Secundaria Potencial eléctrico

[Pepealej]

Hasta lo que yo se, el potencial eléctrico se define como:

$V=\displaystyle\frac{E_p}{q}$

Ahora, aquí tengo un problema a la hora de entender esto, pero el problema es básicamente que no se deducir la energía potencial electrostática.

Yo se que $W=E_{p_0}-E_{p_f}$. Con esto conseguí deducir la energía potencial gravitatoria:

$W=-G\displaystyle\frac{M\cdot m}{R_1^2}r_0-(-G\displaystyle\frac{M\cdot m}{R_2^2}r_f)$

Y, si consideramos que los cuerpos están cerca, podemos decir que $R_1\approx R_2$, y tenemos que:

$W=G\displaystyle\frac{M\cdot m}{R^2}\Delta r$

Pero esto que hice con la energía potencial gravitatoria no se hacerlo con la potencial electrostática, y por tanto no se deducir el potencial.

Tengo 2 problemas: (1) No se llegar hasta la fórmula de Energía Potencial Electrostática y, por tanto, a la de potencial.
(2) No entiendo muy bien el concepto Potencial (a poder ser si me lo explicais así con detalle lo agradecería).

Muchas gracias

[hennin]

Re: Potencial eléctrico

El potencial V de en un punto del espacio es el trabajo que realiza el campo para trasladar la unidad de carga positiva desde dicho punto al infinito. Por tanto, si V>0 ; entonces el trabajo de las fuerzas del campo tenderán a alejar la carga al infinito. Si V<0 ; entonces aplica la lógica contraria.

Es diferente el potencial V de una carga que la diferencia de potencial (Va - Vb) entre dos cargas, ya que éste último sería el trabajo realizado por las fuerzas del campo para trasladar la unidad de carga positiva entres dos puntos a y b.

Recuerda que :

V= k Q/r V=V1+V2+V3.....

Va - Vb= W/Q

Ep=K Q q/r

El cómo llegar a la fórmula de la Ep electrostática, yo haría lo siguiente (seguramente habrá otra demostración mejor pero puede que ésta sea correcta, no estoy muy seguro):

W(mecánico)= F(mecánica) ∆x

W(eléctrico)= F(eléctrica) ∆x= K Q q ∆x/r^2 ; ∆x=r ; W(eléctrico)= Ep =K Q q /r

[Al2000]

Re: Potencial eléctrico

...
Yo se que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Con esto conseguí deducir la energía potencial gravitatoria:
...

Lo que pusiste en la cajita de la cita me dejó la cabeza echando humo... Voy a empezar por allí, por la energía potencial gravitacional.

Digamos que es un hecho experimental que la fuerza de atracción gravitacional entre dos partículas viene dada por la expresión

$$F = G \frac {m_1 m_2}{r^2}$$

donde estoy omitiendo el caracter vectorial por simplicidad, pero mantengamos en mente que se trata de un vector que yace en la línea que une las partículas y con sentido de atracción entre ellas.

Digamos que deseamos llevar las partículas desde una separación inicial $r_0$ hasta una $r_f$ final. Por definición de trabajo mecánico (de nuevo omito los vectores por simplicidad), el trabajo hecho por el agente externo es

$$W = \int_{r_0}^{r_f}\!\! F_{agente}\,dr = \int_{r_0}^{r_f}\!\! F\,dr$$

y si el trabajo es hecho sin acelerar las partículas, reconocemos por el principio de conservación de la energía que el cambio en la energía potencial del sistema de dos partículas es igual al trabajo realizado por el agente externo

$$U_f - U_0 = \int_{r_0}^{r_f}\!\! F\,dr = - G m_1 m_2 \left(\frac 1 {r_f} - \frac 1 {r_0} \right)$$

Si elegimos como referencia conveniente, que la energía de las dos partículas es cero cuando están infinitamente separadas ($r_0 \to \infty ,\,\, U_0 \to 0$), entonces la expresión anterior se puede escribir

$$U_{(r)} = - G \frac {m_1 m_2} r$$

En el caso de la energía potencial del sistema formado por una partícula de masa $m$ y Tierra, podemos escribir (3) como

$$U_f - U_0 = - G M_T m \left(\frac 1 {R_T + h_f} - \frac 1 {R_T + h_0} \right)$$

pero aceptando que $h_0,\,h_f \ll R_T$, el término entre paréntesis valdrá, en la mayoría de los casos de la vida cotidiana,

$$\frac 1 {R_T + h_f} - \frac 1 {R_T + h_0} \approx \frac {h_0 - h_f}{R_T^2} = - \frac {\Delta h} {R_T^2}$$

con lo cual podemos escribir (5) de la forma aproximada

$$\Delta U = - G M_T m \left(-\frac {\Delta h}{R_T^2}\right) = m g \Delta h$$

donde $\dst g = G \frac {M_T}{R_T^2} = 9.80665\,\mathrm{m/s^2}$ es la conocida aceleración de gravedad. La expresión (7) la escribimos generalmente como

$$U = m g h$$

en donde estamos aceptando impícitamente que la aceleración de gravedad es constante (pequeñas variaciones de altura) y que la energía potencial es cero en el nivel desde donde medimos $h$.

