1r ciclo Esferas concentricas cargadas

[gaussiano]

Mirad, tengo dudas con este ejercicio:
Una carga Q1 conocida se distribuye uniformemente por todo el volumen de una esfera de radio r1; concentrica a esta, hay un casquete de espesor d tambien cargado con carga Q2, ambas del mismo signo y separadas por un aislante (como si fuese un melocoton, el hueso cargado con Q1, la pulpa fuese el aislante y la piel, cargada con Q2).
Ademas, le han practicado al "melocoton" un tunel que parte desde r1 hasta el exterior de la corteza, de tal manera que una carga que inicialmente está alejada del sistema, es impulsada hacia el hueco y me preguntan que cual ha de ser la velocidad inicial para que se detenga un poco antes de tocar a Q1, atravesando la corteza, la zona aislante y parandose delante de la esfera interior, todo esto a traves del tunel practicado.
He aplicado Gauss para calcular los campos en el exterior del sistema (a la distancia que esta inicialmente la carga que se lanza) y dentro del tunel hasta donde dice que se detiene, para luego calcular los potenciales y aplicar el principio de conservacion de la energia, pero tengo dudas de si los campos estan bien o no.
Dudo de si he de contabilizar el campo mientras atraviesa el casquete exterior de espesor d y luego cuando está en la zona aislante.
¿Alguien podria aclararme el tema? muchas gracias por adelantado

[Al2000]

Re: Esferas concentricas cargadas

Básicamente lo que necesitas calcular es el potencial eléctrico en la superficie de Q1 (el hueso). Ese potencial sería la suma del potencial producido por Q1 (el mismo de una carga puntual) mas el potencial en puntos interiores (constante) del cascarón Q2. En definitiva que tu problema básicamente se reduce al cálculo del potencial eléctrico en el interior de un cascarón. Te doy la fórmula de memoria (supongo que vas a querer demostrarla):

$$V_{(r)} = \frac 1 {\epsilon_0} \int _{R_1}^{R_2} \rho _{(x)} x \, dx, \quad 0 \le r \le R_1$$

Saludos,

Al

[gaussiano]

Re: Esferas concentricas cargadas

primero, gracias por contestar; como dices, efectivamente, me interesa mas que si puedes, me facilites la expresion del campo en funcion de una densidad volumica de carga y luego ya uso la relacion del gradiente para calcular el potencial; segun dices, entonces: cuando la carga que se lanza por el tunel esta lejos, ¿que campo le afectan? supongo que los dos, no? porque todas las cargas, tanto las distribuidas por la esfera interior y por el cascaron, asi como la carga prueba, son positivas, entonces, si aplico Gauss, ¿como expreso esa carga total, como suma de Q1+Q2, como si fuesen puntuales?
Luego, cuando la carga prueba atraviesa el cascaron, de espesor d, habrá otro campo, no? Y cuando ya se mueve en la interfase entre la esfera interior Q1 y el cascaron Q2, que recuerda que dichas zonas estan separadas mediante un aislante (no sé el motivo) por el tunel practicado y se detiene por repulsion electrostatica a escasos cms de la superficie de la esfera interior, ¿Ya solo le afecta el campo creado por Q1?
Por favor, detallamelo, y muchas gracias de nuevo

[Al2000]

Re: Esferas concentricas cargadas

primero, gracias por contestar; como dices, efectivamente, me interesa mas que si puedes, me facilites la expresion del campo en funcion de una densidad volumica de carga y luego ya uso la relacion del gradiente para calcular el potencial...

La expresión general para el campo eléctrico de una distribución de carga con simetría esférica es

$$E_{(r)} = \left \{ \begin{matrix} & \dst \frac 1 {\epsilon_0 r^2} \int_0^r \rho_{(x)} x^2 \,dx, &0 \le r \le R \\ \\ &\dst \frac 1 {\epsilon_0 r^2} \int_0^R \rho_{(x)} x^2 \,dx, & R \le r < \infty \end{matrix}\right .$$

donde $R$ es el radio de la distribución.

En tu problema tienes cuatro regiones (el hueso, la pulpa, la cáscara y el resto del espacio) y dos densidades de carga de modo que deberás adaptar la ecuación superior dividiendo la integral apropiada en tantos segmentos como sea necesario. Por ejemplo, el campo en esa zona de la cáscara que te está molestando sería

$$E_{(r)} = \frac 1 {\epsilon_0 r^2} \left [ \int_0^{R_1} \rho_{1(x)} x^2 \,dx + \int_{R_2}^r \rho_{2(x)} x^2 \,dx \right ], \quad R_2 \le r \le R_3$$

donde $R_1, R_2, R_3$ serían el radio del hueso y los radios interno y externo de la cáscara, respectivamente. La primera integral es la contribución al campo de la carga $Q_1$ (que es la misma de la carga puntual equivalente) y la segunda integral es la contribución al campo de la porción de la cáscara comprendida hasta el radio $r$. La carga restante (radios mayores a $r$) no contribuye al campo pues bien sabemos que el campo en el interior de una cáscara esférica es nulo.

Demás está decir que todas estas expresiones deben multiplicarse por el vector unitario radial...

