1r ciclo Problema: Puente de Wheatstone

[GNzcuber]

Hola,

Tengo este problema:

El puente de Wheatstone. El circuito de la figura, conocido como puente de Wheatstone, se utiliza para determinar el valor de una resistencia R desconocida por comparación con otras tres resistencias $R_1, R_2, R_3$ modificables y el valor de las cuales se conoce en cada caso con precisión. Las resistencias $R_1, R_2, R_3$ se modifican hasta que la corriente que se mide con el galvanómetro (amperímetro) es cero; situación de la que se dice que el puente está equilibrado.



a) Demuestra que en esta situación la resistencia desconocida viene dada por la relación $\dst R_1 =\frac{R_2\cdot R_3}{R_1}$.

Mi solución:

Como por el galvanómetro $R_G$ no circula corriente esto quiere decir que no hay una diferencia de potencial entre los bornes BD, y por tanto $R_1\cdot I_1 = R_3\cdot I_3$. Como hay dos pares de resistencias en paralelo por la suma de cada línea hay la misma diferencia de potencial, es decir $\varepsilon = V_{AC}$ tanto si se pasa por el conjunto de resistencias $R_1,R_2$ ó $R_3,R_x$. Entonces puedo asegurar que $V_{DC}=V_{BC}$.

Ahora, la intensidad del flujo de "electrones" que sale por el borne positivo (sentido convencional) es el que atraviesa todo el circuito, por la ley de Kirchhoff $\dst \left(\sum_{i=1}^{n}I_i\right)$ sé que $I_0=I_1+I_2=I_3+I_4$ siendo $I_i$ la corriente que circula por $R_i$, y $I_4$ por $R_x$.

$\dst I_G=0 \Leftrightarrow V_{BD}=0 \Rightarrow V_{AB}=V_{AD} \rightarrow I_3\cdot R_3 = I_1\cdot R_1$

Por tanto: $\dst V_{BC}=V_{DC} \Rightarrow I_4\cdot R_x = I_2\cdot R_2$

$\dst \left. \begin{aligned} R_x=\frac{I_2\cdot R_2}{I_4} \\ I_2=I_1 \\ I_4=I_3\\ I_3=\frac{V_{AB}}{R_3}\\I_1=\frac{V_{AD}}{R_1} \\ V_{AB}=V_{AD}\end{aligned}\right\} \Rightarrow R_x=\frac{R_2\cdot R_3}{R_1}$

El problema ya está resuelto, pero he hecho el planteamiento por si hay algún error o si hay algo que no se vea claro y puedan contribuir a ampliarlo.

He usado $I_i$ para indicar la corriente que circula por cada $R_i$, cuando me lo podía simplificar diciendo que la corriente que cirlula por $R_1$ y $R_2$ es $I_1$ por ejemlpo, pero si lo he hecho así es por la siguiente cuestión.

¿Cómo serían las ecuaciones del circuito si no estuviera en equilibrio? La pregunta puede que sea bastante "chorra" pero no estoy muy acostumbrado a los circuitos y prefiero que me lo digan.
Mi planteamiento antes de esto fue:

$\dst \left.\begin{aligned} ADC\rightarrow \varepsilon - I_1R_1 - I_2R_2=0\\ ABC\rightarrow \varepsilon-I_3R_3-I_4R_x=0\\ ADBC\rightarrow \varepsilon-I_1R_1-I_4R_x=0\\ ABDC\rightarrow \varepsilon-I_3R_3-I_2R_2=0 \end{aligned}\right\}$

Si a la primera le resto la tercera (o a la cuarta la segunda) obtengo $\dst I_4R_x=I_2R_2 \Rightarrow R_x=\frac{R_2\cdot I_{2}}{I_4}$, que es la ecuación que obtuve anteriormente, sin embargo ahora no puedo decir que $I_1=I_2$ ni $I_3=I_4$.

Por otra parte en otro hilo he visto que por ejemplo la ecuación ADC debería ser

$\dst ADC\rightarrow \varepsilon - I_1R_1 - I_1R_2 -I_5R_2=0$ Siendo $I_5$ la corriente que pasa por el galvanómetro. Y aquí tengo una gran confusión, entiendo por qué se hace porque en D hay un nodo donde viene otra corriente que es la que se subdivide del nodo B, y le llamo $I_5$ porque no veo que sea $I_3$ ya que esta se subdivide... y vamos, no sé a cuál le debería sumar la corriente de la otra sin saber la diferencia de potencial que hay entre BD.
Porque es seguro que si en B la corriente se bifurca en D la $I_1$ no lo hará, sinó que recibirá parte de $I_2$.
¿Alguien me puede aclarar cómo debería tomarlo?

¡Gracias de antemano!

P.D.: Soy consciente que también tengo las siguientes igualdades:
$\dst I_0 = I_1 + I_3$
$\dst I_0 = I_2 + I_4$
$\dst I_1 = I_2 + I_5$
$\dst I_3 = I_4 + I_5$

[Al2000]

Re: Problema: Puente de Wheatstone

Las resistencias se modifican hasta que la corriente que se mide con el galvanómetro (amperímetro) es cero; situación de la que se dice que el puente está equilibrado.

