Otras carreras Campo en el núcleo de una esfera

[Bromio]

Hola.

Me plantean el siguiente ejercicio:
Una esfera de dieléctrico está uniformemente polarizada en la dirección del eje Z, $\vec{P} = \hat{z}P_0$ $C/m^2$. Calcular el campo eléctrico debido a las densidades de carga de polarización en el centro de la esfera.

Bien. He calculado las densidades equivalentes de polarización. Sólo hay densidad superficial, y es de valor $\sigma_p = \hat{z}P_0\cdot\hat{n} = P_0\cos\theta$, siendo $\theta$ en ángulo que forma el vector normal a la superficie de la esfera con el eje Z.

Ahora el problema es un sencillo problema de electrostática. Calculo, mediante la fórmula del campo que todos conocemos, la intensidad del campo eléctrico en el centro de la esfera. He obtenido:
$\vec{E}(0) = \hat{z}\displaystyle\frac{P_0}{3\epsilon_0}\,V/m$

He usado para llegar aquí:

$\vec{E}(\vec{R}) = \displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\displaystyle\int_{S'}\displaystyle\frac{\sigma_p(\vec{R}-\vec{R}')}{\left |\vec{R}-\vec{R}'\right |^3}\,dS'$, donde
$\vec{R} = 0$
$\vec{R}' = \hat{R}'R$
$dS' = R^2\sin\theta d\phi d\theta$

Mi resultado no es razonable por el signo positivo que lleva. Con esa distribución de carga, positiva en el hemisferio superior y negativa en el inferior, el campo debería ir dirigido hacia abajo.

¿Dónde se ha extraviado ese signo?

Muchas gracias.

Un saludo.

[polonio]

Re: Campo en el núcleo de una esfera

El campo electrostático va en el mismo sentido del vector polarización, así que es correcto. Ten en cuenta que las densidades de carga superficial de polarización no son densidades de carga reales, sino que nos dicen hacia dónde se orientan sobre esta superficie los dipolos microscópicos que constituyen el dieléctrico, así que si el campo va en dirección del eje OZ, las cargas positivas de polarización irán en el sentido positivo y las negativas en sentido negativo.

[Bromio]

Re: Campo en el núcleo de una esfera

Muchas gracias.

Viéndolo desde esta perspectiva, lo comprendo y veo que mi resultado es correcto.

Sin embargo, por la expresión que he obtenido para la densidad superficial de carga de polarización (la carga equivalente en el dieléctrico), se desprende que en el hemisferio superior de la esfera la distribución de carga sería positiva, mientras que en el hemisferio sur sería negativa. En el ecuador no habría carga. Si colocamos una unidad de carga positiva en el centro de la esfera, es razonable pensar de manera intuitiva que será atraída por la carga negativa que hay bajo ella y será repelida por la carga positiva que hay sobre ella. Por tanto, va hacia abajo.

¿Cómo es esto posible? ¿En qué falla mi razonamiento?

Gracias.

Un saludo.

[polonio]

Re: Campo en el núcleo de una esfera

El fallo básico es que no hay cargas libres en el dieléctrico, así que el hemisferio sur no atrae a la carga unidad ni el norte la repele. En ambos hemisferios hay dipolos (con carga neta nula) orientados hacia el norte (por eso la densidad de carga equivalente de polarización es positiva en el norte y negativa en el sur), y el campo eléctrico que genera el dieléctrico (la distribución de dipolos) es hacia el norte, luego la fuerza sobre la carga unidad ($\vec{F}=q\vec{E}$) es hacia el norte.

[Bromio]

Re: Campo en el núcleo de una esfera

Ya está entendido.

Muchas gracias.

Un saludo.