Otras carreras Condensador con dieléctrico heterogéneo

[Bromio]

Hola.

He intentado hacer el siguiente ejercicio que no entiendo por qué tengo mal.

Dice así:
Se construye un condensador con dos placas conductoras de área $A$. Se llama $x$ al eje perpendicular a ambas placas. La placa a $x=0$ se pone a potencial $\Phi = 0$ y la placa en $x=d$ a potencial $\Phi = V_0$. Se tiene que $A >> d^2$, es decir, puede despreciarse el efecto de borde. Entre las dos placas se usa un material dieléctrico heterogéneo cuya permitividad viene dada por la expresión $\epsilon = \epsilon_0(1+\alpha x)$, donde $\epsilon_0$ es la permitividad del vacío y $\alpha$ es una constante.

Me piden, en primer lugar, calcular el vector desplazamiento eléctrico en un punto interior.

Aquí no tengo problemas. Como por la ley de Gauss se demuestra que el desplazamiento eléctrico es constante, podemos integrar el campo para igualarlo a la diferencia de potencial y, así, obtener $\vec{D} = -\hat{x}\alpha \epsilon_0 V_0/\left[\ln \left(1+\alpha d\right)\right]\,C/m^2$. Ese es el resultado que indica el solucionario.

El problema me viene a calcular la densidad superficial de carga en el electrodo en $x=d$.

Lo que he hecho es obtener el vector de polarización, así: $\vec{P}(x) = \vec{D} - \epsilon_0\vec{E}$. Me da $\vec{P} = -\hat{x}\displaystyle\frac{\alpha^2 \epsilon_0 V_0}{\ln(1+\alpha d)}\displaystyle\frac{x}{1+\alpha x}$.

Así, $\sigma_p = \vec{P}(x)\cdot\hat{x}$.

Sin embargo, no es esto lo que me indica el solucionario, que dice: $\vec{P}(x) = \alpha \epsilon_0 V_0/\left[\ln \left(1+\alpha d\right)\right]\,C/m^2$.

¿Dónde está mi error?

Muchísimas gracias, una vez más.

Un saludo.

[Al2000]

Re: Condensador con dieléctrico heterogéneo

Yo concuerdo contigo. ¿No te parece sospechoso que esa polarización sea idéntica al desplazamiento? Fíjate que si escribes la polarización en función del desplazamiento queda $\dst \boldsymbol P = \boldsymbol D - \epsilon_0 \boldsymbol E = \boldsymbol D - \epsilon_0 \frac {\boldsymbol D}{\epsilon} = \left(1 - \frac {\epsilon_0} \epsilon \right) \boldsymbol D = \frac {\alpha x}{1 + \alpha x} \boldsymbol D$, que es lo que tu y yo obtenemos.

Saludos,

Al

[Bromio]

Re: Condensador con dieléctrico heterogéneo

Yo concuerdo contigo. ¿No te parece sospechoso que esa polarización sea idéntica al desplazamiento? Fíjate que si escribes la polarización en función del desplazamiento queda $\dst \boldsymbol P = \boldsymbol D - \epsilon_0 \boldsymbol E = \boldsymbol D - \epsilon_0 \frac {\boldsymbol D}{\epsilon} = \left(1 - \frac {\epsilon_0} \epsilon \right) \boldsymbol D = \frac {\alpha x}{1 + \alpha x} \boldsymbol D$, que es lo que tu y yo obtenemos.

Pues sí. Me parece muy sospechoso. Probablemente fue un error del que copió la fórmula.

De esta forma, me queda que la densidad superficial de carga en el electrodo en $x=d$ es $\sigma_s(d) = -\displaystyle\frac{\alpha^2\epsilon_0V_0}{\ln (1+\alpha d)}\displaystyle\frac{d}{1+\alpha d}\,C/m$.

Me sale negativa, porque el el vector de polarización es negativo y en $x=d$ el vector normal a la superficie es $\hat{n} = \hat{x}$, positivo. En $x=0$, $\hat{n}$ sería $-\hat{x}$, ¿no? (siempre normal y saliente a la superficie).

Por último, la capacidad sería $\displaystyle\frac{Q^+}{\Phi^+-\Phi^-} = \displaystyle\frac{Q^+}{V_0} = \displaystyle\frac{\alpha^2\epsilon_0A}{\ln (1+\alpha x)}\displaystyle\frac{x}{1+\alpha x}\,F$, resultado distinto al que indica el solucionario.

