1r ciclo Definicion fisica rotacional y divergencia.

[donda]

Estoy estudiando electromagnetismo con el libro de Wagness y la mayoria de los desarrollos vienen del Teorema de Helmhotz ( "...nos garantiza que para especificar de modo unívoco un campo vectorial basta con conocer su divergencia (véase la sección 8) y su rotacional (véase la sección 9) en todos los puntos de una región finita."), ademas de incorporar luego los valores de la divergente o el rotacional del campo para las ecuaciones de Maxwell.
Y la verdad es que hecho de menos una definicion fisica del rotacional o la divergencia, o algun ejemplo visual. Por ejemplo en el libro de calculo vectorial de Mardsen explica bastante bien la definicion de gradiente como la tendencia de crecimiento del campo y buscaba algun tipo de explicacion o ejemplo visual de este tipo para el rotacional y la divergencia.

Gracias de antemanoo

[Al2000]

Re: Definicion fisica rotacional y divergencia.

La divergencia de un campo vectorial en un punto del espacio es un valor que indica si tal punto es una fuente o un sumidero del campo. El mismo nombre de divergencia evoca una imagen de un conjunto de líneas de flujo que emergen de un punto y divergen alejándose de él.

Si no recuerdo mal, fue en el Tippler que leí un ejemplo bastante gráfico de lo que es la divergencia de un campo vectorial.

Si te imaginas una bombona de gas con la válvula cerrada, en cada pequeño volumen del interior de la bombona existe un continuo flujo de moléculas entrando y saliendo, de modo que en promedio el flujo neto es cero. Pero si se abre la válvula de la bombona, el gas empezará a salir y el gas remanente en el interior se expande para ocupar todo el volumen. En estas condiciones, en nuestro pequeño volumen de antes existirá un flujo desbalanceado; habrá mas moléculas saliendo en promedio que moléculas entrando, es decir, nuestro pequeño volumen se comporta como una fuente de moléculas.

La situación se invierte si hacemos entrar gas en la bombona: al comprimirse el gas, en cada pequeño volumen en el interior existe un mayor número de moléculas entrando que saliendo. Estas condiciones, expresadas como la divergencia del vector velocidad (de las moléculas) nos dicen que la divergencia es cero en el primer caso, positiva en el segundo (fuente) y negativa en el último (sumidero).

Por supuesto que el valor de la divergencia dependerá de la naturaleza del campo que se analiza. En el caso del campo eléctrico las fuentes del campo son las cargas eléctricas. La divergencia del campo eléctrico viene a significar en ese caso la densidad de carga.

Para el rotacional no tengo un cuento apropiado. Recuerdo un dibujo en el Purcel de una rueda con paletas: un "rotacionalímetro". Puesta en un campo irrotacional la rueda con paletas no gira, pero si lo hará si el campo tiene un rotacional no nulo. De manera que el rotacional resulta una medida de las componentes en remolino que pueda tener un campo.

Demás está decir que estas son solo imágenes, símiles, para sentirse uno mas cómodo con los conceptos, pero no se pueden llevar mas allá de lo que son, simples analogías mas agadables que una mera definición matemática.

Saludos,

Al

[Cris]

Re: Definicion fisica rotacional y divergencia.

Hola!

En su blog, el usuario Metaleer, se habla de un romance entre esta pareja.

http://forum.lawebdefisica.com/entri...s.-Divergencia

Saludos

[Metaleer]

Re: Definicion fisica rotacional y divergencia.

Si no recuerdo mal, fue en el Tippler que leí un ejemplo bastante gráfico de lo que es la divergencia de un campo vectorial.

¿Qué edición del Tipler manejaste? Es que las versiones modernas no usan la divergencia y el rotacional cuando explican Electromagnetismo.

Eso sí, en el Marsden y Tromba sí viene bastante bien explicado el significado físico de estos dos operadores vectoriales.

Hola!

En su blog, el usuario Metaleer, se habla de un romance entre esta pareja.

http://forum.lawebdefisica.com/entri...s.-Divergencia

Saludos

Bueno, la intención de ese artículo de blog era otra, más bien es para explicar cómo y dónde se usan estos operadores vectoriales en la formulación matemática de una teoría física. Como ves, ahí no me meto demasiado en el sentido físico (tal y como querrá donda y tal y como ha explicado muy bien Al2000) de la divergencia y del rotacional.

Saludos.

[pod]

Re: Definicion fisica rotacional y divergencia.

Tanto la divergencia como el rotacional son versiones infinitesimales de integrales múltiples.

