1r ciclo ¿Qué hay de erróneo en este razonamiento?

[skinner]

Buenos días. Estoy estudiando campos magnéticos originados por elementos de carga (Ley de Biot-Savart), y necesito saber cuál es el campo magnético en el centro de un aro circular de centro el origen en el plano z=0 y radio "a" (B due to a current loop of radius a).

Mi razonamiento fue:

1º) Ley de Biot-Savart:

$$\vec{dB}=\frac{\mu _{0}}{4\pi }\frac{I\vec{dl}\wedge \hat{r} }{a^2}$$

2º) El vector $\vec{dl}$ irá en la dirección de la corriente y será tangente al diferencial de curva. Su módulo será $dl = a d\theta$. Si parametrizamos la circunferencia, obtenemos: $C:\theta\in[0,2\pi]\to C(\theta)=(a\cos\theta,a\sin\theta)$ podemos encontrar la expresión del vector tangente a la curva en cada punto, derivando: $C'(t)=(-a \sin(\theta),a \cos(\theta))$ Por tanto:

$$\vec{dl}=(-a^2 d\theta sin\theta,a^2 d\theta cos\theta,0)$$

3º) El vector unitario $\hat{r}$ será el vector \vec{r} que une cada punto de la circunferencia con el centro de la misma, dividido por el módulo de r, que es el radio a. Se obtiene:

$$\hat{r}=\frac{\vec{r}}{a}=(-\cos\theta, -\sin\theta, 0)$$

4º) Computamos

$$I\vec{dl}\wedge \hat{r}=\ldots =I\left( a^2 d\theta \sin^2(\theta)+a^2 d\theta \cos^2(\theta) \right)\hat{k}=Ia^2 d\theta \hat{k}$$

5º)Sustituyendo en el paso primero, obtenemos que:

$$\vec{dB}=\frac{\mu _{0}}{4\pi }I d\theta\hat{k}$$

6º) Finalmente, integramos con $\theta$ desde a $2\pi$. Por tanto:

$$\vec{B}=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\int_{0}^{2\pi}d\theta=\ldots =\boxed{\frac{\mu_{0}I\pi}{2}}$$

Ahora le echo un vistazo a mi libro y asegura que la expresión es:

$$\vec{B}=\frac{\mu_{0}I}{2a}\hat{k}$$

Que por otra parte es más lógico ya que en su expresión aparece el radio a, cosa que mi expresión no puede decir.

¿Alguien puede ayudarme a detectar el error?

Un saludo! Y mil gracias.

[_L_]

Re: ¿Qué hay de erróneo en este razonamiento?

Tienes un fallo desde el principio... escribistes mal la ley de biot y savart

$\dst \vec{dB}=\frac{\mu _{0}}{4\pi }\frac{I\vec{dl}\wedge \vec{r} }{\left\vert{r^3} \right\vert{} }$

Ahora bien puedes sustituir modulo de r por a y te queda bien la solucion... ^_^

PD: no no te queda igual tubistes otro fallo pero ese es uno... ahora edito y te digo

[skinner]

Re: ¿Qué hay de erróneo en este razonamiento?

Un fallo es que: $\vec{dl}=d\theta(-a^2\sin\theta,a^2\cos\theta)$. Pero eso no cambia el resultado (lo he corregido en el 1º mensaje)

Eso que dices no computa como fallo; en tu expresión, el vector r del numerador no es unitario y por tanto abajo te queda el módulo al cubo. Si arriba pones el vector r unitario, abajo te queda el vector r al cuadrado, y eso es lo que hice yo.

A ver si alguien puede decir qué hice mal...

Un saludo y gracias!

[_L_]

Re: ¿Qué hay de erróneo en este razonamiento?

El modulo de dl no es $dl = a\theta$ sino $dl = a d \theta$

te complicas demasiado. lo hare en modulo, luego la orientacion se la das tu

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[skinner]

Re: ¿Qué hay de erróneo en este razonamiento?

Gracias por las molestias, pero no quiero una forma alternativa. Quiero saber por qué la mía no es válida. De hecho, eso que tu haces puedes aplicarlo aquí, donde la orientación se ve fácilmente. ¿Pero y en una situación mucho más compleja? Además, si algo me enseñó Carmelo es a primero construir el vector y luego que venga lo que tenga que venir:P

¿Alguna ayudita?

Un saludo!