¿Son correctos mis planteamientos? Lo pregunto porque el solucionario ha demostrado, al menos en este ejercicio, no ser una garantía.

Muchas gracias.

Un saludo.

[Bromio]

Re: Condensador con dieléctrico heterogéneo

Acabo de darme cuenta de que la capacidad que me sale no es constante, lo cual es absurdo.

$\displaystyle\frac{Q^+}{\Phi^+-\Phi^-} = \displaystyle\frac{Q^+}{V_0} = \displaystyle\frac{\alpha^2\epsilon_0A}{\ln (1+\alpha x)}\displaystyle\frac{x}{1+\alpha x}\,F$.

¿Debería haber cogido cogido $x=d$? Supongo que sí. Sin embargo, me perturba el hecho de que en $x=0$ la polarización es nula y, en consecuencia, también lo será la densidad superficial de carga del dieléctrico en contacto con esa placa. El resultado es que la capacidad no sería constante.

¿Qué es lo que ocurre?

Gracias.

Un saludo.

[Al2000]

Re: Condensador con dieléctrico heterogéneo

Creo que estás usando la fórmula incorrecta para hallar la carga. Esta sería simplemente el desplazamiento x área. Debería quedarte algo así: $\dst Q = \frac {\alpha \epsilon_0 V_0 A}{\ln (1 + \alpha d)}$ para obtener una capacidad $\dst C = \frac {\alpha \epsilon_0 A}{\ln (1 + \alpha d)}$.

Nota que para la expresión resultante $\dst \lim _{\alpha \to 0} C = \frac {\epsilon_0 A} d$, como debe ser.

Saludos,

Al

[Bromio]

Re: Condensador con dieléctrico heterogéneo

Creo que estás usando la fórmula incorrecta para hallar la carga. Esta sería simplemente el desplazamiento x área. Debería quedarte algo así: $\dst Q = \frac {\alpha \epsilon_0 V_0 A}{\ln (1 + \alpha d)}$ para obtener una capacidad $\dst C = \frac {\alpha \epsilon_0 A}{\ln (1 + \alpha d)}$.

Nota que para la expresión resultante $\dst \lim _{\alpha \to 0} C = \frac {\epsilon_0 A} d$, como debe ser.

¿Por qué es $Q = D\cdot A$?

Yo he calculado $Q$ como $\sigma \cdot S$.

Un saludo.

[Al2000]

Re: Condensador con dieléctrico heterogéneo

¿Por qué es $Q = D\cdot A$?
...

Teorema de Gauss, $\dst \oint _S \boldsymbol D \boldsymbol \cdot d \boldsymbol S = Q_\text {libre}$, con D uniforme.

...
Yo he calculado $Q$ como $\sigma \cdot S$.
...

Entonces calculaste mal $\sigma$. ¿No estarás usando la densidad superficlal de carga del dieléctrico?

Saludos,

Al

[Bromio]

Re: Condensador con dieléctrico heterogéneo

Teorema de Gauss, $\dst \oint _S \boldsymbol D \boldsymbol \cdot d \boldsymbol S = Q_\text {libre}$, con D uniforme.

Gracias. Ya lo veo.

Entonces calculaste mal $\sigma$. ¿No estarás usando la densidad superficlal de carga del dieléctrico?

Así es. Esa era otra pregunta que iba a hacer, pues me chocaba que estuviese utilizando la densidad superificial de carga del dieléctrico.

Ya está aclarado.

Como es lógico, tendré que usar la densidad superficial de carga de las placas conductoras del condensador.

Muchas gracias.

Un saludo.

[Bromio]

Re: Condensador con dieléctrico heterogéneo

Teorema de Gauss, $\dst \oint _S \boldsymbol D \boldsymbol \cdot d \boldsymbol S = Q_\text {libre}$, con D uniforme.

Para llegar a este resultado, ¿cómo debería poner la superficie gaussiana? Con una cara dentro del dieléctrico y con la otra en la placa del condensador, ¿verdad? Pero, además, debería coger todo el condensador entero, para albergar toda la carga y toda la superficie. ¿Sería así?

Muchas gracias.

Un saludo.

[Al2000]

Re: Condensador con dieléctrico heterogéneo