Derivada del flujo

[fenix]

Hola, estoy estudiando una oposición y me he encontrado con este problema de nivel de 1º de carrera y a pesar de que me lo ha explicado mi profesor no he conseguido entender como se calcula la derivada del flujo.

Se tiene el campo vectorial uniforme pero no estacionario:$\bar{a}=2t\bar{i}+3t^3\bar{j}+(2t+1)\bar{k}$. Y se desea conocer el flujo de su derivada a través del cubo de lado unidad determinado por los tres planos coordenados y los planos x=1;y=1;z=1.

Saludos

[pod]

Re: Derivada del flujo

Primero calcula el flujo. Como el campo depende del tiempo, te saldrá dependiente del tiempo.

Luego, deriva.

Inténtalo, si no te sale te daremos más detalles.

EDICIÓN: De todas formas, el flujo de un campo uniforme a través de una superfície cerrada es cero.

[fenix]

Re: Derivada del flujo

Hola, para calcular el flujo hay que hacer la integral de $\bar{a}$ ¿pero para que son los planos $x=1, y=1, z=1$?.

Saludos

[pod]

Re: Derivada del flujo

Hola, para calcular el flujo hay que hacer la integral de $\bar{a}$ ¿pero para que son los planos $x=1, y=1, z=1$?.

Saludos

Son tres de las caras del cubo.

[Pablo]

Re: Derivada del flujo

Hola, estoy estudiando una oposición y me he encontrado con este problema de nivel de 1º de carrera y a pesar de que me lo ha explicado mi profesor no he conseguido entender como se calcula la derivada del flujo.

Se tiene el campo vectorial uniforme pero no estacionario:$\bar{a}=2t\bar{i}+3t^3\bar{j}+(2t+1)\bar{k}$. Y se desea conocer el flujo de su derivada a través del cubo de lado unidad determinado por los tres planos coordenados y los planos x=1;y=1;z=1.

Saludos

El flujo de la derivada es la derivada del flujo. Por tanto, deberias calcular primero el flujo a traves de las caras del cubo. Para ello, necesitas el correspondiente elemento vectorial de superficie dS=dSx i + dSy j +dSz k=dydz i + dxdz j + dydx k.
Producto escalar: a · dS
Limites de integracion: intervalo [0,1]
Resultado de la integral la derivas por el tiempo.

[carroza]

Re: Derivada del flujo

Hola, estoy estudiando una oposición y me he encontrado con este problema de nivel de 1º de carrera y a pesar de que me lo ha explicado mi profesor no he conseguido entender como se calcula la derivada del flujo.

Se tiene el campo vectorial uniforme pero no estacionario:$\bar{a}=2t\bar{i}+3t^3\bar{j}+(2t+1)\bar{k}$. Y se desea conocer el flujo de su derivada a través del cubo de lado unidad determinado por los tres planos coordenados y los planos x=1;y=1;z=1.

Saludos

Hay varias formas de calcular el flujo. En cualquer caso, el resultado del flujo (y de su derivada) es cero.

La razon es que tu campo es uniforme, es decir, que no depende de la posicion en el espacio (aunque si dependa del tiempo). Por tanto, los flujos a traves de lados opuestos del cubo de van a salir iguales y de signo contrario.

Eso lo podrias ver tambien a traves de la divergencia: El flujo de un campo vectorial a lo largo de la superficie es igual a la integral de volumen de la divergencia del campo. Si el campo no varia espacialmente, su divergencia es cero. Por tanto, el flujo sera cero, no solo a traves de la superficie del cubo, sino en cualquier superficie cerrada que te imagines.

[polonio]

Re: Derivada del flujo

Se tiene el campo vectorial uniforme pero no estacionario:$\bar{a}=2t\bar{i}+3t^3\bar{j}+(2t+1)\bar{k}$. Y se desea conocer el flujo de su derivada a través del cubo de lado unidad determinado por los tres planos coordenados y los planos x=1;y=1;z=1.

Como dicen pod y carroza, si la superficie es realmente un cubo y es, por tanto, cerrada, el flujo es nulo, pues la divergencia de la derivada del campo es nula al ser uniforme esta derivada (teorema de la divergencia). Otra cosa es que la superficie no sea un cubo, sino sólo las tres caras del cubo que te señalan (las determinadas por los planos x=1, y=1, z=1). En esto es en lo que tengo dudas: tres planos no determinan un cubo (a menos que dé por supuestas las caras x=0, y=0, z=0, por ejemplo).

¿Podrías revisar el enunciado, por favor?

[pod]

Re: Derivada del flujo

Como dicen pod y carroza, si la superficie es realmente un cubo y es, por tanto, cerrada, el flujo es nulo, pues la divergencia de la derivada del campo es nula al ser uniforme esta derivada (teorema de la divergencia). Otra cosa es que la superficie no sea un cubo, sino sólo las tres caras del cubo que te señalan (las determinadas por los planos x=1, y=1, z=1). En esto es en lo que tengo dudas: tres planos no determinan un cubo (a menos que dé por supuestas las caras x=0, y=0, z=0, por ejemplo).

¿Podrías revisar el enunciado, por favor?

Las caras x=0, y=0, z=0 son lo que el enunciado llama los "planos coordenados".

[polonio]

Re: Derivada del flujo

Las caras x=0, y=0, z=0 son lo que el enunciado llama los "planos coordenados".

¡Uy!, perdón, con las prisas no lo había leído bien. (Ahora sólo falta que algún alumno me diga lo que yo les he dicho tantas veces: leed bien los enunciados...)

Pues nada, siendo así (superficie cerrada: el cubo con sus seis caritas) el flujo es nulo como ya se ha dicho antes (pod y carroza).

Desde luego... vaya empanada de lunes que tengo