Otras carreras Problema con principio de superposición y ley de Gauss

[Bromio]

Hola.

El siguiente problema lo he resuelto prácticamente bien (según el resultado que me indican), pero hay un pequeño fallo que me gustaría aclarar.

Se tiene una distribución superficial de carga eléctrica estática, uniforme y constante, de valor $\rho_{s0}$, en el plano $x=0$. También se tiene una distribución volumétrica de carga eléctrica estática, uniforme y constante de valor $\rho_0$, en la región $(0 < x < d\, -\infty < y,z < \infty$. La permtividad de todo el espacio es la del vacío.

Calcule el vector intensidad de campo eléctrico en todos los puntos del espacio. Determine, también, en qué puntos de la región $(0 < x < d\, -\infty < y,z < \infty$ se anula el campo eléctrico y en qué condiciones.

He llegado a la conclusión de que lo que debo hacer es utilizar el principio de superposición en cada una de las tres zonas diferenciadas del problema, a saber, $x < 0$, $0 < x < d$ y $d < x$. Esto es así porque, a pesar de que el problema es tridimensional, dada la simetría que presenta se puede tratar como unidimensional en la mayor parte de la resolución.

El campo producido por un plano infinito es conocido: $\vec{E}_{plano}= \hat{x}\displaystyle\frac{p_{s0}}{2\epsilon_0}$.

El campo producido por el volumen infinito lo calculo mediante la ley de Gauss. Hay dos regiones: dentro y fuera del volumen.
Fuera del volumen obtengo: $\vec{E}_{ext.volumen}= \hat{x}\displaystyle\frac{p_{0}}{2\epsilon_0}d$
Dentro del volumen obtengo: $\vec{E}_{int.volumen}= \hat{x}\displaystyle\frac{p_{0}}{2\epsilon_0}x$

Ahora, sólo faltaría sumar los campos para tener resuelto el problema. Sin embargo, en $0 < x < d$ no me coincide mi solución con la que me indican. Debería dar $\vec{E}_{0 < x < d}= \hat{x}\displaystyle\frac{p_{s0}+(2x-d)\rho_0}{2\epsilon_0}$

Yo, para aplicar la ley de Gauss, he hecho:
$\displaystyle\oint_\Sigma \vec{E}(\vec{R})\cdot d\vec{S} = 2\displaystyle\int\displaystyle\int_{Sup.} E_x(x)\,dS$. Asimismo, he hecho $\displaystyle\frac{Q_v}{\epsilon_0} =\displaystyle\frac{1}{\epsilon_0} \displaystyle\int\displaystyle\int_{Sup.}\displaystyle\int_0^x \rho_0\,dxdS$. Integrando e igualando integrando he obtenido la expresión mostrada arriba.

¿En qué está mi error? ¿No debería poner la superficie gaussiana apoyada en $x=0$? ¿Por qué?

Muchas gracias.

Un saludo.

[Al2000]

Re: Problema con principio de superposición y ley de Gauss

...
¿En qué está mi error? ¿No debería poner la superficie gaussiana apoyada en $x=0$? ¿Por qué?
...

La distribución volumétrica de carga es simétrica respecto del plano x = d/2, el campo (de la distribución volumétrica) valdrá $\dst \boldsymbol E = \frac {\rho_0}{\epsilon_0}(x - d/2)\,\boldsymbol u_x$.

Saludos,

Al

PD. Si vas a expresar el campo del plano infinito en forma vectorial, no olvides que el campo tiene direcciones opuestas a ambos lados del plano. Cuando pones

El campo producido por un plano infinito es conocido: $\vec{E}_{plano}= \displaystyle\hat{x}\frac{p_{s0}}{2\epsilon_0}$.

cometes un pequeño error. Deberías escribir el campo como cualquiera de las formas alternativas

$\vec{E}_{plano}= \displaystyle\hat{n}\frac{\rho_{s0}}{2\epsilon_0} = \hat{x}\frac{\rho_{s0}}{2\epsilon_0} \frac {|x|} x = \hat{x}\frac{\rho_{s0}}{2\epsilon_0} \, \mathrm {sgn} \, x$

[Bromio]

Re: Problema con principio de superposición y ley de Gauss

La distribución volumétrica de carga es simétrica respecto del plano x = d/2, el campo (de la distribución volumétrica) valdrá $\dst \boldsymbol E = \frac {\rho_0}{\epsilon_0}(x - d/2)\,\boldsymbol u_x$.

