1r ciclo [XII]Uno de electromagnetismo: Conductor cilíndrico y Ley de Ampère

[skinner]

Buenas a todos de nuevo! Tengo un problema que dice:

"Un conductor cilíndrico largo, de radio R y posicionado horizontalmente, lleva una corriente I hacia la izquierda. Sin embargo, la densidad de corriente J no es uniforme en toda la sección transversal del conductor, sino que es una función del radio según J=br, donde b es una constante. Determine la expresión para el campo magnético B a una distancia r>R."

Mi planteamiento (supuestamente erróneo) fue:

$$J=\frac{I}{S} \Rightarrow I=JS=Sbr=\pi R^2rb \Rightarrow \boxed{I=I(r)=\pi R^2rb}$$

Creo que hasta ahí lo tengo bien. Una vez he conseguido averiguar cuánto vale la intensidad en función de r, puedo aplicar la ley de Ampère, teniendo en cuenta que la intensidad total será una integral:

$$\oint \boldsymbol B\cdot d\boldsymbol \ell = \mu _{0}\cdot I_{total}=\mu_{0} \int_0^R I(r)dr=\mu_{0} \int_0^R \pi R^2rbdr=\mu_{0} \frac{\pi R^4 b}{2}$$

Y por tanto:

$$B(2\pi r)=\mu_{0} \frac{\pi R^4 b}{2}\Rightarrow \boxed{B=\frac{\mu _{0} R^4 b}{4 r^2}}$$

Sin embargo la respuesta correcta es: (vaya mala costumbre de no incluir razonamientos en los solucionarios)

$$B=\frac{\mu_0 b R^3}{3r}$$

¿En qué he fallado?

Un saludo y mil gracias

[Al2000]

Re: [XII]Uno de electromagnetismo: Conductor cilíndrico y Ley de Ampère

Fallastes desde la primera igualdad. Al no ser constante la densidad de corriente, debes determinar la corriente así: $\dst I = \int_A \boldsymbol j \boldsymbol \cdot d \boldsymbol S = \int_A j\, dS = \int_{0}^{R}\!\! (b r)(2 \pi r\,dr) = \frac 2 3 \pi b R^3$.

Saludos,

Al

[skinner]

Re: [XII]Uno de electromagnetismo: Conductor cilíndrico y Ley de Ampère

Gracias por tu respuesta Al, pero ¿hacia dónde apunta $\boldsymbol j$? ¿Cömo hiciste el producto $\boldsymbol j \cdot d \boldsymbol S$?

En un post anterior, me comentaste que $\boldsymbol j=\sigma \boldsymbol E$ pero ¿qué tiene que ver ahora el campo eléctrico?

Saludos y gracias de nuevo

[Al2000]

Re: [XII]Uno de electromagnetismo: Conductor cilíndrico y Ley de Ampère

La dirección de $\boldsymbol j = j\, \boldsymbol u_T$ es tangente al conductor y en el sentido de la corriente. Para determinar el flujo consideré un anillo en la sección transversal del conductor de radio $r$ y grosor infinitesimal $dr$ en dirección paralela a $\boldsymbol j$, es decir, $d \boldsymbol S = 2 \pi r \,dr\, \boldsymbol u_T$.

Saludos,

Al

[skinner]

Re: [XII]Uno de electromagnetismo: Conductor cilíndrico y Ley de Ampère

Realmente útil, muchas gracias

Saludos!