Secundaria Ayuda frecuencia de resonancia circuito RLC

[FireRaptor]

Hola, no sé como calcular la frecuencia de resonancia del siguiente circuito.


He intentado con la resistencia equivalente, e igualando la reactancia a 0, pero me sale una ecuación horrible que no he sido capaz de despejar. Alguien me da ideas??

[neometalero]

Re: Ayuda frecuencia de resonancia circuito RLC

Que yo sepa, la frecuencia de resonancia en un circuito RLC, viene dada por:

$${\omega }_{ 0}=\frac{1}{\sqrt{LC} }$$

Saludos

[Al2000]

Re: Ayuda frecuencia de resonancia circuito RLC

...
He intentado con la resistencia equivalente, e igualando la reactancia a 0, pero me sale una ecuación horrible que no he sido capaz de despejar. Alguien me da ideas??

Pues sale un polinomio de orden 4 en $\omega$, pero se puede resolver pues es un polinomio de segundo orden en $\omega ^2$. Vas a tener que hacer algo de álgebra, pero nada del otro mundo, sólo un poco engorrosa.

Partiendo de la impedancia del circuito

$$Z = j \omega L + \frac 1 {j \omega C} + \frac 1 {j \omega C + \dst \frac 1 R}$$

Aisla la parte imaginaria e iguala a cero. Te dejo el álgebra intermedia, yo llegué a esta ecuación:

$$\omega ^4 R^2 L C^3 + \left(L C - 2 R^2 C^2 \right) \omega ^2 - 1 = 0$$

que puedes resolver en términos de $\omega ^2$. A mi me resulta un valor de $\omega = 7180.5973\,\mathrm{rad/s}$ para el cual la impedancia es puramente resistiva y vale $Z = 4.8439\,\mathrm{\Omega }$.

Saludos,

Al

[neometalero]

Re: Ayuda frecuencia de resonancia circuito RLC

Ya me extrañana a a mi que fuera tan sencillo...jeje

[cv5r20]

Re: Ayuda frecuencia de resonancia circuito RLC

Hola Al, ¿podrías desarrollar un poco como has obtenido esa expresión?, yo obtengo que la impedancia total es:

$Z_T=\frac{\mathrm{2Rj\omega C+1-\omega^2LC-Rj\omega^3LC^2} }{\mathrm{j\omega C-R\omega ^2 C^2} }$

y de ahí ya no se como operar para aislar la parte imaginaria.

[Al2000]

Re: Ayuda frecuencia de resonancia circuito RLC

Revisa tus operaciones, esa expresión que escribiste es adimensional y debería tener unidades de resistencia eléctrica...

[cv5r20]

Re: Ayuda frecuencia de resonancia circuito RLC

No entiendo lo que dices ¿ a que te refieres exactamente ?, lo que he hecho para obtener esa expresion es $Z = j \omega L + \frac 1 {j \omega C} + \frac 1 {j \omega C + \dst \frac 1 R}$

[Al2000]

Re: Ayuda frecuencia de resonancia circuito RLC

Disculpa, me equivoqué sólo miré el numerador y no verifiqué el denominador, que tiene unidades de Siemens... ¡que bobo!

Para aislar la parte imaginaria, multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador y separa el resultado en dos fracciones, una real y una imaginaria:

$$\frac {a + j b}{c + j d} = \frac {a + j b}{c + j d} \cdot \frac {c - j d}{c - j d} = \frac {(a c + b d ) - j (a d - b c)}{c^2 + d^2}$$

Saludos,

Al

[cv5r20]

Re: Ayuda frecuencia de resonancia circuito RLC

Una vez obtenida la ecuacion $\omega ^4 R^2 L C^3 + \left(L C - 2 R^2 C^2 \right) \omega ^2 - 1 = 0$ la he resuelto como una ecuación bicuadrada de 4 soluciones ¿como se cual de ellas es la correcta ?

[Al2000]

Re: Ayuda frecuencia de resonancia circuito RLC

$$\omega ^4 R^2 L C^3 + \left(L C - 2 R^2 C^2 \right) \omega ^2 - 1 = 0$$

La solución de (1) es

$$\omega^2 = \frac {-(L C - 2 R^2 C^2) \pm \sqrt {(L C - 2 R^2 C^2)^2 + 4 R^2 L C^3}}{2 R^2 L C^3}$$

En (2) debería resultar evidente que el resultado de la raíz es mayor en valor absoluto que el primer término de la suma, por lo cual deberá tomarse el signo positivo de la raíz a fin de obtener un valor válido de $\omega ^2$

$$\omega^2 = \frac {-(L C - 2 R^2 C^2) + \sqrt {(L C - 2 R^2 C^2)^2 + 4 R^2 L C^3}}{2 R^2 L C^3}$$

Esta expresión puede simplificarse un poco desarrollando el cuadrado dentro de la raíz y cancelando una $C$ de numerador y denominador

$$\omega^2 = \frac {-(L C - 2 R^2 C^2) + \sqrt {L^2 C^2 + 4 R^4 C^4}}{2 R^2 L C^3} = \frac {-(L - 2 R^2 C) + \sqrt {L^2 + 4 R^4 C^2}}{2 R^2 L C^2}$$

De modo que finalmente quedaría algo como esto

$$\omega = \sqrt {\frac {2 R^2 C - L + \sqrt {4 R^4 C^2 + L^2}}{2 R^2 L C^2}}$$

A lo mejor se puede simplificar un poco mas, pero hasta allí lo dejo...

Saludos,

Al