El caso de la divergencia es el más sencillo de explicar. Supongo que conoces el concepto de flujo, que Físicamente viene a representar el número de línea de campo que entran a un un volumen, que delimitamos por superficie cerrada (y es negativo si "salen" más que entran). Ahora bien, imagínate que ese volumen es cada vez más pequeño, hasta que llega a ser infinitesimal. Pues eso es la divergencia.

De hecho, el teorema de Gauss (que relaciona el flujo total con la integral de volumen de una divergencia) no es casualidad. Podemos separar el volumen total en muchos volúmenes más pequeños, infinitesimales. Las lineas de campo que entran (y salen) en el volumen total será la suma de la cantidad de lineas de campo que entran (y salen) de cada uno de estos volúmenes pequeños, y por eso la integral de volumen (recordad que una integral es una suma, y una integral de volumen suma volúmenes infinitesimales).

De aquí viene lo que antes decía Al. Si en un punto la divergencia es positiva, significa que de él salen lineas de campo. Y por lo tanto, se crean ahí. Si es negativa, entran lineas de campo, y por lo tanto "mueren" ahí.


En el rotacional, hay algo muy similar. En este caso, tiene que ver con el concepto de circulación. La circulación es una integral de línea al rededor de un circuito (unidimensional) cerrado. Lo más sencillo es imaginarse una circunferencia, recorrida en una dirección. Si la integral da positiva, significa que el campo en cuestión está "girando" en ese sentido. Si da negativo, está "girando" en el sentido contrario. Si da cero, no gira en absoluto al rededor de ese eje.

Pues, lo mismo, el rotacional nos dice la circulación si el circuito circular es muy muy pequeño. Ahora bien, dicho circuito se puede orientar de tres formas diferentes, dependiendo de que eje utilice. Es decir, tenemos tres valores diferentes. Y por eso el rotacional es un vector. La componente X del rotacional nos dice cuando vale la circulación del campo al rededor de un circuito infinitesimal orientado en el plano OYZ (que es perpendicular al eje OX), por ejemplo. El resto, igual.

Por este motivo, si uno quiere obtener la circulación a lo largo de un circuito de tamaño finito, lo puede descomponer en muchos otros circuitos infinitesimales cerrados y sumar a lo largo y ancho de la superfície que forman. Este es el conocido teorema de Stokes.

Como la circulación nos dice la tendencia a girar del campo, el rotacional lo que nos da es el "eje de rotación" del campo. Si un campo no está girando, su rotacional es cero. Y, por lo tanto, al dar una vuelta nos quedamos igual. Esto es lo que en física llamamos un campo conservativo (al dar una vuelta y volver al mismo punto, la energía no cambia).

Espero que lo hayas entendido. Son conceptos un poco más abstractos, la cuestión es imaginarse las líneas de campo y ya está.

[Al2000]

Re: Definicion fisica rotacional y divergencia.

¿Qué edición del Tipler manejaste? Es que las versiones modernas no usan la divergencia y el rotacional cuando explican Electromagnetismo.
...

Pues ha sido una mala pasada de mi memoria porque revisé el libro y no conseguí ninguna referencia a la divergencia. Desafortunadamente tengo varios libros "desaparecidos en acción" y no puedo verificar dónde lo leí.

Saludos,

Al

[borgodamian]

Rotacional

Hola. quisiera saber cual es el "significado fisico del operador rotacional"..
se que la divergencia representa un flujo por unidad de volumen, y que por lo tanto nos determina en un punto si hay fuente o sumidero de un cierto campo vectorial..

quisiera tener una definicion asi acerca del rotacional.
lo unico que he interpretado es que representa una circulacion por unidad de area donde el area es tan pequeña que incluye al punto..
me falta saber digamos para que sirve ese concepto.

Espero y entiendan mi pregunta.

desde ya muchas gracias!!

[visitante20160513]

Re: Rotacional

Básicamente, lo que viene a significar es que el campo es capaz de generar un momento de rotación, un par para que me entiendas, un objeto que resulte impulsado por un campo así en el punto donde se calcula el rotacional se vería impulsado a rotar. Eso no ocurre en los campos de gradientes porque como supongo sabrás su rotacional siempre se anula. Por ejemplo, una barca que se desplaza por un río donde hay torbellinos tenderá a girar sobre si misma, entonces el campo de velocidades del agua del río se dice que presenta un rotacional no nulo. En otro caso la barca se vería impulsada en la dirección de la corriente pero sin girar sobre sí misma.

Salu2, Jabato.

[borgodamian]

Re: Rotacional

Gracias por tu respuesta.. Agradecería otras maneras de interpretación también ...