Problea 2 sin resolver

[Jose D. Escobedo]

Re: Problea 2 sin resolver

Usualmente la solucion de la ecuacion de Laplace en coordenadas polares (2D), esta dada en mi libro por:

$\dst V(r,\phi)= A \ln r +B +\sum_{n=1}^\infty (A_n r^n +B_n r^{-n}) (C_n \cos n \phi +D_n \sin n \phi)$...(1)
, pero creo que falta una funcion lineal de $\phi$. En general, cuando se toma el centro en consideracion para sectores circulares $r^{-n}$ se desecha porque se requiere que el voltage en el centro exista. Entonces, si (1) se trabaja con esas condiciones para este problema el resultado sera $V=0$ para todo el sector circular, pero si se decide utilizar como sector circular sin centro (algo asi como un porcion de un "annulus") El resultado que me da es este:

$\dst V(r,\phi)=\frac{4V_b}{\pi} \sum_{n=1}^\infty (\frac{ (\frac{r}{a})^\alpha -(\frac{r}{a})^{-\alpha}}{(\frac{b}{a})^\alpha - (\frac{b}{a})^{-\alpha}}) (\frac{\sin (\frac{n \pi \phi}{\beta})}{n})$...(2) (con $\dst \alpha =\frac{n \pi \phi}{\beta})$

y lo interesante es que si $r \to b$ y $b \to 0$ $\Rightarrow V_b \to V_o$ lo cual nos dice que $V_o$ puede tomar cualquier valor finito, incluyendo . Es decir que en esta figura el voltage no es una funcion simplemente conectada. Interesante esta propiedad topologica de la fucion que representa el voltage.
Si, por otro lado si $b$ es muy pequenita, pero diferente de cero, el voltage esta claramente definido por (2).

[Al2000]

Re: Problea 2 sin resolver

[FONT=Times New Roman]Pues me quito el sombrero ante su capacidad de enfrentar este problema, en efecto es de gran complejidad.[/FONT]
...

Muchas gracias pero yo mismo no me animo a mostrar mi incipiente calva ante mi Y es que no quedo satisfecho porque obtuve una solución puramente matemática del problema y aún me quedaron un par de parámetros por definir.

Yo entiendo que como consecuencia del teorema de unicidad la solución del problema es esta, no importa si la obtuve haciendo sesudos cálculos o poniendo un millón de monos un millón de años a tipear en el computador. Pero yo tenía entendido que la solución de la ecuación de Laplace sujeta a ciertas condiciones de contorno determina unívocamente el potencial. Me veo forzado a suponer que este problema necesita mas condiciones aún.

Los dos parámetros que no pude determinar, $K$ y $n$ afectan significativamente la solución. Compara este dibujo de las superficies equipotenciales (tomando $\beta = \pi /2$) con $K = 1$ y $n=1$


con este otro con $K = -1$


o con este otro con $n = 2$ (mas dramático)


Todos son casos de la misma ecuación y cada uno representa situaciones físicas muy diferentes. Por eso, aunque fue divertido resolver el problema, no me siento satisfecho de la solución porque no tengo respuesta para explicar los diferentes casos posibles.

Saludos,

Al

[Valerio]

Re: Problea 2 sin resolver

[FONT=Times New Roman]Pues me quito el sombrero ante su capacidad de enfrentar este problema, en efecto es de gran complejidad.[/FONT]
[FONT=Times New Roman] [/FONT]
[FONT=Times New Roman]Veo que usted y muchos otros trabajan duro con este tema, que para mi es de los mas importantes en este momento por los cambios que se sucederán en desarrollos tecnológicos basados en electromagnetismo, que espero aportar.[/FONT]
[FONT=Times New Roman] [/FONT]
[FONT=Times New Roman]Me encantaría dejar el primer problema como en una especie de banco de problemas, en esta Web se podrá? o trabajamos en eso?.[/FONT]
[FONT=Times New Roman] [/FONT]
[FONT=Times New Roman]Muchas gracias...[/FONT]
[FONT=Times New Roman] [/FONT]
[FONT=Times New Roman]Valerio[/FONT]
[FONT=Times New Roman]Colombia[/FONT]

[Al2000]

Re: Problea 2 sin resolver

Empujando todo lo posible tengo lo siguiente:

- La imposición de la condición de que el potencial debe ser cero en $\phi = 0$, obliga a que la constante $c_3 = 0$.

