/FONT]


[FONT=Arial]Y me falta la función de onda con respecto a (x;y) y el potencial V(x;t). Salvo que en el caso del tunelamiento V(x;t) = constante[/FONT]

[FONT=Arial]Saludos[/FONT]

Es necesario calcular el cuadrado de la fdo porque es el cuadrado de la fdo lo que nos da la informacion, nos dice la probabilidad de hacer tunel.
El potencial, pues pon un potencial tipo escalon o mejor una delta de dirac, asi las integrales te saldran mas faciles.
Por ultimo, para la fdo debes tener en cuenta esto. Si la onda va de izquierda a derechas, entonces en la parte izquierda debes tener una onda que vaya de izquierdas a derechas y otra de derechas a izquierdas (onda reflejada). En el lado de la derecha de la barrera solo tendras una onda que va de izquierda a derecha.
Como funcion de onda puedes poner una onda plana

[Stormkalt]

Re: ¿Cómo se deduce la ecuación para el efecto túnel?

¡Hola!

Polonio: Decís que la probabilidad no puede ser cercana a 1. Pero puede darse el caso que el espesor de la barrera tienda a cero, en eso caso la probabilidad tenderá a 1. O que, independientemente del espesor, si la energía cinética de la partícula tiende a la energía potencial de la barrera, también la probabilidad tenderá a 1. En esos casos la ecuación anterior no será aplicable.

Sartie: ¿al calcular los cuadrados de la función del onda tengo que elevar también al cuadrado sus derivadas?
El resto de tu explicación creo que lo entendí.


(Voy a intentarlo)

¡Saludos cordiales!

[Sartie]

Re: ¿Cómo se deduce la ecuación para el efecto túnel?

no no, las derivadas se usan como condicion de continuidad, no es necesario

[Stormkalt]

Re: ¿Cómo se deduce la ecuación para el efecto túnel?

no no, las derivadas se usan como condicion de continuidad, no es necesario

¡Gracias! Esta tarde me lo pongo a hacer a ver si llego.

¡Saludos!

[Stormkalt]

Re: ¿Cómo se deduce la ecuación para el efecto túnel?

Aclaro que cuando escribí la ecuación de Schrödinger se me deslizó un pequeño error:
Donde dice:
$\frac{{\partial ^2 \Psi (x;y)}}{{\partial x^2}}$

debería decir:
$\frac{{\partial ^2 \Psi (x;t)}}{{\partial x^2}}$

Entonces, bien escrita quedaría:

$<br /> -\frac{\hbar ^2}{2m}\frac{{\partial ^2 \Psi (x;t)}}{{\partial x^2}} + V(x;t) \Psi (x;t) = i\hbar \frac{{\partial \Psi (x;t)}}{{\partial t}}<br />$

[polonio]

Re: ¿Cómo se deduce la ecuación para el efecto túnel?

¡Hola!

Polonio: Decís que la probabilidad no puede ser cercana a 1. Pero puede darse el caso que el espesor de la barrera tienda a cero, en eso caso la probabilidad tenderá a 1. O que, independientemente del espesor, si la energía cinética de la partícula tiende a la energía potencial de la barrera, también la probabilidad tenderá a 1. En esos casos la ecuación anterior no será aplicable.

Lo de la probabilidad aquí tiene que ver más bien con la altura de la barrera, no con la anchura. Así que, efectivamente, si la energía de la partícula es cercana a la altura de la barrera, la probabilidad es más alta (aunque clásicamente esté prohibida), pero sigue sin ser cercana a la unidad.

De todas formas, sí, en el mensaje anterior sólo pensé en "tunelar" barreras "muy altas" comparadas con la energía de la partícula.

[Juanma1976]

Re: ¿Cómo se deduce la ecuación para el efecto túnel?

A partir de lo que he leído y de la información del hilo veo que la idea es encontrar dos ecuaciones de onda. La primera, $\Psi_1$ para antes de la barrera y la segunda, $\Psi_2$ en la barrera. Después aplicar condiciones de contorno para determinar constantes de integración, para finalmente calcular el módulo al cuadrado de la segunda función en el límite de la barrera, que será exactamente la probabilidad de que la partícula salte la barrera.

Ecuación de Schröedinger
$<br /> -\frac{\hbar ^2}{2m}\frac{{\partial ^2 \Psi}}{{\partial x^2}} + V \Psi = E\Psi$

Para la primera función de onda, $V=0$

$-\frac{\hbar ^2}{2m}\frac{{\partial ^2 \Psi_1}}{{\partial x^2}} = E\Psi_1$, de donde se puede aislar $\frac{{\partial ^2 \Psi_1}}{{\partial x^2}}$

$\frac{{\partial ^2 \Psi_1}}{{\partial x^2}}+\frac{2mE}{\hbar^2}=0$

La ecuación es de segundo orden y tiene como solución:

$\Psi_1=C_1 e^{i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x}+C_2 e^{-i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x}$

Para la segunda función de onda, $V=E_0$

$\frac{{\partial ^2 \Psi_2}}{{\partial x^2}}-\frac{2m(E_0-E)}{\hbar^2}=0$

Si suponemos que $E<E_0$ el término independiente de la ecuación diferencia es negativa y al igual que antes, la ecuación es de segundo orden y tiene como solución:

$\Psi_2=K_1 e^{\frac{\sqrt{2m(E_0-E)}}{\hbar}x}+K_2 e^{-\frac{\sqrt{2m(E_0-E)}}{\hbar}x}$

De $\Psi_2$ debemos eliminar el término exponencial positivo ya que si no la función de probabilidad no estaría bien definida.

