Otras carreras Flujo espira en movimiento, 2 conductores rectilíneos

[SuperJMN]

¡Hola amigos (aunque no sé si referirme directamente a Al2000, miembro del foro que siempre me ha contestado con prontitud y magistralmente impecable)!

Estoy aprendiendo sobre flujo magnético y fem inducida y veo tipos distintos de ejercicio. Éste me trae de cabeza porque la espira se mueve. El problema es el siguiente:



Prometo prestar atención al desarrollo.
¡Gracias!

[Al2000]

Re: Flujo espira en movimiento, 2 conductores rectilíneos

¡Hola amigos (aunque no sé si referirme directamente a Al2000, miembro del foro que siempre me ha contestado con prontitud y magistralmente impecable)!
...

Es mejor que no, que no es educado con los demás participantes del foro que tienen las mas de las veces mejor formación que la mía y una voluntad de ayudar igual o mayor (aunque tal vez no dispongan de tanto tiempo libre como yo).

En este momento voy saliendo con mi esposa y no tengo tiempo mirar el problema, cuando regrese dentro de algunas horas lo veo.

Saludos,

Al

[SuperJMN]

Re: Flujo espira en movimiento, 2 conductores rectilíneos

Sea quien sea quien conteste, tendrá mi agradecimiento. ¡Estoy deseando de seguir aprendiendo con vosotros! Sois mejores que las clases de Universidad

[Al2000]

Re: Flujo espira en movimiento, 2 conductores rectilíneos

Como este problema es en esencia igual al que preguntaste anteriormente, sólo te voy a plantear las ecuaciones sin mayor explicación. Si te surge alguna duda en concreto, entonces pregunta y tal vez avancemos algo. Si simplemente planteas un problema, sin dudas específicas, y yo (o cualquier otro) te lo resuelvo, no vas a aprender nada.

OK, la cosa es así:

- Flujo de la corriente 1: $\dst \Phi_{B1} = \int_A \boldsymbol B_1 \boldsymbol \cdot d \boldsymbol S = \int_{x}^{x+L}\!\!\left(-\frac {\mu_0 I_1}{2 \pi x} \boldsymbol u_z\right) \boldsymbol \cdot (- L\,dx\, \boldsymbol u_z)$, donde $x = v t$.

- fem inducida 1: $\dst \mathcal E_1 = - \frac {d \Phi_{B1}}{dt}$

- Flujo de la corriente 2: $\dst \Phi_{B2} = \int_A \boldsymbol B_2 \boldsymbol \cdot d \boldsymbol S = \int_{L}^{2 L}\!\!\left(\frac {\mu_0 I_2}{2 \pi y} \boldsymbol u_z\right) \boldsymbol \cdot (- L\,dy\, \boldsymbol u_z)$.

- fem inducida 2: $\dst \mathcal E_2 = - \frac {d \Phi_{B2}}{dt}$.

- fem total: $\mathcal E = \mathcal E_1 + \mathcal E_2$.

Échale pichón y si algo no te sale, pregunta. Yo comprobé los resultados indicados en el problema y son correctos (o al menos los míos coinciden con los indicados )

Saludos,

Al

[SuperJMN]

Re: Flujo espira en movimiento, 2 conductores rectilíneos

Voy a asimilarlo todo. La verdad es que el anterior lo resolví un poco por inercia de la solución que me diste, pero con éste voy a tratar de templarme y desmenuzar cada paso entendiendo perfectamente lo que voy haciendo. El problema me surgía a la hora de hacer la derivada con respecto al tiempo del flujo, pero viendo que x=vt creo que ya voy a poder solucionarlo.

Siento mucho ser tan torpe, creo que a base de insistir voy a avanzar. Desde ya, muchas gracias de nuevo y prometo responder con mi progreso. Estoy casi seguro de que con la ayuda que me has dado ya no seré tan poco avispado para el próximo ejercicio de este tipo.

¡Un afectuoso saludo a ti y a toda la comunidad!

[Al2000]

Re: Flujo espira en movimiento, 2 conductores rectilíneos

No es cuestión de torpeza, es sólo cuestión de adquirir práctica. Hay un par de detalles en la solución de este (tipo de) problema que me gustaría puntualizarte, pero debes estar un poco mas suelto antes de mostrarte las sutilezas que uno al principio pasa por alto al resolver un problema mas o menos mecánicamente. Preguntas que a lo mejor ya te has hecho, o tal vez no, pero que en algún momento la duda te va a molestar. ¿Por qué tomé un diferencial de área como una banda paralela a la corriente y no perpendicular a élla? ¿Por qué orienté el vector área entrando al plano de la figura? ¿Se puede hacer al revés? ¿Cómo se interpreta el signo en la fuerza electromotriz? ¿Cómo es posible que el campo de la corriente 1 induzca una fem cuando la velocidad de la espira es cero?