¿Cómo debo, pues, establecer la superficie gaussiana para obtener este resultado?

PD. Si vas a expresar el campo del plano infinito en forma vectorial, no olvides que el campo tiene direcciones opuestas a ambos lados del plano. Cuando pones



cometes un pequeño error. Deberías escribir el campo como cualquiera de las formas alternativas

$\vec{E}_{plano}= \displaystyle\hat{n}\frac{\rho_{s0}}{2\epsilon_0} = \hat{x}\frac{\rho_{s0}}{2\epsilon_0} \frac {|x|} x = \hat{x}\frac{\rho_{s0}}{2\epsilon_0} \, \mathrm {sgn} \, x$

Gracias.

Un saludo.

[Al2000]

Re: Problema con principio de superposición y ley de Gauss

¿Cómo debo, pues, establecer la superficie gaussiana para obtener este resultado?
...

Bueno, para mi no tiene sentido resolver el problema de nuevo. Si resuelves el problema de la distribución volumétrica plana de carga, haces uso de su simetría y estableces tu referencia en el punto medio para concluir que el campo en el interior vale $\dst \boldsymbol E = \frac \rho {\epsilon_0} x\, \boldsymbol u_x$. Ahora lo único que tienes que hacer es tomar ese resultado y cambiar el origen, es decir, cambiar $x$ por $x-d/2$. Pero como cada quien se rasca a su modo, si deseas resolver tu problema con el sistema de referencia en la superficie izquierda de la distribución, entonces reconoce que la distribución es simétrica respecto al plano $x = d/2$ y usa ese plano como una de las superficies de integración.

Saludos,

Al

[Bromio]

Re: Problema con principio de superposición y ley de Gauss

Bueno, para mi no tiene sentido resolver el problema de nuevo. Si resuelves el problema de la distribución volumétrica plana de carga, haces uso de su simetría y estableces tu referencia en el punto medio para concluir que el campo en el interior vale $\dst \boldsymbol E = \frac \rho {\epsilon_0} x\, \boldsymbol u_x$. Ahora lo único que tienes que hacer es tomar ese resultado y cambiar el origen, es decir, cambiar $x$ por $x-d/2$.

Entiendo que la distribución volumétrica de carga es simétrica respecto de $x = d/2$, pero lo que no veo es por qué debes sustituir por $x-d/2$. Supongo que será una trivialidad, pero no la veo a estas alturas de la noche.

Pero como cada quien se rasca a su modo, si deseas resolver tu problema con el sistema de referencia en la superficie izquierda de la distribución, entonces reconoce que la distribución es simétrica respecto al plano $x = d/2$ y usa ese plano como una de las superficies de integración.

Entonces, estaría colocando una cara de la superficie gaussiana en ese plano, y la otra cara relevante estaría entre y $d/2$ o entre $d/2$ y $d$. ¿Sería así?

Gracias.

Un saludo.

[Al2000]

Re: Problema con principio de superposición y ley de Gauss

Entiendo que la distribución volumétrica de carga es simétrica respecto de $x = d/2$, pero lo que no veo es por qué debes sustituir por $x-d/2$. Supongo que será una trivialidad, pero no la veo a estas alturas de la noche.
...

Porque en la fórmula $\dst \boldsymbol E = \frac \rho {\epsilon_0} x\, \boldsymbol u_x$, $x$ representa la distancia al plano central. Seguro en la mañana lo verás

...
Entonces, estaría colocando una cara de la superficie gaussiana en ese plano, y la otra cara relevante estaría entre y $d/2$ o entre $d/2$ y $d$. ¿Sería así?
...

Correcto. Si dices que por la simetría el campo en $x=d/2$ es cero, entonces tomando una cara del prisma en ese plano y la otra cara relevante en $x>d/2$, sólo tendrás flujo en esta última cara y valdrá $\Phi_E = E A$, siendo $A$ el área de la sección transversal del prisma. El volumen del prisma será $v = (x-d/2) A$ y lo demás es coser y cantar.

Saludos,

Al

PD. Para puntos exteriores, mismo razonamiento, pero el volumen de carga dentro del prisma sería sólo $v = (d/2) A$. El campo estaría en la dirección del vector unitario normal al plano central que en este caso particular sería $\dst \boldsymbol u_n = \frac {|x-d/2|}{x-d/2} \,\boldsymbol u_x = \, \mathrm {sgn} (x-d/2) \, \boldsymbol u_x$