Es claro en (8) que la energía potencial que tiene un cuerpo colocado a cierta altura sobre la superficie terrestre depende de la masa del cuerpo (podremos obtener mucha mas energía si dejamos caer un camión que si dejamos caer una patineta, desde la misma altura). En ciertas circunstancias sería conveniente poder hablar de la cantidad de energía por unidad de masa asociada con un punto a cierta altura. En este caso aproximado, la expresión resultante es inmediata, la energía potencial por unidad de masa vale

$$V = \frac U m = g h$$

expresión que nos da el potencial gravitacional de Tierra en puntos no muy elevados. Para mayores alturas habría que trabajar con la expresión (4) y expresar el potencial gravitacional como

$$V = - G \frac {M_T} r$$

El tratamiento del caso eléctrico es absolutamente semejante, debido a que las fuerzas eléctricas, al igual que las gravitacionales, varían con el inverso del cuadrado de la distancia. La única diferencia que aparece en las expresiones es el signo. En el caso de la fuerza gravitacional entre dos partículas el signo negativo se incluye explícitamente pues la fuerza es siempre de atracción

$$\boldsymbol F_{12} = - G \frac {m_1 m_2}{r_{12}^2}\,\boldsymbol u_{12}$$

mientras que en el caso eléctrico el signo está incluído en el producto de las cargas

$$\boldsymbol F_{12} = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {q_1 q_2}{r_{12}^2}\,\boldsymbol u_{12}$$

Bueno, ya me extendí mucho, mejor lo dejo hasta aquí.

Saludos,

Al

[Pepealej]

Re: Potencial eléctrico

Gracias Al por la respuesta, pero no entiendo porque dices que $\int_{r_0}^{r_f}\!\! F\,dr = - G m_1 m_2 \left(\frac 1 {r_f} - \frac 1 {r_0} \right)$. ¿No se supone que $F= G \frac {m_1 m_2}{r^2}$? ¿Porque $(\frac 1 {r_f} - \frac 1 {r_0})$ no es $(\frac 1 {r_f^2} - \frac 1 {r_0^2})$.

O sea, yo lo que dije es que como $W=-\Delta E_p$, pues entonces: $W=GMm(\frac 1 {R_T+h)^2}-\frac 1 {R_T+h_0)^2})$, ¿no es así? El caso es que este no es un resultado correcto, el cuadrado no debería estar ahí pero no entiendo porque.

Gracias

[Pepealej]

Re: Potencial eléctrico

El potencial V de en un punto del espacio es el trabajo que realiza el campo para trasladar la unidad de carga positiva desde dicho punto al infinito. Por tanto, si V>0 ; entonces el trabajo de las fuerzas del campo tenderán a alejar la carga al infinito. Si V<0 ; entonces aplica la lógica contraria.

Entonces, si yo tengo dos partículas de carga igual y positiva alineadas, la asíntota que se crea en el centro es de potencial 0 y, por tanto, el trabajo que tienen que hacer cualquiera de las partículas para enviar a otra partícula situada en esa línea y por esa línea hasta el infinito es 0, ¿no es así?

[nature]

Re: Potencial eléctrico

Hola Pepealej. El compañero Al2000 en su magna explicación supuso que ya conoces algo de calculo integral, el hecho de que la expresión este en función de $\frac{1}{r}$ es por que al integrar $\int\frac{\dd r}{r^2}$ da precisamente $-\frac{1}{r}$ y al evaluar los limites superior e inferior resulta la ecuación (3) del post de Al.

Ahora yo tengo una duda Al me quedó un péndulo en la mente por algo que mencionas:

y si el trabajo es hecho sin acelerar las partículas, reconocemos por el principio de conservación de la energía que el cambio en la energía potencial del sistema de dos partículas es igual al trabajo realizado por el agente externo

Me podrias explicar esto con mayor detalle?

[Al2000]

Re: Potencial eléctrico

¿Supongo que te refieres a que no se acelere la partícula? El hecho es que se está haciendo un cálculo del cambio de energía potencial a partir del trabajo realizado para mover la partícula. No podemos permitir que la partícula cambie su velocidad pues entonces no sabríamos que parte del trabajo se usó para cambiar la energía potencial y que parte para cambiar la energía cinética.

Si tu duda no iba por allí, dime cual sería...

Saludos,

Al

[Pepealej]

Re: Potencial eléctrico

Sí que se integrar, al menos las sencillas y entiendo lo que significa. También entiendo como se define el trabajo mediante integrales, pero no entiendo una cosa.

Si $F=G\displaystyle\frac{Mm}{R^2}$, ¿qué es $r$? Cuál es la ecuación del movimiento?

