interaccion dipolos electricos

[ryoser]

Re: interaccion dipolos electricos

Tienes que hacer la operación

$$\boldsymbol \tau = \boldsymbol p_1 \times \boldsymbol E_2$$

siendo

$$\boldsymbol E_2 = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0}\frac {3 (\boldsymbol p_2 \boldsymbol \cdot \boldsymbol u_r) \boldsymbol u_r - \boldsymbol p_2}{r^3}$$

es decir, quedaría lo siguiente

$$\boldsymbol \tau = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0}\frac {\boldsymbol p_1 \times [3 (\boldsymbol p_2 \boldsymbol \cdot \boldsymbol u_r) \boldsymbol u_r - \boldsymbol p_2]}{r^3}$$

Saludos,

Al

Ya esta , ya me ha salido

Supongo que tendré más consultas en un futuro aunque no se ,si seran sobre dipolos
.
Muchisimas gracias una vez más,sobretodo por contestar tan rapido, tendría que haber descubierto este foro mucho antes .

[Al2000]

Re: interaccion dipolos electricos

Tienes que hacer la operación

$$\boldsymbol \tau = \boldsymbol p_1 \times \boldsymbol E_2$$

siendo

$$\boldsymbol E_2 = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0}\frac {3 (\boldsymbol p_2 \boldsymbol \cdot \boldsymbol u_r) \boldsymbol u_r - \boldsymbol p_2}{r^3}$$

es decir, quedaría lo siguiente

$$\boldsymbol \tau = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0}\frac {\boldsymbol p_1 \times [3 (\boldsymbol p_2 \boldsymbol \cdot \boldsymbol u_r) \boldsymbol u_r - \boldsymbol p_2]}{r^3}$$

Saludos,

Al

[ryoser]

Re: interaccion dipolos electricos

Yo nunca he visto escrita una fórmula para el torque entre dos dipolos, pero podría hacerse algo similar a lo hecho en el mensaje #2, sólo que esta vez usando el torque $\boldsymbol \tau = \boldsymbol p \times \boldsymbol E$ en lugar de la energía potencial. No olvides que en la fórmula del campo, $\boldsymbol r$ es el vector que apunta desde el dipolo hasta el punto en el espacio en donde se calcula el campo; en tu problema te interesa el campo que produce el dipolo 2 en donde se encuentra el dipolo 1, de manera que sería $\boldsymbol r = (0, -2 \sqrt 2\, b, 0) - (b,0,0) = (-b, -2 \sqrt 2 \, b,0)$ de donde se obtiene que $r = 3 b$ y $\boldsymbol u_r = (- \frac 1 3, - \frac {2 \sqrt 2} 3, 0)$.

Saludos,

Al

Con lo de la Fórmula me referia a que en #2 al final aplicando :

el resultado salia pero como bien dice usted aqui es el torque en lugar de la energia potencial y evidentemente no nos queda la misma expresión , con lo de la fórmula me referia a que expresión nos queda en lugar de:


Gracias y un saludo

[Al2000]

Re: interaccion dipolos electricos

Yo nunca he visto escrita una fórmula para el torque entre dos dipolos, pero podría hacerse algo similar a lo hecho en el mensaje #2, sólo que esta vez usando el torque $\boldsymbol \tau = \boldsymbol p \times \boldsymbol E$ en lugar de la energía potencial. No olvides que en la fórmula del campo, $\boldsymbol r$ es el vector que apunta desde el dipolo hasta el punto en el espacio en donde se calcula el campo; en tu problema te interesa el campo que produce el dipolo 2 en donde se encuentra el dipolo 1, de manera que sería $\boldsymbol r = (0, -2 \sqrt 2\, b, 0) - (b,0,0) = (-b, -2 \sqrt 2 \, b,0)$ de donde se obtiene que $r = 3 b$ y $\boldsymbol u_r = (- \frac 1 3, - \frac {2 \sqrt 2} 3, 0)$.

Saludos,

Al

[ryoser]

Re: interaccion dipolos electricos

Claro, como cualquier par de vectores perpendiculares entre sí...

Ahora tengo otro problema a ver si me puede ayudar de nuevo:

Dos dipolos electricos p1=puy y p2=pux están situados , respectivamente en los puntos (0 ,-2b 2 ,0) y (b,0,0) Calcular el momento de fuerzas que se ejerce sobre el dipolo p1.

En cuanto a los vectores ya no hay problema ya que es igual que en el problema que le plantee anteriormente , ¿Como es la formula del momento de fuerzas entre dos dipolos ? , si pudiese ayudarme una vez más se lo agradeceria

Muchas gracias y un Saludo.

[Al2000]

Re: interaccion dipolos electricos

Claro, como cualquier par de vectores perpendiculares entre sí...

