1r ciclo Campo magnético en eje perpend. a un anillo que pasa por su centro

[skinner]

Buenas! A ver si pueden ayudarme... Tengo un aro circular centrado en (0,0,0) situado en el plano x=0 de radio R. Queremos calcular el campo magnético en un punto P del eje OX (que es perpendicular al aro y pasa por su centro). Al terminar mi desarrollo (no fue corto, duró 10 minutos; tengo que aprender nuevos métodos) llegué a:

$$\boxed{\vec{B}(P)=-\frac{\mu_0 IR^2}{2(x^2+R^2)^{3/2}}\hat{i}}$$

NÓTESE EL SIGNO NEGATIVO. En módulo, mi resultado es correcto pero creo que ese signo negativo no debería estar ahí. ¿Alguien puede confirmarlo? ¿En qué me he podido equivocar? Mi desarrollo fue totalmente análogo al de mi anterior post: http://forum.lawebdefisica.com/threads/16250-%C2%BFQu%C3%A9-hay-de-err%C3%B3neo-en-este-razonamiento sólo que el producto vectorial cambia y por tanto las integrales. Me salen 3 integrales, 2 de ellas valen 0 y la otra se me queda en $2\pi R^2$

El producto vectorial me queda:

$$I\vec{dl}\wedge \hat{r}=-\frac{I}{\sqrt{x^2+R^2}}(R^2d\varphi,Rx\sin\varphi d\varphi ,Rx\cos\varphi d\varphi)$$

Nótese también el signo del producto vectorial. Mi vector $\hat{r}$ me resultó:

$$\frac{(x,-R\sin\varphi ,-R\cos\varphi) }{\sqrt{x^2+R^2} }$$

Y el vector tangente unitario:

$$\hat{T}=\frac{\vec{T}}{T}=\frac{(0,R\cos\varphi ,-R\sin\varphi) }{R}=(0,\cos\varphi,-\sin\varphi)$$

A ver si con estos datos podéis ayudarme...

Un saludo y mil gracias por vuestra atención.

[Cat_in_a_box]

Re: Campo magnético en eje perpend. a un anillo que pasa por su centro

Hola skinner,
Yo no utilizaría ese método, entre otras cosas porque no lo conozco, vamos no lo he estudiado, pero creo que se podría hacer del siguiente modo, y verás que llego a lo mismo, pero creo que ese signo menos sobra, al menos al resultado al que llego yo. Te adjunto una imagen que he hecho para guiarnos en la demostración:



Consideremos el elemento de corriente situado en la parte superior de la espira, o aro. En este punto, al igual que en todos los puntos de la espira, el elemento $Id\vec l$ es tangente a la misma y perpendicular al vector $\vec r$ dirigido desde este punto al punto P.

Ves que $d\vec l$ y $\vec r$ son perpendiculares y que $r^2=z^2 + R^2$. Por lo que el módulo de $d\vec B$ es:

$dB=\dst\frac{\mu_0}{4\pi}\cdot\dst\frac{Id\vec l\times \vec r}{r^2}=\dst\frac{\mu_0}{4\pi}\cdot\frac{Id\ell }{z^2+R^2}$

Para calcular el campo total, tneemos que sumar las contribuciones de los elementos de corriente, es decir, integrar. Pues bien, cuando sumamos todos los elementos de corriente de la espira, los componentes perpendiculares al eje de la espira suman cero, que es lo que has dicho, quedando sólo los componentes que son paralelos al eje, es decir, las componetes $dB_x$

Verás en la figura que también:

$dB_x=dB\cos\theta=dB\sin(90-\theta)=dB\cdot\dst\frac{R}{r}=dB\left(\dst\frac{R}{\sqrt{z^2+R^2}}\right)$

$dB_x=\dst\frac{\mu_0 IR}{4\pi\left(z^2+R^2^\right){3/2}}\cdot d\ell$

Por tanto:

$dB_x=\dst\frac{\mu_0 IR}{4\pi\left(z^2+R^2\right)^{3/2}}\cdot 2\pi R$

Para calcular el campo total, hacemos las integrales cerradas:

$B_x=\dst\oint dB_x=\dst\oint\dst\frac{\mu_0 IR}{4\pi\left(z^2+R^2^\right){3/2}}\cdot d\ell$

$B_x=\dst\frac{\mu_0 IR}{4\pi\left(z^2+R^2\right)^{3/2}}\dst\oint d\ell$

Por tanto, el campo magnético resultante será:

$\boxed{B_x=\dst\frac{\mu_0 IR}{4\pi\left(z^2+R^2\right)^{3/2}}\cdot 2\pi R=\dst\frac{\mu_0 IR^2}{2\left(z^2+R^2\right)^{3/2}}}$

En forma vectorial sería por tanto:

$\boxed{\vec B=\dst\frac{\mu_0 IR^2}{2\left(z^2+R^2\right)^{3/2}} \hat{\imath}}$

Ves que llego al mismo resultado pero sin el signo menos. Siento no poder hacerlo por tu método, pues no he estudiado eso.

Saludos,

[skinner]

Re: Campo magnético en eje perpend. a un anillo que pasa por su centro

Muchas gracias, tu método es más elegante. ¿Alguien sabe por qué me sale a mí negativo? ¿Podrían comprobar los vectores de mi primer post, a ver si están con los signos correctos?