En realidad lo usual es que $R_1$ y $R_3$ estarían fijas y varías el valor de $R_2$. De hecho así está indicado en el diagrama del circuito, donde $R_2$ se muestra como variable y las demás resistencias fijas.

El problema ya está resuelto, pero he hecho el planteamiento por si hay algún error o si hay algo que no se vea claro y puedan contribuir a ampliarlo.

Mas que ampliarlo, podrías mas bien reducirlo Si estás partiendo de que el puente está balanceado y no circula corriente por el galvanómetro entonces sabes que $I_1 = I_2$, $I_3 = I_4$, $V_\text {AD} = V_\text {AB}$ y $V_\text {DC} = V_\text {BC}$. Entonces

$$I_1 R_1 = I_3 R_3 \quad \text y \quad I_1 R_2 = I_3 R_x$$

Dividiendo miembro a miembro: $\dst \frac {R_1}{R_2} = \frac {R_3}{R_x} \quad \Rightarrow \quad R_x = \frac {R_2 R_3}{R_1}$

Siendo la corriente que pasa por el galvanómetro. Y aquí tengo una gran confusión, entiendo por qué se hace porque en D hay un nodo donde viene otra corriente que es la que se subdivide del nodo B, y le llamo porque no veo que sea ya que esta se subdivide... y vamos, no sé a cuál le debería sumar la corriente de la otra sin saber la diferencia de potencial que hay entre BD.
Porque es seguro que si en B la corriente se bifurca en D la no lo hará, sinó que recibirá parte de .
¿Alguien me puede aclarar cómo debería tomarlo?

Y la respuesta a tu dilema es que.............. que no tienes forma de saberlo de antemano. Simplemente tu asumes un sentido para la corriente $I_5$ y procedes con la solución. Si el valor de la corriente resulta positivo tu presunción inicial fue la correcta. Si el valor es negativo la corriente en realidad va en sentido opuesto.

Cuando encaras la solución de un circuito por el método de Kirchhoff, también llamado de las corrientes nodales, lo primero que haces es mirar el circuito pero con ojo analítico buscando determinar en principio cuántas corrientes diferentes existen, es decir cuantos ramales tiene tu circuito. En tu problema tienes 6 corrientes (potencialmente) diferentes. Arbitrariamente la asignas a cada corriente un nombre y un sentido. A menos que sea un circuito muy sencillo, en principio no hay forma de saber los sentidos reales de las corrientes. No te preocupes por eso. Si el sentido real es contrario al que asumas al resolver, obtendrás un valor negativo para esa corriente.

Ahora que ya sabes cuantas corrientes son, debes buscar un número igual de ecuaciones independientes. Una parte de las ecuaciones provienen de la ley de la conservación de la carga, que en forma práctica te dice que la suma de las corrientes en un nodo debe ser cero (tanto entra, tanto sale). En un circuito con N nodos hay N-1 ecuaciones independientes. En tu problema tienes cuatro nodos (A, B, C y D), luego tendrás tres ecuaciones, las de los tres nodos que tu quieras.

Ahora ya sabes cuantas ecuaciones te hacen falta (en tu ejemplo necesitas tres ecuaciones adicionales). Estas ecuaciones provienen de la aplicación del principio de conservación de la energía. En forma práctica lo que te dice es que las sumas de las variaciones de potencial a lo largo de un camino cerrado es cero. Identificas tantos caminos independientes como necesites para completar tu sistema de ecuaciones y planteas tus ecuaciones.

En tu ejemplo hay 7 caminos cerrados (mallas) aunque no todos son independientes. Elige tres tratando que cada nueva malla incluya nueva información. Como ejemplo podrías tomar las mallas ADBA, BCDB y (fuente)ADC(fuente).

Bueno, de nuevo te abrumo con mucha cháchara. Ojalá te sirva.

Saludos,

Al

[GNzcuber]

Re: Problema: Puente de Wheatstone

Hola Al,

Muchas gracias por siempre aclararme las dudas .

Pero tengo más :P: me gustaría saber a qué se le llama malla, por lo que veo es simplemente a un camino cerrado, aunque no lo veo bien porque me has puesto las mallas ADBA y BCDB, y si bien son cerradas no sé cómo relacionarlas. Porque si tomo una corriente que haga ese recorrido me encontraré que vuelve al nodo de donde partió de manera que la suma "vectorial" de intensidades es cero, y por lo tanto no circula corriente. Eso sin mencionar que no tengo una fuerza electromotriz de tal modo que se cumpla la ley de Kirchhoff para las mallas.

Cuando una línea se bifurca en dos o más de manera que queden en paralelo, sé que la diferencia de tensión entre los nodos es la misma que la caída de tensión que hay en cada línea independientemente de los componentes que tenga (resistencias por ejemplo, siempre y cuando no sean lo suficientemente grandes como para impedir el paso de la corriente por completo). Pero eso lo sé "por definición", y a diferencia de la ley de Kirchhoff de los nodos, debido a la conservación de la carga, que la veo intuitiva, no veo por qué se cumple esta condición.