[ryoser]

Re: interaccion dipolos electricos

Como $\boldsymbol r$ es el vector posición de $\boldsymbol p_2$ respecto de $\boldsymbol p_1$ (y $\boldsymbol p_1$ está en el origen), entonces $\boldsymbol r = a \cdot (\sqrt 3, 1, 0),\,\, r = 2 a,\,\, \boldsymbol u_r = \left(\frac {\sqrt 3} 2, \frac 1 2, 0\right)$. Pon $\boldsymbol p_1 = p \cdot (-1,0,0),\,\, \boldsymbol p_2 = p \cdot (0,1,0)$ y resuelve. Si no te da, escribe lo que hiciste para mirar cual es el error.

Saludos,

Al

Vaaalee muchisimas gracias ... solo una última duda entonces p1*p2 =0 esa es la parte en la que me confunde una vez que me han dado la solución numérica.

Saludos

[Al2000]

Re: interaccion dipolos electricos

Como $\boldsymbol r$ es el vector posición de $\boldsymbol p_2$ respecto de $\boldsymbol p_1$ (y $\boldsymbol p_1$ está en el origen), entonces $\boldsymbol r = a \cdot (\sqrt 3, 1, 0),\,\, r = 2 a,\,\, \boldsymbol u_r = \left(\frac {\sqrt 3} 2, \frac 1 2, 0\right)$. Pon $\boldsymbol p_1 = p \cdot (-1,0,0),\,\, \boldsymbol p_2 = p \cdot (0,1,0)$ y resuelve. Si no te da, escribe lo que hiciste para mirar cual es el error.

Saludos,

Al

[ryoser]

Re: interaccion dipolos electricos

Revisa tus cuentas, da exactamente lo que pusiste.

Saludos,

Al

Solo una cosa más ¿ p_1u_r y p_2u_r en polares?

Solo una cosa más ¿ (boldsymbol p_1 \boldsymbol \cdot \boldsymbol u_r)( boldsymbol p_2 \boldsymbol \cdot \boldsymbol u_r )en polares ?

¿p1ur = pcos ....o no ?
Espero no molestar más

Un saludo

[Al2000]

Re: interaccion dipolos electricos

Revisa tus cuentas, da exactamente lo que pusiste.

Saludos,

Al

[ryoser]

Re: interaccion dipolos electricos

En la ecuación de la energía potencial en el mensaje #2 pon $\boldsymbol p_1 = - p\, \boldsymbol u_x,\,\, \boldsymbol p_2 = p\, \boldsymbol u_y,\,\, \boldsymbol r = a (\sqrt 3\, \boldsymbol u_x + \boldsymbol u_y)$ y saca la cuenta.

Saludos,

Al

Solo una cosa más , me han dado la solución numerica y es : 3√3p^2 ∕128[FONT=Times New Roman]π[/FONT]ea^3 entonces aplicando lo que me has dicho no me termina de salir , no se si es mucho pedir pero ¿podrias resolverlo a ver si te sale ?

Muchisimas gracias una vez más!!!

Saludos.

[Al2000]

Re: interaccion dipolos electricos

En la ecuación de la energía potencial en el mensaje #2 pon $\boldsymbol p_1 = - p\, \boldsymbol u_x,\,\, \boldsymbol p_2 = p\, \boldsymbol u_y,\,\, \boldsymbol r = a (\sqrt 3\, \boldsymbol u_x + \boldsymbol u_y)$ y saca la cuenta.

Saludos,

Al

[ryoser]

Re: interaccion dipolos electricos

Sólo por diversión (cada quien se divierte a su modo ) y antes de tirar los papeles al cesto de la basura, transcribo la solución evaluando la fuerza directamente como el efecto del campo de un dipolo sobre las cargas del otro.

Partiendo del conocido campo del dipolo en coordenadas polares (dipolo en el origen):

$$\boldsymbol E_{(r,\theta)} = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {2 p \cos \theta }{r^3}\, \boldsymbol u_r + \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {p \, \mathrm {sen} \, \theta }{r^3}\, \boldsymbol u_\theta$$

En el primer caso la fuerza que ejerce el primer dipolo (en el origen) sobre el segundo será:

$$\boldsymbol F = q \boldsymbol E_{(r+a,0)} - q \boldsymbol E_{(r-a,0)}$$

Usando (1) en (2), podemos escribir

$$\boldsymbol F = \frac {2 p q} {4 \pi \epsilon_0} \left[ \frac 1 {(r+a)^3} - \frac 1 {(r-a)^3}\right]\, \boldsymbol u_r = \frac {2 p q} {4 \pi \epsilon_0 r^3} \left[ \frac 1 {(1 + a/r)^3} - \frac 1 {(1 - a/r)^3}\right]\, \boldsymbol u_r$$