Finalmente queda que $\Psi_2=K e^{-\frac{\sqrt{2m(E_0-E)}}{\hbar}x}$

Aquí la función dice que dentro de la barrera la función de probabilidad decrece exponencialmente, por lo que si la barrera en suficientemente ancha, la probabilidad del salto es cercana a 0 y prácticamente nunca vale cerca de 1.

Supongamos que la barrera tiene longitud $L$. Entonces la probabilidad de salto es

$P(salto)=|\Psi_2|^2=|K|^2e^{L\frac{-4\pi\sqrt{2m(E_0-E)}}{\hbar}}$

Para encontrar el valor de $K$ se aplican las condiciones de contorno, a saber

$\Psi_1=\Psi_2$ y $\frac{\partial\Psi_1}{\partial x}=\frac{\partial\Psi_2}{\partial x}$ en el inicio de la barrera.

Al solucionar, se debería encontrar la expresión que Stormkalt puso al inicio del hilo.

Un saludo.

[Stormkalt]

Re: ¿Cómo se deduce la ecuación para el efecto túnel?

Hola Juanma1976:

Gracias por interesarte en el tema:

No entiendo cuando ponés:

$<br /> E < E_0<br />$

Supuestamente es al revés, la energía total es mayor que la energía en reposo.

También cuando eliminás el término exponencial positivo, ¿lo hacés arbitrariamente?
También, cuando hacés el potencial igual a cero para extraer la primer solución: ¿cómo justificarías esa suposición?

¡Muchas gracias!

[Sartie]

Re: ¿Cómo se deduce la ecuación para el efecto túnel?

Hola Juanma1976:


También cuando eliminás el término exponencial positivo, ¿lo hacés arbitrariamente?

no, esto lo hace por que antes de pasar la barrera tienes dos ondas, la incidente y la reflejada, pero al pasar la barrera solo tienes la onda saliente, no hay ninguna reflejada, y por tanto no tiene sentido ponerla

[polonio]

Re: ¿Cómo se deduce la ecuación para el efecto túnel?

Hola Juanma1976:

Gracias por interesarte en el tema:

No entiendo cuando ponés:

$<br /> E < E_0<br />$

Supuestamente es al revés, la energía total es mayor que la energía en reposo.

También cuando eliminás el término exponencial positivo, ¿lo hacés arbitrariamente?
También, cuando hacés el potencial igual a cero para extraer la primer solución: ¿cómo justificarías esa suposición?

¡Muchas gracias!

$E_0$ es, según explica muy bien Juanma1976, la energía de la barrera de potencial, ¿no? Nada de energía en reposo.

El término exponencial creciente se anula (te lo explica Juanma también) para que la probabilidad esté bien definida (sea finita e igual a uno si integramos en todo el espacio).

Lo de potencial igual a cero fuera de la barrera no es ninguna suposición: es que fuera de la barrera no actúa ningún potencial (=potencial cero).

[Stormkalt]

Re: ¿Cómo se deduce la ecuación para el efecto túnel?

¡Saludos a la comunidad!

Siguiendo, entonces, con el razonamiento de juanma1976, tendríamos:

$\Psi_1=C_1 e^{i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x}+C_2 e^{-i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x}$

y

$\Psi_2=K e^{-\frac{\sqrt{2m(E_0-E)}}{\hbar}x}$

Al aplicar las condiciones de contorno (es decir, [FONT=TimesNewRomanPSMT]debemos empalmar en X = 0 y x = L, [/FONT][FONT=TimesNewRomanPSMT]la solución de las dos regiones (antes y después de la barrera) [/FONT][FONT=TimesNewRomanPSMT]para que la corriente de probabilidad sea continua y por lo tanto se conserve la probabilidad)[/FONT]:

$\Psi_1=\Psi_2$ y $\frac{\partial\Psi_1}{\partial x}=\frac{\partial\Psi_2}{\partial x}$ en el inicio de la barrera.

Cuando calculé me quedó:

$<br /> C_1 + C_2 = K<br />$

$-i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}(C_1-C_2) = -\frac{\sqrt{2m(E_0-E)}}{\hbar}K<br />$

Si llamamos para simplificar la cosa:

$u = i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$

$v = -\frac{\sqrt{2m(E_0-E)}}{\hbar}$

para x = 0

$<br /> C_1 + C_2 = K<br />$

$u(C_1-C_2) = vK<br />$

para x = L

$C_1e^{uL} + C_2e^{-uL} = Ke^{-vL}$

$u(C_1e^{uL}-C_2e^{-uL}) = vKe^{-vL}<br />$

El tema ahora es cómo despejo las constantes. ¿Qué me recomiendan?

¡Saludos!

[Sartie]

Re: ¿Cómo se deduce la ecuación para el efecto túnel?

tienes que aplicar la segunda condicion de frontera, es decir, continuidad de las derivadas. Las derivadas de ambas funciones deben ser iguales tambien, no solo las fdo si no tambien sus derivadas