[nature]

Re: Potencial eléctrico

¿Supongo que te refieres a que no se acelere la partícula? El hecho es que se está haciendo un cálculo del cambio de energía potencial a partir del trabajo realizado para mover la partícula. No podemos permitir que la partícula cambie su velocidad pues entonces no sabríamos que parte del trabajo se usó para cambiar la energía potencial y que parte para cambiar la energía cinética.

Si tu duda no iba por allí, dime cual sería...

Si a eso me referia, gracias por la respuesta, bueno aun estoy digiriendo la información por que no lo habia considerado nunca, a pesar de ser algo elemental por lo que veo...

[Pepealej]

Re: Potencial eléctrico

Ok. Vale, ya entiendo toda la demostración de Al.

Entonces, si usamos la fórmula de la energía potencial sin aproximaciones $\left(-G\displaystyle\frac{Mm}{r}\right)$ ¿podemos decir que la energía potencial es menor conforme la altura es mayor?

Pero eso no me parece tener sentido pues si dejas caer un objeto desde una altura mayor llegará al suelo con más velocidad (ley de la conservación de la energía), y no al revés. ¿Qué ocurre? Gracias

[nature]

Re: Potencial eléctrico

Entonces, si usamos la fórmula de la energía potencial sin aproximaciones $\left(-G\displaystyle\frac{Mm}{r}\right)$ ¿podemos decir que la energía potencial es menor conforme la altura es mayor?

Pero eso no me parece tener sentido pues si dejas caer un objeto desde una altura mayor llegará al suelo con más velocidad (ley de la conservación de la energía), y no al revés. ¿Qué ocurre? Gracias

Bueno lo que pasa es que no debes olvidar de donde sale esa formula, para llegar a allí primero se tomó como referencia de potencial "cero" al infinito, es decir por conveniencia y generalidad se toma al infinito como el "punto" donde se le acaba la energia potencial a la particula. Pero esto como dices parece contradictorio ya que por logica sabemos que al alejar una masa de prueba de la tierra o cualquier masa M aumenta la energia potencial respecto al campo gravitatorio de M.

La respuesta está en la misma ecuación $\dst U_{(r)} = - G \frac {m_1 m_2} r$ el signo negativo nos dice que la energia potencial que hallemos al sustituir los valores de m1 m2 y r es Negativa, es decir, esa energia es el trabajo que debe realizar un agente externo para trasladar a m2 desde el infinito a esa distancia r de m1. Que ciertamente ese trabajo es negativo ya que el movimiento apunta en la misma dirección y sentido al campo.

Entonces en conclusión, si tomas al infinito como referencia de potencial cero, entonces en la superficie de la tierra tendras la maxima energia potencial negativa almacenada.

[Pepealej]

Re: Potencial eléctrico

Lo siento pero no me has aclarado nada. Lo que me has dicho ya lo sabía, pero no has respondido a mi pregunta: ¿Por qué la energía potencial desciende a medida que aumenta la altura?

Entiendo el porque de los signos y se como funciona la fórmula, pero no entiendo esta parte. Gracias

[Al2000]

Re: Potencial eléctrico

...¿Por qué la energía potencial desciende a medida que aumenta la altura?

Entiendo el porque de los signos y se como funciona la fórmula, pero no entiendo esta parte. Gracias

¿También entiendes que -5 es mayor que -100, por poner un ejemplo?

[GNzcuber]

Re: Potencial eléctrico

Lo siento pero no me has aclarado nada. Lo que me has dicho ya lo sabía, pero no has respondido a mi pregunta: ¿Por qué la energía potencial desciende a medida que aumenta la altura?

Entiendo el porque de los signos y se como funciona la fórmula, pero no entiendo esta parte. Gracias

En absoluto, la energía potencia aumenta cuando aumenta la altura. Supongamos que dos cuerpos de la misma masa se encuentran a una distancia de 10 unidades de longitud y otro a 15, ¿Qué és más grande?

$$\displaystyle U_1 = -\frac{k}{10}m \quad U_2 = -\frac{k}{15}m$$

¿Verdad que $\frac{1}{10}>\frac{1}{15}$? Entonces $-\frac{1}{10}<-\frac{1}{15}$.

¡Saludos!

[Pepealej]

Re: Potencial eléctrico

Y una última duda (matemática) que me surgió a raíz de esto.

Entendí lo que me dijisteis y yo entonces acabo con algo así:

$v^2=-k$

Pero claro, que tendría que hacer: $-v^2=k$? Esto da un resultado diferente.

Luego me entró otra duda.

Yo pensaba que la fuerza es negativa en el sentido del campo gravitatorio $\left(-k\right)$ (dejemos en k la masa, la constante...) Pero cuando calculamos el trabajo de dicha fuerza para mover un cuerpo; es positiva cuando va en sentido del campo gravitatorio, y negativa cuando va en sentido contrario. Aquí ya me lié y, aun encima con lo de la velocidad tengo la cabeza hecha un lío.

Gracias por la ayuda