Saludos,

Al

[SuperJMN]

Re: Flujo espira en movimiento, 2 conductores rectilíneos

La última pregunta me ha dejado K.O. Si la velocidad de la espira es 0, ¡hay una fem producida por el conductor 1. No tengo no idea del porqué.

No varía la superficie, ni el campo magnético creado por I1.

Te escribo desde el móvil ya en la cama... Apuntó de dormir. Es que no podía resistir preguntarte la razón.

Si no hay variación del flujo magnético respecto al tiempo, ¿o sí?

Además, la fem cuando t tiende a infinito es 0. Pero si v=0, y por ejemplo, t=1, ¡hay fem!

Estoy confundido, definitivamente

[Al2000]

Re: Flujo espira en movimiento, 2 conductores rectilíneos

Es un artefacto matemático que aparece en la fórmula porque se usa la premisa, imposible físicamente, de que la espira se empieza a mover desde la posición inicial x = 0. Cuando se escribe la expresión considerando una posición $x_0$ inicial, esa peculiaridad no aparece. La fem inducida queda $\dst \mathcal E_1 = \frac {\mu_0 I_1 L^2 v}{2 \pi (x_0 + v t)(x_0 + v t + L)}$. La misma razón explica que $\mathcal E \to \infty$ cuando $t \to 0$.

Saludos,

Al

[SuperJMN]

Re: Flujo espira en movimiento, 2 conductores rectilíneos

¡Gracias por las aclaraciones! Además he resuelto el ejercicio "on my own" sin mirar nada. ¡Parece que voy aprendiendo! Haré otro de este tipo a ver si me sale a la primera.

[SuperJMN]

Re: Flujo espira en movimiento, 2 conductores rectilíneos

Estoy curtiéndome en este tipo de ejercicios y he probado uno en los que el desarrollo parece igual de sencillo, pero que la solución es tan liosa que no sé si lo estoy haciendo bien.

Se trata del apartado b) de este problema:



Para el conductor 2, que no se mueve:
$\Phi_2=\int_S{\vec{B}_2\mathrm{d}\vec{S}}$

Suponiendo que $\mathrm{d}\vec{S}=-\mathrm{d}ya \vec{u_y}$ con el menos para que coincida con el - del campo magnético, que es:
$\dst \vec{B_2}=-\frac{I_0sin(\omega t)u_0}{2\pi y} \vec{u_y}$

$\dst \Phi_2=\int_{a}^{3a}\frac{I_0sin(\omega t) u_0 a\mathrm{d}y}{2\pi y}$
Con lo que finalmente tengo que
$\dst \Phi_2= \frac{I_0sin(\omega t) u_0 a}{2\pi} ln(3)<br />$

Para hallar la fem inducida de 2, derivo respecto al tiempo y obtengo:

$\dst \mathcal E_2=-\frac{I_0 cos(\omega t) \omega u_o a ln(3)}{2\pi}$

Ahora quiero calcular la fem del conductor 1, que se mueve separándose del otro cable a una velocidad v:

$\vec{B_1}$ será análogo al anterior, pero saliente (en sentido del eje X+).

El flujo de 1 sería entonces:

$\dst \Phi_1=\int_{y}^{y+a}\frac{I_0 sin(\omega t)\mu_0 a \mathrm{d}y}{2\pi y} = \frac{I_0 sin(\omega t)\mu_0 a}{2\pi} ln(\frac{y+a}{y})$

Ahora hago lo mismo, derivo respecto del tiempo, teniendo en cuenta que $y=-vt$ porque y (coordenada sobre eje horizontal) será cada vez menor (se aleja el cable):

$\dst \mathcal E_1=\frac{\mathrm{d} (\frac{I_0 sin(\omega t)\mu_0 a}{2\pi} ln(\frac{vt-a}{vt}))}{\mathrm{d}t}$

$\dst \mathcal E_1=\frac{aI_0\mu_0 \left [ \omega(a-vt) cos(\omega t) \ln(\frac{vt-a}{v})-v sin(\omega t) \right ]}{2\pi (a-vt)}$

Luego se trataría de sumar ambas fem, ¿no?

El pedazo de ecuación que me sale arriba la he hecho con Derive porque no era cuestión de ponerme loco a derivar

Una vez sabida la fem, simplemente dividirla por la resistencia R y y tendríamos la I total, ¿es así?