Saludos,

Al

PD. Respecto a tu mención sobre que la región intermedia es aislante... en realidad las ecuaciones que te estoy refiriendo solo se aplican en el vacío, pero es que a falta de mas información no tienes forma de trabajar considerando la zona intermedia como un aislante, a menos que desees asumir un valor de la constante de dieléctrico y trabajar en consecuencia. En ese caso debería también considerarse que tanto el "hueso" como la "cáscara" son aislantes, ya que no hay manera de distribuir una carga uniformemente en un volumen si estás en presencia de un conductor. Mi impresión al leer el enunciado de tu problema es que se quiso hacer la salvedad de que el medio representado por la "pulpa" en el símil del melocotón no es conductor y por consiguiente no vas a tener un par de superficies cargadas cuyo efecto sería anular el campo en la zona entre el hueso y la cáscara.

[gaussiano]

Re: Esferas concentricas cargadas

me ha sido muy util tu respuesta, muchas gracias. Voy a calcular los potenciales y si me surge alguna otra cuestion lo hare saber, gracias de nuevo

[gaussiano]

Re: Esferas concentricas cargadas

AI2000: he calculado el potencial en la region exterior a R1 e interior a la cascara (es decir, hasta R2); ahi me decias que el campo es nulo porque es interior al cascarón esferico y me pregunto: en esa region exterior a R1 e interior a R2, ¿no contribuye al campo Q1, es decir, el hueso? Ahi me he quedado un poco pillado.
Y si he de calcular la velocidad minima que hemos de darle a la carga prueba, situada en la region r>R3, para que se acerque a la distribucion, pase el tunel y se pare a unos cms del hueso, ¿tu no lo plantearias calculando solo los campos en ambos puntos, aplicarias la relacion del gradiente para calcular la diferencia de potencial entre esos puntos, y luego conservacion de la energia comparando cinetica con energia potencial electrica?
Y si estas de acuerdo, ¿podria renunciar a calcular el campo en la corteza, no?
Creo que me estoy liando mas,

[gaussiano]

Re: Esferas concentricas cargadas

yo entiendo que el campo fuera de la distribucion vale lo que dices en la expresion R<r<infinito; pero en la otra region, desde R1 hasta R2, el campo es nulo? no lo veo, yo hubiera supuesto por superposicion de campos, la suma del campo que crea el hueso mas el que crea la corteza (R2<r<R3). O sea que basicamente el campo, en casi todo el tunel, excepto la parte que atraviesa la corteza, es nulo y en consecuencia, el potencial constante e igual a ???
Como ves, estoy un mucho perdido; sé que me lo has explicado pero seguro que se me ha escapado algo que no me cuadra

[Al2000]

Re: Esferas concentricas cargadas

AI2000: he calculado el potencial en la region exterior a R1 e interior a la cascara (es decir, hasta R2); ahi me decias que el campo es nulo porque es interior al cascarón esferico y me pregunto: en esa region exterior a R1 e interior a R2, ¿no contribuye al campo Q1, es decir, el hueso? Ahi me he quedado un poco pillado.
Y si he de calcular la velocidad minima que hemos de darle a la carga prueba, situada en la region r>R3, para que se acerque a la distribucion, pase el tunel y se pare a unos cms del hueso, ¿tu no lo plantearias calculando solo los campos en ambos puntos, aplicarias la relacion del gradiente para calcular la diferencia de potencial entre esos puntos, y luego conservacion de la energia comparando cinetica con energia potencial electrica?
Y si estas de acuerdo, ¿podria renunciar a calcular el campo en la corteza, no?
Creo que me estoy liando mas,

yo entiendo que el campo fuera de la distribucion vale lo que dices en la expresion R<r<infinito; pero en la otra region, desde R1 hasta R2, el campo es nulo? no lo veo, yo hubiera supuesto por superposicion de campos, la suma del campo que crea el hueso mas el que crea la corteza (R2<r<R3). O sea que basicamente el campo, en casi todo el tunel, excepto la parte que atraviesa la corteza, es nulo y en consecuencia, el potencial constante e igual a ???
Como ves, estoy un mucho perdido; sé que me lo has explicado pero seguro que se me ha escapado algo que no me cuadra

Bueno, o me entendiste mal o me expresé mal No quise decir que el campo entre R1 y R2 sea cero, solo que el cascarón no produce campo en esa región. Por supuesto que Q1 si produce su propio campo, que sería el único campo allí. Tenemos:

- Región dentro de Q1: Campo que produce la porción de Q1 comprendida hasta la distancia considerada.
- Región entre Q1 y Q2: Solo el campo de Q1, igual al de una carga puntual.
- Región dentro de Q2: El campo de Q1 + el campo de la porción de Q2 comprendida hasta la distancia considerada.
- Región exterior: El campo de Q1+Q2 tal como si fuera una carga puntual.

Ahora respecto al potencial. Para hacer el problema por conservación de la energía, necesitas saber la diferencia de potencial que atravieza la carga. Como parte de un punto infinitamente alejado y consideramos que en ese caso el potencial es cero, tu problema "se limita" a calcular el potencial en el punto final del recorrido. Llamemos a es punto P. Entonces por la definición de diferencia de potencial, el potencial en P sería:

$$V_P = - \int_\infty ^P \boldsymbol E \boldsymbol \cdot d \boldsymbol l = -\int_\infty ^r E_{(r)}\,dr$$

Esta integral la vas a tener que segmentar en tantas partes como campos diferentes atravieses para llegar desde infinito hasta P. Luego que hagas todo eso deberías llegar al mismo resultado de la integral que te referí en mi primera respuesta

Si se te presenta cualquier otra duda no vaciles en preguntar. Saludos,

Al

[Al2000]

Re: Esferas concentricas cargadas





Jugando un rato con Mathcad...

Saludos,

Al