Usando la aproximación por series $\dst (1 \pm x)^n \approx 1 \pm n x$, queda

$$\boldsymbol F = \frac {2 p q} {4 \pi \epsilon_0 r^3} \left[ \left(1 - 3 \frac a r\right) - \left(1 + 3 \frac a r\right)\right]\, \boldsymbol u_r$$

la cual, tomando en cuenta que $2 a q = p$, simplifica a

$$\boxed {\boldsymbol F = - \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {6 p^2} {r^4}\, \boldsymbol u_r}$$

El segundo caso es un poco mas laborioso. Para usar la misma expresión del campo en coordenadas polares, se debe recordar que los vectores unitarios $\boldsymbol u_r$ y $\boldsymbol u_\theta$ no son constantes. En efecto ambos vectores dependen de $\theta$ y los podríamos escribir

$$<br /> \begin{aligned}<br /> \boldsymbol u_{r (\theta)} &= \cos \theta \, \boldsymbol u_x + \, \mathrm {sen} \, \theta \, \boldsymbol u_y \\<br /> \boldsymbol u_{\theta (\theta)} &= - \, \mathrm {sen} \, \theta \, \boldsymbol u_x + \cos \theta \, \boldsymbol u_y <br /> \end{aligned}<br />$$

Ahora, con el dipolo 1 en el origen de coordenadas y alineado con el eje $X$, el dipolo 2 sobre el eje $Y$, a la distancia $r$ del dipolo 1 y paralelo a éste, la fuerza que ejerce el campo del dipolo 1 sobre el dipolo 2 será

$$\boldsymbol F = q \boldsymbol E_{(r,\pi/2 - \alpha) } - q \boldsymbol E_{(r,\pi/2 + \alpha )}$$

donde se está despreciando la pequeña diferencia que existe entre la distancia $r$ a las cargas del dipolo y a su centro. $\alpha$ es un muy pequeño ángulo que da cuenta de la separación $a$ entre cada carga del dipolo y eje $Y$.

Usando (1) y (6) en (7), se tiene que

$$<br /> \begin{aligned}<br /> \boldsymbol F = \frac {p q}{4 \pi \epsilon_0\,r^3} & \left[2 \cos \left(\frac \pi 2 - \alpha \right ) \, \boldsymbol u_{r( \pi/2 - \alpha )} + \mathrm {sen} \, \left(\frac \pi 2 - \alpha \right) \, \boldsymbol u_{\theta (\pi/2 - \alpha )} \right . \\<br /> & \left .- 2 \cos \left(\frac \pi 2 + \alpha \right ) \, \boldsymbol u_{r( \pi/2 + \alpha )} - \mathrm {sen} \, \left(\frac \pi 2 + \alpha \right) \, \boldsymbol u_{\theta (\pi/2 + \alpha )}\right] <br /> \end{aligned}<br />$$

El uso de las relaciones $\dst \mathrm {sen} \, \left(\frac \pi 2 \pm \alpha \right) = \cos \alpha$ y $\dst \cos \left(\frac \pi 2 \pm \alpha \right) = \mp \, \mathrm {sen} \, \alpha$ reduce (8) a

$$\boldsymbol F = \frac {p q}{4 \pi \epsilon_0\, r^3}\, 6 \, \mathrm {sen} \, \alpha \cos \alpha \, \boldsymbol u_y$$

donde, por ser $\alpha$ muy pequeño, pueden hacerse las aproximaciones $\dst \mathrm {sen} \, \alpha \approx \alpha \approx \frac a r$ y $\cos \alpha \approx 1$:

$$\boxed {\boldsymbol F = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {3 p^2}{r^4}\, \boldsymbol u_y}$$

donde de nuevo se tomó $2 a q = p$.

Saludos,

Al

Hola tengo un problema "parecido" .... si alguien me contestara se lo agradeceria mucho , el enunciado es el siguiente:

Se tienen dos dipolos eléctricos,el primero ,de momento dipolar p1=-pux ,está situado en el origen de coordenadas , y el segundo, de momento dipolar p2=puy ,esta situado en el punto (a\sqrt{3},a,0).Calcular la energía potencial del dipolo p2.


Gracias y un saludo.

[Al2000]

Re: interaccion dipolos electricos

Sólo por diversión (cada quien se divierte a su modo ) y antes de tirar los papeles al cesto de la basura, transcribo la solución evaluando la fuerza directamente como el efecto del campo de un dipolo sobre las cargas del otro.

