2o ciclo Campo Magnetico

[rruisan]

Buenas tardes! aqui tengo unos problemas que no he podido hacer les agradeceria que me enseñen como los puedo resolver. Gracias de antemano!

1.- Se da un franja delgada de metal de anchura w y muy larga. La corriente en la franja es a lo largo de su longitud; la corriente total es I. Hallese la induccion magnetica en el plano de la franja a una distancia b del borde mas proximo.

2.-Un Solenoide de seccion cuadrada (esto es, un solenoide en el que las vueltas tienen la forma de un cuadrado) tiene N vueltas por unidad de longitud y conduce una corriente de intensidad I. La dimension de la seccion es a. Si el solenoide es muy largo, hallese la induccion magnetica axial en su centro.

[Al2000]

Re: Campo Magnetico

1.- Divide la lámina en filamentos y suma (integra) los campos de cada filamento. En el plano de la lámina todos los campos tienen la misma dirección perpendicular al plano y valen lo mismo que el campo de una corriente rectilínea infinita. Lo único que necesitas determinar es la corriente que corresponde a cada filamento, que es una simple proporción entre el ancho del filamento y el ancho total.

2.- Si el solenoide es ideal, el campo en el centro no depende de su forma. El cálculo sería el mismo, usando la ley de Ampère, que el de un solenoide de sección circular. Si deseas hallar en campo por integración directa, determina previamente el campo en el eje de una espira cuadrada y armado de este conocimiento divide imaginariamente el solenoide en espiras de ancho infinitesimal (corriente infinitesimal $di = N I dx$) y suma los campos en el centro del solenoide.

Si te trancas vuelve a preguntar. Saludos,

Al

[rruisan]

Re: Campo Magnetico

a un no me queda muy claro! se que tengo que utilizar la ley de biot savart para las dos! en el caso de la primera mis limites de integracion irian de $[-\infty,\infty]$ y $[0,w]$ pero como es un elemento de area que pasa con $dl$ y para la segunda me podrias explicar un poco mas por favor! Gracias de antemano!

[Al2000]

Re: Campo Magnetico

No hay problema. En el primero voy a partir del campo de una corriente rectilínea infinita. Si tienes que calcularlo usando la ley de Biot-Savart eso lo consigues en cualquier libro.

La magnitud del campo de la corriente rectilínea infinita es $\dst B = \frac {\mu_0 I}{2 \pi r}$. Si divides la lámina a todo su largo en filamentos de longitud infinita y ancho infinitesimal $dx$, cada uno producirá un campo

$$dB = \frac {\mu_0 dI}{2 \pi r} = \frac {\mu_0}{2 \pi r}\,\frac I w \,dx$$

Si haces un esquema de la situación verás que en el plano de la lámina todos los filamentos producen un campo en la misma dirección (perpendicular al plano de la lámina). Entonces puedes integrar inmediatamente la expresión anterior entre los bordes de la lámina. Si estableces tu origen en el borde mas alejado, te queda

$$B = \int _0^w\frac {\mu_0}{2 \pi (w+b-x)}\,\frac I w \,dx = \boxed {\frac {\mu_0 I}{2 \pi w}\,\ln \left(1+ \frac w b\right)}$$

Allí puedes ver que la fórmula resultante es consistente con el caso $b \gg w$, en cuyo caso $\dst \ln \left(1 + \frac w b \right) \approx \frac w b$ y el campo resulta igual al de una corriente rectilínea infinita.

El otro problema es considerablemente mas largo si tienes que hacerlo por integración directa. Si lo haces usando la ley de Ampère, el cálculo es el mismo que el de un solenoide de sección circular y obtienes que el campo vale $B = \mu_0 N I$.

Si lo tienes que hacer por integración directa debes hacer los siguientes pasos (te doy un resumen, tu haz los pasos intermedios):

- Usa la ley de Biot-Savart para calcular el campo sobre la línea media de un filamento finito de longitud $L$ a la distancia $r$. Deberás obtener esta expresión:

$$B = \frac {\mu_0 I}{2 \pi r}\,\frac L {\sqrt{L^2+4 r^2}}$$

- Suma vectorialmente el campo de cada uno de los cuatro lados en el eje de una espira cuadrada. La simetría te dice que sólo te interesan las componentes perpendiculares al plano de la espira y que cada lado produce una componente idéntica:

$$B = 4\, (B_\text {filamento})_\perp = 4\,\frac {\mu_0 I}{2 \pi r}\,\frac L {\sqrt{L^2+4 r^2}}\,\frac L {2 r} = \frac {\mu_0 I} \pi \,\frac {L^2} {r^2 \sqrt{L^2+4 r^2}}$$

donde $r$ es la distancia del punto medio de un lado hasta el punto sobre el eje donde estás calculando el campo. El factor $L/2r$ es el seno del ángulo en ese punto (recuerda que el campo es perpendicular al radiovector $\boldsymbol r$).

- Escribe el campo de la espira cuadrada en función de la distancia $x$ al plano de la espira [$\dst r^2 = (L/2)^2 + x^2$]:

$$B = \frac {2 \sqrt 2 \mu_0 I} \pi \,\frac {L^2}{(L^2+4 x^2) \sqrt {L^2+2 x^2}}$$

- Divide imaginariamente el solenoide en espiras que portan corriente $dI = N I dx$ e integra a toda la longitud del solenoide:

$$B = \frac {2 \sqrt 2 \mu_0 N I L^2} \pi \int_{-\infty }^\infty \frac {dx}{(L^2+4 x^2) \sqrt {L^2+2 x^2}}$$

El valor de la integral lo obtuve usando Derive 6: $\dst \int_{-\infty }^\infty \frac {dx}{(L^2+4 x^2) \sqrt {L^2+2 x^2}} = \frac {\sqrt 2 \pi }{4 L^2}$

Entonces el campo resulta $\dst \boxed {B = \mu_0 N I}$

Saludos,

Al

[rruisan]

Re: Campo Magnetico

Gracias Al! me estaba confundiendo al pensar que la ley de Biot savart solo me servia para calcular la fuerza! una duda en la primer parte cuando integras con respecto a x la parte del logaritmo a mi me queda $\ln\left(\frac{b}{w+b}\right)$ no se si estoy mal!

