Otras carreras Ayuda con ejercicio

[PressEnter]

Hola a todos! necesito ayuda con un ejercicio, si me pudieran dar alguna idea de como resolverlo lo agradecería

Se tiene una barra de largo L y cargada uniformemente con una densidad lineal Lambda1. Además se tiene un arco de media circunferencia de radio R cargada uniformemente con una densidad lineal Lambda 2. Determinar Lambda1 si sobre una carga Qo en el punto P actúa una fuerza neta F hacia la derecha.

Saludos

[GNzcuber]

Re: Ayuda con ejercicio

Hola PressEnter,

La densidad $\lambda_1$ te saldrá en función de $\lambda_2$ y al parecer de $q_0$. Primero calcularemos el campo que crean en el punto $P$, haremos que éste sea el origen de coordenadas y que el eje $Ox$ coincida con la dirección de la barra. Por el principio de superposición el campo resultante en el origen será la suma vectorial de los campos creados por cada una de las piezas por separado.

Para calcular el campo eléctrico tenemos la siguiente fórmula:

$$\displaystyle<br /> \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_C \lambda_i \frac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'}|^3}\dd r'<br />$$

Donde $\boldsymbol{r}$ es la posición donde queremos calcular el campo (en el punto $P$ - el origen - $\boldsymbol{r}=0$), y $\boldsymbol{r'}$ es la posición de las fuentes de carga. Para la barra $\boldsymbol{r'}\in [-L-R,-R]$, y para el arco de circunferencia usaremos coordenadas polares, $\displaystyle \boldsymbol{r'}=R[\cos(\theta)\boldsymbol{i}+\sin(\theta)\boldsymbol{j}], \theta\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$.

Las respectivas distancias, para la barra y el arco, son

$$\displaystyle \left\{\begin{aligned}<br /> |\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'}| = \sqrt{(R+x)^2} = R+x,\qquad x \in [0,L] \\<br /> |\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'}| = \sqrt{(-R\cos(\theta))^2+(-R\sin(\theta))^2} = R<br /> \end{aligned}\right.<br />$$

Y los diferenciales de longitud $\displaystyle \left\{ \begin{aligned} \dd r &= \dd x \\ \dd r &= R \dd \theta \end{aligned}\right.$.

Calculando los campos en $P$:

$$\displaystyle \begin{aligned}<br /> \boldsymbol{E}_1 &= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_0^L \lambda_1 \frac{R+x}{(R+x)^3}\boldsymbol{i}\dd x \\<br /> &= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \boldsymbol{i}\int_0^L \lambda_1 \frac{1}{(R+x)^2}\dd x \\<br /> &= \frac{\lambda_1}{4\pi\varepsilon_0} \boldsymbol{i} \left[-\frac{1}{R+x}\right]_0^L \\<br /> &= \frac{\lambda_1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{R+L}\right)\boldsymbol{i} \\<br /> &= \frac{\lambda_1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{L}{R(R+L)}\boldsymbol{i}<br /> \end{aligned}$$

y

$$\displaystyle \begin{aligned}<br /> \boldsymbol{E}_2 &= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2} \lambda_2 \frac{-R\cos(\theta)\boldsymbol{i}-R\sin(\theta)\boldsymbol{j}}{R^3} R\dd \theta \\<br /> &= -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\lambda_2}{R}\boldsymbol{i} \int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2} \cos(\theta)\dd \theta \\<br /> &= -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\lambda_2}{R}\boldsymbol{i} \left[\sin(\theta)\right]_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2} \\<br /> &= -\frac{\lambda_2}{2\pi\varepsilon_0 R}\boldsymbol{i}<br /> \end{aligned}$$

La fuerza ejercida en una carga $q_0$ es

$$\displaystyle \begin{aligned}<br /> \boldsymbol{F} &= q_0 (\boldsymbol{E}_1 + \boldsymbol{E}_2) \\<br /> F\boldsymbol{i} &= \frac{q_0}{4\pi\varepsilon_0R}\left[\frac{L}{R+L}\lambda_1 - 2\lambda_2\right]\boldsymbol{i}<br /> \end{aligned}$$

Debes igualar comonentes, como ambas son en $\boldsymbol{i}$ tienes la igualdad anterior pero de caracter escalar, debes despejar $\lambda_1$ y te quedará en función de $\lambda_2$, $q_0$ y $F$.

¡Saludos!

[Al2000]

Re: Ayuda con ejercicio

Tu cálculo de $\boldsymbol E_1$ es correcto por carambola, pues tienes un número par de errores. Creo que deberías ser consistente con las referencias que eliges. Si has establecido que tu origen está en el punto P y tu eje $x$ coincide con la dirección del filamento rectilíneo, entonces $\boldsymbol r = \boldsymbol 0$, $\boldsymbol r' = x\, \boldsymbol i$, $\boldsymbol r - \boldsymbol r' = -x \boldsymbol i$, $|\boldsymbol r - \boldsymbol r'| = |x|$, $\dst \boldsymbol E_1 = - \frac {\lambda_1\, \boldsymbol i }{4 \pi \epsilon_0} \int_{-L-R}^{-R}\!\! \frac x {|x|^3}\,dx = - \frac {\lambda_1\, \boldsymbol i }{4 \pi \epsilon_0} \int_{-L-R}^{-R}\!\! \frac {\mathrm {sign} \, x} {x^2}\,dx = -\frac {\lambda_1\, \boldsymbol i }{4 \pi \epsilon_0} \left. \frac 1 x \right|_{-L-R}^{-R} = \frac {\lambda_1 }{4 \pi \epsilon_0} \frac {L\,\boldsymbol i} {R(R+L)}$

Saludos,

Al

[PressEnter]

Re: Ayuda con ejercicio

Muchas gracias a ambos!! muy completas sus respuestas, me ha servido muchísimo. !!

Saludos

[diegol]

Re: Ayuda con ejercicio

Un motor de potencia P = 50 KW acciona un vehículo durante 2 horas. ¿cuál es el trabajo realizado
por el motor?
A) 0,1 KW h
B) 1,0 KW h
C) 10 KW h
D) 100 KW h
E) 100 KW

[diegol]

Re: Ayuda con ejercicio

Un motor de potencia P = 50 KW acciona un vehículo durante 2 horas. ¿cuál es el trabajo realizado
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Re: Ayuda con ejercicio

Hola diegol,

Un motor de potencia P = 50 KW acciona un vehículo durante 2 horas. ¿cuál es el trabajo realizado
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