Partiendo del conocido campo del dipolo en coordenadas polares (dipolo en el origen):

$$\boldsymbol E_{(r,\theta)} = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {2 p \cos \theta }{r^3}\, \boldsymbol u_r + \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {p \, \mathrm {sen} \, \theta }{r^3}\, \boldsymbol u_\theta$$

En el primer caso la fuerza que ejerce el primer dipolo (en el origen) sobre el segundo será:

$$\boldsymbol F = q \boldsymbol E_{(r+a,0)} - q \boldsymbol E_{(r-a,0)}$$

Usando (1) en (2), podemos escribir

$$\boldsymbol F = \frac {2 p q} {4 \pi \epsilon_0} \left[ \frac 1 {(r+a)^3} - \frac 1 {(r-a)^3}\right]\, \boldsymbol u_r = \frac {2 p q} {4 \pi \epsilon_0 r^3} \left[ \frac 1 {(1 + a/r)^3} - \frac 1 {(1 - a/r)^3}\right]\, \boldsymbol u_r$$

Usando la aproximación por series $\dst (1 \pm x)^n \approx 1 \pm n x$, queda

$$\boldsymbol F = \frac {2 p q} {4 \pi \epsilon_0 r^3} \left[ \left(1 - 3 \frac a r\right) - \left(1 + 3 \frac a r\right)\right]\, \boldsymbol u_r$$

la cual, tomando en cuenta que $2 a q = p$, simplifica a

$$\boxed {\boldsymbol F = - \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {6 p^2} {r^4}\, \boldsymbol u_r}$$

El segundo caso es un poco mas laborioso. Para usar la misma expresión del campo en coordenadas polares, se debe recordar que los vectores unitarios $\boldsymbol u_r$ y $\boldsymbol u_\theta$ no son constantes. En efecto ambos vectores dependen de $\theta$ y los podríamos escribir

$$<br /> \begin{aligned}<br /> \boldsymbol u_{r (\theta)} &= \cos \theta \, \boldsymbol u_x + \, \mathrm {sen} \, \theta \, \boldsymbol u_y \\<br /> \boldsymbol u_{\theta (\theta)} &= - \, \mathrm {sen} \, \theta \, \boldsymbol u_x + \cos \theta \, \boldsymbol u_y <br /> \end{aligned}<br />$$

Ahora, con el dipolo 1 en el origen de coordenadas y alineado con el eje $X$, el dipolo 2 sobre el eje $Y$, a la distancia $r$ del dipolo 1 y paralelo a éste, la fuerza que ejerce el campo del dipolo 1 sobre el dipolo 2 será

$$\boldsymbol F = q \boldsymbol E_{(r,\pi/2 - \alpha) } - q \boldsymbol E_{(r,\pi/2 + \alpha )}$$

donde se está despreciando la pequeña diferencia que existe entre la distancia $r$ a las cargas del dipolo y a su centro. $\alpha$ es un muy pequeño ángulo que da cuenta de la separación $a$ entre cada carga del dipolo y eje $Y$.

Usando (1) y (6) en (7), se tiene que

$$<br /> \begin{aligned}<br /> \boldsymbol F = \frac {p q}{4 \pi \epsilon_0\,r^3} & \left[2 \cos \left(\frac \pi 2 - \alpha \right ) \, \boldsymbol u_{r( \pi/2 - \alpha )} + \mathrm {sen} \, \left(\frac \pi 2 - \alpha \right) \, \boldsymbol u_{\theta (\pi/2 - \alpha )} \right . \\<br /> & \left .- 2 \cos \left(\frac \pi 2 + \alpha \right ) \, \boldsymbol u_{r( \pi/2 + \alpha )} - \mathrm {sen} \, \left(\frac \pi 2 + \alpha \right) \, \boldsymbol u_{\theta (\pi/2 + \alpha )}\right] <br /> \end{aligned}<br />$$

El uso de las relaciones $\dst \mathrm {sen} \, \left(\frac \pi 2 \pm \alpha \right) = \cos \alpha$ y $\dst \cos \left(\frac \pi 2 \pm \alpha \right) = \mp \, \mathrm {sen} \, \alpha$ reduce (8) a

$$\boldsymbol F = \frac {p q}{4 \pi \epsilon_0\, r^3}\, 6 \, \mathrm {sen} \, \alpha \cos \alpha \, \boldsymbol u_y$$

donde, por ser $\alpha$ muy pequeño, pueden hacerse las aproximaciones $\dst \mathrm {sen} \, \alpha \approx \alpha \approx \frac a r$ y $\cos \alpha \approx 1$:

$$\boxed {\boldsymbol F = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {3 p^2}{r^4}\, \boldsymbol u_y}$$

donde de nuevo se tomó $2 a q = p$.

Saludos,

Al

[Al2000]

Re: interaccion dipolos electricos

Por el signo negativo en la energía potencial, que implica que si la separación disminuye, disminuye la energía. En realidad si calculas $\boldsymbol F = - \nabla U$ te conseguirás que la fuerza tiene sentido opuesto a $\boldsymbol u_r$. Lo que está indicado en el enunciado del problema es sólo la magnitud de la fuerza.

Saludos,

Al