Un saludete!

[Al2000]

Re: Campo magnético en eje perpend. a un anillo que pasa por su centro

Pero es que omitiste un dato necesario. ¿Cuál es la orientación de la corriente? Sin esa información no es posible decir si el signo es positivo o negativo.

Saludos,

Al

[skinner]

Re: Campo magnético en eje perpend. a un anillo que pasa por su centro

Hola Al2000. No le di ningún sentido a I... el producto vectorial $\dst I\vec{dl}\wedge \hat{r}=-\frac{I}{\sqrt{x^2+R^2}}(R^2d\varphi,Rx\sin\varphi d\varphi ,Rx\cos\varphi d\varphi)$ me salió tal cual. ¿A qué te refieres?

Gracias!

[skinner]

Re: Campo magnético en eje perpend. a un anillo que pasa por su centro

Hola Al2000. No le di ningún sentido a I... el producto vectorial $\dst I\vec{dl}\wedge \hat{r}=-\frac{I}{\sqrt{x^2+R^2}}(R^2d\varphi,Rx\sin\varphi d\varphi ,Rx\cos\varphi d\varphi)$ me salió tal cual. ¿A qué te refieres?

Gracias!

PD: El sentido de $dl$ (creo que es esto a lo que te refieres) lo cogí de tal forma que: $\dst \vec{dl}=dl\hat{T}$ donde un punto genérico del aro lo he parametrizado así: $\dst P(0,R\sin\varphi ,R\cos\varphi)$

de donde se deduce fácilmente que: $\dst \hat{T}=\frac{\vec{T}}{T}=\frac{(0,R\cos\varphi ,-R\sin\varphi) }{R}=(0,\cos\varphi,-\sin\varphi)$

¿A esto te referías?

[_L_]

Re: Campo magnético en eje perpend. a un anillo que pasa por su centro

dl tiene la direccion de la circulacion de I

[skinner]

Re: Campo magnético en eje perpend. a un anillo que pasa por su centro

Entonces sí, es a esto a lo que te referías, Al2000. ¿El resultado es erróneo entonces? ¿Podrías decirme dónde me he podido equivocar con ese signo?

Un saludito!

[_L_]

Re: Campo magnético en eje perpend. a un anillo que pasa por su centro

No te has equivocado depende de el sentido de la circulacion tendra un signo o otro ... si tenemos una espira que nos mira de frente. Si el sentido de la circulacion es horario el campo es hacia dentro si es antiorario hacia fuera. Mira eso y comprueba si de veras de equivocastes

[skinner]

Re: Campo magnético en eje perpend. a un anillo que pasa por su centro

Una pregunta antes: ¿puede ser que el signo negativo sea causa de haber dibujado mal el triedro $\left\{ \hat{\imath} \hat{\jmath} \hat{k} \right\}$? Puse el eje OZ mirando hacia arriba, el eje OX apuntando hacia la derecha y el OY hacia fuera del papel.

Y en general, ¿depende el sentido de circulación de la corriente de cómo se recorra la parametrización del aro? Es decir, si el aro es circular lo puedo parametrizar como una circunferencia. Si $\vec{dl}$ apunta en el sentido de la corriente, como dijo _L_, entonces ¿debo tener cuidado con la parametrización que escoja, pues eso afectará al sentido de la corriente? Entonces, en caso de no conocer el sentido de la corriente, ¿puedo suponer un recorrido de la parametrización arbitraria?

Gracias y un saludo!

[Al2000]

Re: Campo magnético en eje perpend. a un anillo que pasa por su centro

Estás poniendo la carreta delante del burro. Sería preferible decir que si no conoces el sentido de la corriente puedes elegirlo a tu gusto. La respuesta quedará condicionada al sentido que hayas elegido.

Saludos,

Al

[_L_]

Re: Campo magnético en eje perpend. a un anillo que pasa por su centro

efectivamente y si el sentido opuesto pues un menos delante de la solucion...

[skinner]

Re: Campo magnético en eje perpend. a un anillo que pasa por su centro

De acuerdo. Un par de preguntas:

1º) ¿El problema puede estar en haber dibujado el triedro mal, sin haber seguido la regla $\hat{i} \wedge\hat{j}=\hat{k}$ ?

2º) ¿Cómo se verá afectada mi elección sobre el sentido de la corriente en mi razonamiento? ¿En la parametrización del aro?

Me interesa más la segunda que la primera.

Un saludo, gracias, y mil perdones por ser tan cabeza dura.

[_L_]

Re: Campo magnético en eje perpend. a un anillo que pasa por su centro

1). si no dibujas bien no se cumple que i x j=k sino que ocurre i x j=-k Pero para eso siempre hazlo con la manita derecha y lo que salga.

2). Si cambias el sentido de la corriente como cambias un vector de direccion pues aparece un - es decir el campo es opuesto a si fuese al reves.

[skinner]

Re: Campo magnético en eje perpend. a un anillo que pasa por su centro

1) Ya sé que no se cumple, pero insisto: ¿puede ser esta la causa por la que obtuve un signo negativo?

2) ¿Quiere esto decir que la forma en que se recorre la parametrización afecta a mi decisión sobre el sentido de la corriente? En otras palabras, ¿se cumple lo siguiente?

Sentido parametrización ===> Sentido de la corriente


Gracias por tu tiempo.

Un saludo.