[Al2000]

Re: Campo Magnetico

...una duda en la primer parte cuando integras con respecto a x la parte del logaritmo a mi me queda $\ln\left(\frac{b}{w+b}\right)$ no se si estoy mal!

Creo que te comiste el signo menos de $x$ en la integral.

Saludos,

Al

[rruisan]

Re: Campo Magnetico

sigo teniendo algunas dudas Al! sobre la primer parte no entiendo bien porque se hace este cambio $dI=\frac{I}{w}dx$ o no se si sea este cambio correcto y para el otro problema tomas esta expresion $B = \frac {\mu_0 I}{2 \pi r}\,\frac L {\sqrt{L^2+4 r^2}}$ Gracias de antemano!

Para obtener estas expresion tendria que usar la ley de biot savart
$B=\frac{\mu_0}{4\pi}i\int_{0}^{L}\frac{dxi\times(r_2-r_1)}{|r_2-r_1|^3}$
No se muy bien como tomarias las coordenadas de $r_1$ y $r_2$

[Al2000]

Re: Campo Magnetico

sigo teniendo algunas dudas sobre la primer parte no entiendo bien porque se hace este cambio $dI=\frac{I}{w}dx$ o no se si sea este cambio correcto...

Se trata simplemente de hacer una proporción. Tienes una corriente $I$ distribuída uniformenente en un ancho $w$, luego una tira de ancho $dx$ portará esa corriente. Si lo deseas mas formal puedes decir que la cinta transporta una densidad de corriente constante $\dst j = \frac I {we}$ llamando $e$ el espesor. Luego una tira de sección $dA = e \,dx$ transportará una corriente $\dst dI = j\, dA = \frac I w \,dx$. Es como matar un pajarito con un cañón, pero si te satisface, pues date el gusto.

s...para el otro problema tomas esta expresion $B = \frac {\mu_0 I}{2 \pi r}\,\frac L {\sqrt{L^2+4 r^2}}$ Gracias de antemano!

Para obtener estas expresion tendria que usar la ley de biot savart
$B=\frac{\mu_0}{4\pi}i\int_{0}^{L}\frac{dxi\times(r_2-r_1)}{|r_2-r_1|^3}$
No se muy bien como tomarias las coordenadas de $r_1$ y $r_2$

Yo no se como lo enseñan en tu país o tu universidad, pero me parece que esa expresión generalizada para un origen de coordenadas cualquiera no es la mas cómoda para resolver un problema. Sin hacer referencia a un sistema de coordenadas en particular, la ley de Biot-Savart la podemos escribir como

$$d \boldsymbol B = \frac {\mu_0 i}{4 \pi } \frac {d \boldsymbol l \times \boldsymbol r}{r^3}$$

El gráfico siguiente aclara que significa cada término. Particular atención merece es sentido de cada vector: $\boldsymbol r$ apunta del elemento de corriente al punto donde se evalúa el campo y $d \boldsymbol l$ es el vector longitud tangente a la corriente.




Por aquí tengo un gráfico aplicable al cálculo del campo para una corriente rectilínea finita:


En este problema podríamos escribir

$$d \boldsymbol B = \frac {\mu_0 i}{4 \pi} \frac {d \boldsymbol l \times \boldsymbol R}{R^3}$$

Se podría escribir entoces en coordenadas cilíndricas que $\boldsymbol R = r \boldsymbol u_r - z \boldsymbol u_z$ y $d \boldsymbol l = dz \boldsymbol u_z$ e integrar $d \boldsymbol B$ desde $z = -L_2$ hasta $z = L_1$.

Poniendo en el resultado que $L_1 = L_2 = L/2$ debería dar el resultado buscado.

Espero que puedas traducir lo que te estoy escribiendo al modo de trabajar que usen en tu universidad.

Saludos,

Al

[rruisan]

Re: Campo Magnetico

Gracias Al! me aclaraste varias cosas!

[GNzcuber]

Re: Campo Magnetico

Para obtener estas expresion tendria que usar la ley de biot savart
$B=\frac{\mu_0}{4\pi}i\int_{0}^{L}\frac{dxi\times(r_2-r_1)}{|r_2-r_1|^3}$

Hola rruisan,

Creo que en esta fórmula sobra una intensidad, la sacaste como factor común (ya que se considera constante) y la has vuelto a escribir en la integral.

¡Saludos!

[Salvadiaz]

Re: Campo Magnetico

Creo que la corriente en la integral es el vector unitario que indica la direccion de la circulacion de la corriente, es que no se ve muy bien.

[GNzcuber]

Re: Campo Magnetico

Creo que la corriente en la integral es el vector unitario que indica la direccion de la circulacion de la corriente, es que no se ve muy bien.

Tiene todo el sentido .

¡Saludos!

[Metaleer]

Re: Campo Magnetico

Esto es precisamente el motivo por el cual en Electromagnetismo, prefiero usar $\hat{\boldsymbol x}$, $\hat{\boldsymbol y}$, y $\hat{\boldsymbol z}$ como los vectores unitarios en cartesianas; así no hay confusión con la corriente o la unidad imaginaria ($i$) o los vectores densidad de corriente ($\boldsymbol j$ y $\boldsymbol k$).