Gracias.

[_L_]

Re: Flujo espira en movimiento, 2 conductores rectilíneos

super es epoca de examenes y ahora no podemos pasarnos tanto como nos gustaria ^_^

Aun asi estas con Al que siempre estara y es un crack

[SuperJMN]

Re: Flujo espira en movimiento, 2 conductores rectilíneos

Muchas gracias Veo que hay un nivel excelente en este foro. Lo he puesto entre mis favoritos

[skinner]

Re: Flujo espira en movimiento, 2 conductores rectilíneos

Hola SuperJMN, una preguntita: ¿de dónde sacas estos ejercicios tan bonitos?

Gracias!

Saludos

[SuperJMN]

Re: Flujo espira en movimiento, 2 conductores rectilíneos

Son ejercicios de examen de mi facultad (Escuela Superior Informática de Ciudad Real). Si quieres te los paso.

[Al2000]

Re: Flujo espira en movimiento, 2 conductores rectilíneos

Compañeros... camaradas... aquí les pongo mi análisis sin mayores explicaciones. Si hay algo que aclarar, por favor pregunten.

Sin razón en particular he tomado el área de la espira en dirección +X. Para simplificar el cálculo, el origen de coordenadas lo he tomado sobre el conductor fijo. En lugar de calcular el flujo del campo de cada corriente, preferí calcular el campo neto y trabajar con él.

Caso a):

$$\boldsymbol B = \frac {\mu_0 I_0 \, \mathrm {sen} \, \omega t}{2 \pi }\left(-\frac 1 {y+a} + \frac 1 y \right) \boldsymbol u_x = \frac {\mu_0 I_0 \, \mathrm {sen} \, \omega t}{2 \pi } \frac a {y (y+a)} \boldsymbol u_x$$

$$\Phi_B = \int \boldsymbol B \boldsymbol \cdot d \boldsymbol S = \frac {\mu_0 I_0 a \, \mathrm {sen} \, \omega t}{2 \pi } \int_{a}^{3 a}\!\! \left[\frac 1 {y (y+a)} \boldsymbol u_x\right] \boldsymbol \cdot (a\, dy\,\boldsymbol u_x) = \frac {\ln (3/2)}{2 \pi } \mu_0 I_0 a\, \mathrm {sen} \, \omega t$$

$$I = \frac {\mathcal E} R = -\frac 1 R \frac {d \Phi_B}{dt} = - \frac {\ln (3/2) \mu_0 I_0 \omega a}{2 \pi R} \cos \omega t$$

El signo menos en este resultado significa que la corriente lleva sentido horario en el dibujo para t = 0.

Para el caso b), hay que tomar lo anterior y sustituir la distancia $a$ por $a + v t$. Si simplemente se sustituye la distancia de la corriente 1 por $v t$, no se llega a la respuesta que indica el problema. De modo que me copio lo anterior, haciendo el cambio $a \to a + v t$ donde sea apropiado.

Caso b):

$$\boldsymbol B = \frac {\mu_0 I_0 \, \mathrm {sen} \, \omega t}{2 \pi }\left(-\frac 1 {y+a + v t} + \frac 1 y \right) \boldsymbol u_x = \frac {\mu_0 I_0 \, \mathrm {sen} \, \omega t}{2 \pi } \frac {a + v t} {y (y + a + v t)} \boldsymbol u_x$$

$$<br /> \begin{aligned}<br /> \Phi_B = \int \boldsymbol B \boldsymbol \cdot d \boldsymbol S &= \frac {\mu_0 I_0 \, \mathrm {sen} \, \omega t}{2 \pi } \int_{a}^{3 a}\!\! \left[\frac {a+vt} {y (y+a+vt)} \boldsymbol u_x\right] \boldsymbol \cdot (a\, dy\,\boldsymbol u_x) \\ \\<br /> &= \frac {\mu_0 I_0 a}{2 \pi } \ln \left(3 \frac {2a+vt}{4a+vt}\right) \, \mathrm {sen} \, \omega t<br /> \end{aligned}<br />$$

$$I = \frac {\mathcal E} R = -\frac 1 R \frac {d \Phi_B}{dt} = - \frac {\mu_0 I_0 a}{2 \pi R} \left[\omega \ln \left(3 \frac {2a+vt}{4a+vt}\right) \cos \omega t + \frac {2 a v}{(2a+vt)(4a+vt)}\, \mathrm {sen} \, \omega t\right]$$

La misma observación que antes para el signo menos en la corriente.

Los que me conocen ya saben que las integrales y las derivadas las hice con el computador.

Saludos,

Al