Gracias!

[Al2000]

Re: Problema: Puente de Wheatstone

A ver...

- Malla es un camino cerrado que no se intersecta a sí mismo.
- Menos mal que pusiste "vectorial" entra comillas, eso me dice que tu sabes perfectamente que la corriente no es un vector.
- No importa que no haya ninguna fuerza electromotriz. Si es un camino cerrado, el trabajo para mover una carga de prueba es cero (fuerzas conservativas). Eso implica que la suma de las diferencias de potencial será cero. Por ejemplo, asume que la corriente $\dst I_5$ la tomas desde D hacia B; entonces debe cumplirse en la malla ADBA que $\dst -I_1 R_1 - I_5 R_g + I_3 R_3 = 0$. En la malla (fuente)ADC(fuente) tendrías $\dst -I_1 R_1 -I_2 R_2 + \mathcal E = 0$, and so on...
- En la conexión en paralelo la diferencia de potencial es la misma en cada rama, independientemente de lo que haya en la rama, porque los puntos inicial y final de la conexión son los mismos. Es como si en la vida diaria pudieses caminar de un punto a otro a diferente altura y pudieses irte por diferentes caminos. No importa cuál camino tomes, la variación de la altura será la misma y sólo depende de las coordenadas inicial y final.

Saludos,

Al

[Templario777]

Re: Problema: Puente de Wheatstone

Hola Al2000 sabes que estuve viendo este problema antes de postear uno que versa sobre casi lo mismo.

Y no entiendo esta parte en la que tu afirmas:

Si es un camino cerrado, el trabajo para mover una carga de prueba es cero (fuerzas conservativas).

Ahora, no me doy cuenta por qué esta fuerza eléctrica que origina la corriente es conservativa... Si fuera un sistema con cargas en reposo si, porque el campo presenta simetría cilíndrica y aplicamos el principio de superposición.

Cuando hay corriente no sé, no me doy cuenta de la justificación...

Saludos,
T777

[Metaleer]

Re: Problema: Puente de Wheatstone

- Malla es un camino cerrado que no se intersecta a sí mismo.

Realmente, una malla es un bucle que no tiene ningún componente del circuito dentro del contorno que éste delimita. Lo que has definido es el concepto, más general, de lazo o bucle.

- Menos mal que pusiste "vectorial" entra comillas, eso me dice que tu sabes perfectamente que la corriente no es un vector.

Hay que tener cuidado aquí. Unos apuntes que tenía yo en primero, editados por el Departamento correspondiente de mi universidad, decían que la intensidad de corriente es una magnitud escalar con signo.

Para más inri, si lees el capítulo correspondiente del Griffiths de Introduction to Electrodynamics, define la intensidad de corriente como una magnitud vectorial. Esto es bastante curioso, porque es la única referencia que he visto donde dice tal cosa. Todos los demás se refieren a la intensidad de corriente como un escalar.

Es cuestión de ver cómo le han definido las diferentes magnitudes eléctricas a GNzcuber en clase. Pero vaya, igual que tú, si yo fuera profesor de esa asignatura, también diría que es un escalar, y de vectorial, nada.

Saludos.

[Al2000]

Re: Problema: Puente de Wheatstone

...
Ahora, no me doy cuenta por qué esta fuerza eléctrica que origina la corriente es conservativa... Si fuera un sistema con cargas en reposo si, porque el campo presenta simetría cilíndrica y aplicamos el principio de superposición.
...

Es un circuito de corriente continua, los campos electricos no varían en el tiempo.

Saludos,

Al

[Templario777]

Re: Problema: Puente de Wheatstone

Ok Al2000, pero ¿cómo justificar que al hacer el recorrido completo por una trayectoria cerrada de un circuito de corriente contínua, cualquiera sea la misma, la variación de energía es 0?

No logro darme cuenta de ello...

Saludos,
T777

[GNzcuber]

Re: Problema: Puente de Wheatstone

Ok Al2000, pero ¿cómo justificar que al hacer el recorrido completo por una trayectoria cerrada de un circuito de corriente contínua, cualquiera sea la misma, la variación de energía es 0?

No logro darme cuenta de ello...

Saludos,
T777

Supongamos que estamos en un circuito donde escogemos una malla triangular, como en los puentes de Wheatstone, piensa en el recorrido ABDA. Si salimos de A, donde asignamos el potencial $\dst V_A$, luego pasamos por B y D con sus respectivos potenciales, es posible que haya variado el potencial, pero al volver a el punto A (ya que hemos recorrido una malla, un circuito cerrado) tendremos el potencial asignado en ese punto $\dst V_A$, en fin, la variación de potencial en un circuito será la final menos la inicial, es decir: $\dst \Delta V=V_A-V_A=0$.

Con lo que te puedes estar confundiendo es con el trabajo realizado por unidad de carga, este es diferente de cero, y sería cero si las cargas fuesen y viniesen desplazándose lo mismo sin pérdidas de energía.

¡Saludos!