Secundaria divergencias en integrales.

[eljose]

tengo una duda como puedo obtener resultados finitos cuando calculo la integral

$G(x)=\int_{-\infty}^{\infty}dp\frac{e^{ipx}}{E^{2}-p^{2}-A}$

El problema es que debido a la Relatividad

$E^{2}=p^{2}+A$ asi quela integral G(x) sera DIVERGENTE .. ¿como puedo dar un significado finito a esta integral??

lo mismo pasaria para el propagador de Dirac

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

y otra cosa para las divergencias Logaritmicas $\int_{0}^{\infty}(x+a)^{-1}$ , ¿bastaria con derivar con respecto a 'a' y luego integrar para obtener el valor -log(a)+c

donde 'c' es una constante a obtener que no depende de lo que valga 'a', pero aparte de eso no se mas como quitarme las divergencias de encima.

[Juanma1976]

Re: divergencias en integrales.

Entiendo que el denominador sólo se anula para algunos valores de p en especial.
En ese caso la integral no tiene porque ser divergente

$|G(x)|=|\int_{-\infty}^{\infty}dp\frac{e^{ipx}}{E^{2}-p^{2}-A}|\leq \int_{-\infty}^{\infty}dp|\frac{e^{ipx}}{E^{2}-p^{2}-A}|\leq \int_{-\infty}^{\infty}dp|\frac{1}{E^{2}-p^{2}-A}|<\infty$

Cuando hablas de derivar respecto de a, ¿te refieres a integrar respecto de a? Esto es, la integral es

$\displaystyle\int_0^{\infty}(x+a)^{-1}da=log(x+a)|_0^{\infty}=0-log(a)=-log(a)$.

En ese caso te tienes que asegurar que $x+a\neq 0$ para $a\in(0,\infty)$.

Un saludo.

tengo una duda como puedo obtener resultados finitos cuando calculo la integral

$G(x)=\int_{-\infty}^{\infty}dp\frac{e^{ipx}}{E^{2}-p^{2}-A}$

El problema es que debido a la Relatividad

$E^{2}=p^{2}+A$ asi quela integral G(x) sera DIVERGENTE .. ¿como puedo dar un significado finito a esta integral??

lo mismo pasaria para el propagador de Dirac

$D(x)=\int_{-\infty}^{\infty}dp\frac{e^{ipx}}{p-m}$

y otra cosa para las divergencias Logaritmicas $\int_{0}^{\infty}(x+a)^{-1}$ , ¿bastaria con derivar con respecto a 'a' y luego integrar para obtener el valor -log(a)+c

donde 'c' es una constante a obtener que no depende de lo que valga 'a', pero aparte de eso no se mas como quitarme las divergencias de encima.

[pod]

Re: divergencias en integrales.

Es un problema de integración por residuos. Cuando tienes un polo sobre el camino de integración, tienes que deformar el camino para que deje de pasar por él. Hay dos formas de hacerlo: saltar el polo por arriba o saltar el polo por abajo. En este caso, tenemos dos polos, ya que $E = \pm \sqrt{p^2 + m^2}$, y hay que tomar esa decisión independientemente para cada caso.

La preescripción correcta para el propagador de Feynman (el que aparece al hacer diagramas) es pasar el polo negativo por debajo y el polo positivo por encima. Así, sólo uno de los polos contribuye a la integral (el otro queda fuera del dominio de integración). Fíjate que eso es equivalente a mover hacia arriba el polo negativo y hacia abajo el positivo. Mover el polo en la dirección vertical es equivalente a ponerle una parte imaginaria. Eso nos permite escribir esta preescripción como

$$D_F = \int \frac{\dd^4 p}{(2\pi)^4} \frac{1}{p^2 - m^2 + i \epsilon}\ .$$

Puedes ver más detalles en los apuntes de QFT que hay en esta misma web. Sección de física de partículas.