1r ciclo Campo eléctrico-Cuadrupolo

[iallemann]

Les paso un problema para ver si me pueden ayudar. Muchas gracias.

Demostrar que el valor del campo E en el eje del cuadripolo de la Figura, a distancias r de su centro, (suponiendo a « r), está dado por :

[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/ADMINI%7E1/CONFIG%7E1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.gif[/IMG]
[FONT=&quot][IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/ADMINI%7E1/CONFIG%7E1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.gif[/IMG][/FONT]

siendo Q =2qa2 el momento de cuadrupolo de la distribución de carga.

[Al2000]

Re: Campo eléctrico-Cuadrupolo

Una forma de hacerlo, sin mucho razonamiento físico sino mas bien haciendo una aproximación matemática, se basa en las aproximaciones

$$(1 - x)^{-2} \approx 1 + 2 x + 3 x^2 \,,\quad |x|<1$$

$$(1 + x)^{-2} \approx 1 - 2 x + 3 x^2\,,\quad |x|<1$$

En el dibujo que pusiste, nota que el campo en el eje del cuadrupolo vale

$$E = \frac q {4 \pi \epsilon_0}\left[\frac 1 {(r-a)^2} - \frac 2 {r^2} + \frac 1 {(r+a)^2}\right]$$

Si ahora escribes

$$\frac 1 {(r-a)^2} = r^{-2}\left(1-\frac a r \right)^{-2} \approx r^{-2}\left(1 + 2 \frac a r + 3 \frac {a^2}{r^2}\right)$$

$$\frac 1 {(r+a)^2} = r^{-2}\left(1+\frac a r \right)^{-2} \approx r^{-2}\left(1 - 2 \frac a r + 3 \frac {a^2}{r^2}\right)$$

obtienes al poner todo junto

$$E = \frac q {4 \pi \epsilon_0}r^{-2}\left(1 + 2 \frac a r + 3 \frac {a^2}{r^2} - 2 + 1 - 2 \frac a r + 3 \frac {a^2}{r^2}\right)$$

Cancelando términos y poniendo $\dst Q = 2 q a^2$ la expresión se reduce a

$$E = \frac {3Q}{4 \pi \epsilon_0 r^4}$$

Saludos,

Al