[_L_]

Re: ¿Qué hay de erróneo en este razonamiento?

mira por tu metodo... haces mal el producto vectorial. se te olvida el partido de a del modulo de r y tambien el diferencial de ro en vez de ro a secas

$\dst I\vec{dl}\wedge \hat{r}=\frac{I d\theta}{a} \left(0,0, a^2 \sin^2(\theta)+a^2 \cos^2(\theta) \right)=\frac{I d\theta}{a} (a^2 \sin^2(\theta)+a^2 \cos^2(\theta)) \hat{k}=I a d \theta \hat{k}$

Y ya esta ahora integras diferencial de ro te queda 2 pi partido de 4 pi es decir te quda en el divisor partido de 2a

^_^

Respecto a lo que comentas si puedes no complicarte la vida prefiero no hacerlo y cuando toca algo complicado lo mejor es dividir el vector en la parte perpendicular y la paralela al campo y simplificarlo en problemas sencillos o asi me gusta hacerlo a mi. Pero para gustos los colores. Bueno ahi tienes a tu modo

[Al2000]

Re: ¿Qué hay de erróneo en este razonamiento?

skinner, trata de integrar un "chequeador" de dimensiones en tu mente. No puede ser que $\vec{dl}=d\theta(-a^2\sin\theta,a^2\cos\theta)$, fíjate que no es dimensionalmente correcto. Por otra parte, $\dst \int_{0}^{2 \pi }\! d \theta$ no es $2 \pi ^2$, como implica tu ecuación (6).

Saludos,

Al

[_L_]

Re: ¿Qué hay de erróneo en este razonamiento?

es que antes no podia la integral de diferencial de ro si no de ro diferencial de ro de modo que le quedaba ro^2/2 y eso es 4pi^2/2 que con el 4pi de abajo le daba lo que le daba.

Skiner mejor no vayas modificando tu post inicial porque haces mas dificil ayudar a la gente.

[skinner]

Re: ¿Qué hay de erróneo en este razonamiento?

Lo siento por haber modificado el post inicial. LLevas razón Al2000, se me olvidó hacer unitario el vector tangente T. Así, queda:

$\vec{dl}=d\theta(-a\sin\theta,a\cos\theta)$ Y por tanto ahora sí me salen las cuentas al hacer la integral. Por otra parte, en la última integral sí que me equivoqué y por tanto debo darte la razón.

Y ya de paso las gracias

Un saludo a los 2 y gracias por vuestra ayuda!

[skinner]

Re: ¿Qué hay de erróneo en este razonamiento?

Por cierto, ¿cómo podría hacerse este problema con una integral cerrada? Ahora que he conseguido ver la aplicación de las integrales definidas de toda la vida, van y me definen nuevos tipos de integrales :P Por eso podría ser interesante saber resolver problemas de este modo.

¿Alguien me ayuda?

Un saludo!

[Cat_in_a_box]

Re: ¿Qué hay de erróneo en este razonamiento?

Hola skninner,
Con una integral cerrada te lo ha hecho básicamente antes _L_ en su primer mensaje, me explico.
Supongamos que deseamos calcularel campo magnético producido por una corriente circular en el centro de una espira. Pues dado que el elemento de corriente $Id\vec l$ es tangente a la espira en cada punto y que el vector $\vec r$ y por tanto, el vector unitario $\vec u_r$ tienen la dirección radial, ambos son perpendiculares, por lo que la dirección del campo $d\vec B$ en el centro de la espira es perpendicular al plano de la misma y su dirección viene determinada por la famosa regla de la mano derecha:

$d\vec B=\dst\frac{\mu _0}{4\pi}\cdot\dst\frac{Id\vec l \times \vec u_r}{r^2}$

El módulo del campo magnético sería por tanto:

$|d\vec B|=\dst\frac{\mu_0}{4\pi}\cdot \dst\frac{Idl \sin 90}{r^2}$

Y ahora viene la parte que te interesa. El campo total en el centro de la espira, o el aro como tú dices, debido a toda la corriente que circula se obtiene integrando $d\vec B$ a lo largo de toda la espira, por tanto:

$B=\dst\oint \dst\frac{\mu_0}{4\pi}\dst\frac{Idl}{r^2}=\dst\frac{\mu_0 I}{4\pi r^2} \oint dl=\dst\frac{\mu_0 I}{4\pi r^2} 2\pi r$

Por tanto, ves que se obtiene lo mismo de una manera muchísimo más rápida:

$B=\dst\frac{\mu_0 I}{2r}=\dst\frac{\mu_0 I}{2a}$

Por cierto, si no entiendes la notación que he puesto te puede hacer un diagrama, pero creo que entiende así.

Saludos,

[skinner]

Re: ¿Qué hay de erróneo en este razonamiento?

Muchísimas gracias! ¿Esto puede hacerse siempre? Me explico: si quisiéramos calcular el campo en un punto P situado sobre la recta perpendicular a la espira que pasa por su centro, ¿también podríamos hacer una integral cerrada sobre C de dB?

Un saludo y mil gracias!

[Cat_in_a_box]

Re: ¿Qué hay de erróneo en este razonamiento?

Creo que sí se podría hacer, vamos, lo he hecho en el otro hilo, es el único método que sé.

Saludos,

[macagsam]

Re: ¿Qué hay de erróneo en este razonamiento?

La humildad debe ser una cualidad en un físico, el pensar que algo es obvio o trivial es una muestra de soberbia. Por muy sencillo que parezca algo siempre habrá alguien a quien se le dificulte, y es entonces que se debe tener comprensión y respecto por la ignorancia y, mejor aún, ayudar a que ésta desaparezca.

[skinner]

Re: ¿Qué hay de erróneo en este razonamiento?

Sabias palabras pero, ¿a qué viene eso? jeje