Divulgación Campo Electrico de un Disco

[nature]

Hola a todos es mi primer hilo, quisiera su ayuda con una duda:

En el libro de fisica resnik vol 2 sale algo sobre este tipo de distribucion de carga superficial, tengo todo el proceso matematico bien entendido hasta despues que llegan a la ecuación para el campo electrico en direccion de $\hat{a}z$ (en el eje de simetria que es el mismo eje z) la cuelgo aca:

$\vec{F}=\frac{2 q_0 q}{4 \pi \epsilon_0 R^2}\left(1 - \frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}\right) \hat{a}z$

Entonces entiendo que cuando $z\to \infty$ las "lineas de fuerza" del disco EN DIRECCION $\hat{a}z$ no se distinguirian de las de una carga puntual. y el autor lo dice:

dado que $z\to \infty$, puede utilizarse la expansion binomial para demostrar que esta expresion se reduce a la ley de Coulomb para cargas puntuales.

Pero no logro demostrar esto mediante la expansion binomial. Por favor si alguien sabe como... que me enseñe!

[Al2000]

Re: Campo Electrico de un Disco

$\dst <br /> \begin{aligned}<br /> 1 - \frac z {\sqrt {z^2+R^2}} &= 1 - \frac 1 {\sqrt {1+(R/z)^2}} = 1 - \left [1+(R/z)^2 \right ]^{-1/2} \approx 1 - \left [1 - \frac 1 2 (R/z)^2 \right ] \\ \\<br /> &= \frac 1 2 \left (\frac R z \right )^2 <br /> \end{aligned}<br />$

Saludos,

Al

[solf2]

Re: Campo Electrico de un Disco

hola... me pueden explicar cual es la formula de la expresión binomio y como se aplica

Gracias

[Al2000]

Re: Campo Electrico de un Disco

Puedes leerlo aquí. Cuando se aproxima la expresión $(1+x)^r$ es raro usar mas de dos o tres términos. Es útil saber o tener a mano la aproximación $(1+x)^r \approx 1 + r x + \frac 1 2 r (r-1) x^2$, válida si $|x| < 1$ cuando $r$ no es un entero.

Saludos,

Al

[solf2]

Re: Campo Electrico de un Disco

Hola... que haces para que te de esto

$1 - \frac 1 {\sqrt {1+(R/z)^2}}$

[nature]

Re: Campo Electrico de un Disco

Hola... que haces para que te de esto

sacas factor comun $z^2$ y queda $\frac{z}{z\sqrt{1+(\frac{R}{z})^2 } }$

[solf2]

Re: Campo Electrico de un Disco

lo podes hacer paso por paso, xq no veo como haces para que te quede (R/Z)2

[nature]

Re: Campo Electrico de un Disco

lo podes hacer paso por paso, xq no veo como haces para que te quede (R/Z)2

Muy bien, esto es algo básico pero a muchos no les va bien con el algebra (me incluyo).

$<br /> \dst \frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}<br />$

$<br /> \dst \frac{z}{\sqrt{z^2(1+\frac{R^2}{z^2})}}<br />$
este es el paso importante, este es el factor común del que te hablé, fijate que si multiplicas de nuevo te queda igual que arriba...

$<br /> \dst \frac{z}{\sqrt{z^2} \sqrt{(1+\frac{R^2}{z^2})}}<br />$

$<br /> \dst \frac{z}{z \sqrt{(1+\frac{R^2}{z^2})}}<br />$

$<br /> \dst \frac{1}{\sqrt{(1+\frac{R^2}{z^2})}}<br />$