- La imposición de la condición de que el potencial es cero en $\phi = \beta$, obliga a que la constante $\dst \alpha = \frac {n \pi } \beta$ para $n = 1, 2, \dots$

- La imposición de la condición $V = 0$ en $r = a$ obliga a

$$c_1 a^\alpha + c_2 a^{-\alpha } = 0 \quad \Rightarrow \quad c_2 = -c_1 a^{2 \alpha }$$

Poniendo las tres condiciones juntas y combinando el producto $\dst c_1 c_4 = K$, se llega al potencial

$$V_{(r,\phi )} = K \frac {r^{2 \alpha } - a^{2 \alpha }}{r^\alpha} \, \mathrm {sen} \, (\alpha \phi )\,, \quad \alpha = \frac {n \pi } \beta \,,\,n = 1, 2, \dots$$

Este potencial satisface la ecuación de Laplace y las condiciones de contorno y por el teorema de unicidad es la solución del problema. Harina de otro costal es interpretar el resultado.

Bueno, lo dejo hasta aquí por ahora, mejor duermo un poco (son las 3:30 am por aquí).

Saludos,

Al

[Al2000]

Re: Problea 2 sin resolver

Hola

Estoy iniciando y de dos problemas que tengo para un taller este no lo he logrado hacer, creo que es necesario publicar el primero con la solucion que hice para qu me indiquen si estoy en buen camino.

La reguion 2-dimensional, p>= a, 0<= fi<= B, esta limitada por superficies conductoras en fi=0, p=a, y fi=B a potencial cero, como se indica en la figura...

Mira, este problema excede mi nivel de conocimientos pero voy a escribir algo con la esperanza de que otro con mas conocimientos se anime a participar.

La idea sería resolver la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas ignorando cualquier variación/dependencia en el eje $z$, haciendo efectivamente una sección transversal del problema. Digamos que tenemos que resolver la ecuación

$$\nabla^2 V_{(r,\phi )} = \frac 1 r \frac \partial {\partial r}\left(r \frac {\partial V}{\partial r}\right) + \frac 1 {r^2} \frac {\partial^2 V}{\partial \phi ^2} = 0$$

Digamos que

$$\dst V_{(r,\phi )}=R_{(r)} \Phi _{(\phi)}$$

entonces

$$\nabla ^2 V = \left(\frac {d^2 R}{dr^2} + \frac 1 r \frac {dR}{dr} \right) \Phi + \left(\frac 1 {r^2} \frac {d^2 \Phi }{d \phi ^2}\right) R= 0$$

Separando variables

$$\frac 1 R \left(r^2 \frac {d^2 R}{dr^2} + r \frac {dR}{dr} \right) = - \frac 1 \Phi \frac {d^2 \Phi }{d \phi ^2}$$

Llamando $\dst \alpha ^2$ la constante de separación se tienen

$$<br /> \left \{\begin{aligned}<br /> \dst \frac 1 R \left(r^2 \frac {d^2 R}{dr^2} + r \frac {dR}{dr} \right) = \alpha^2 \\<br /> \dst \frac 1 \Phi \frac {d^2 \Phi }{d \phi ^2} = - \alpha ^2 \\<br /> \end{aligned}\right .$$

$$<br /> \left \{\begin{aligned}<br /> \dst r^2 \frac {d^2 R}{dr^2} + r \frac {dR}{dr} - \alpha^2 R = 0 \\<br /> \dst \frac {d^2 \Phi }{d \phi ^2} + \alpha ^2 \Phi = 0 \\<br /> \end{aligned}\right .$$

$$<br /> \left \{\begin{array}{l}<br /> \dst R_{(r)} = c_1 r^\alpha + c_2 r^{- \alpha } \\<br /> \dst \Phi _{(\phi )} = c_3 \cos (\alpha \phi ) + c_4 \, \mathrm {sen} \, (\alpha \phi ) \\<br /> \end{array}\right .$$

De modo que el potencial resulta

$$V_{(r,\phi )} = \left(c_1 r^\alpha + c_2 r^{- \alpha }\right)\left[c_3 \cos (\alpha \phi ) + c_4 \, \mathrm {sen} \, (\alpha \phi )\right]$$

A partir de aquí no he logrado pasar pues me encuentro un exceso de constantes que consigo reducir.

Saludos,

Al

[Valerio]

Hola

Estoy iniciando y de dos problemas que tengo para un taller este no lo he logrado hacer, creo que es necesario publicar el primero con la solucion que hice para qu me indiquen si estoy en buen camino.

La reguion 2-dimensional, p>= a, 0<= fi<= B, esta limitada por superficies conductoras en fi=0, p=a, y fi=B a potencial cero, como se indica en la figura.
hallar.
a) Calcule el potencial V(p,fi) de acuerdo a las condiciones de frontera (borde) suministradas por el problema.
b) calcule los componentes del campo electrico Ep y Efi cuando p<<1.
c) De acuerdo al resultado del punto anterior, calcule las densidades superficiales de la carga o(a,fi) sobre las tres dimensiones

figura adjunta,

Tener en cuenta que o es sigma, p es Ro, B es beta y fi esta remplazando el simbolo. mayor igual es >= y <= es menor igual...cuando aprenda a escribir bien todos los simbolos sera mejor...