Otras carreras Duda en ejercicio

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Muchas gracias por la respuesta anterior de mi duda, me sirvió mucho
Tengo otro ejercicio donde me ha quedado un lio en las integrales, creo que lo estoy haciendo mal...

Se tiene un cascarón esférico grueso de radio interno b y radio total a (a>b), que contiene una carga total Q uniformemente distribuida. Necesito determinar la magnitud del campo eléctrico a una distancia r del centro de la esfera.



Gracias de antemano!

Saludos

[GNzcuber]

Re: Duda en ejercicio

Hola PressEnter,

Me gustaría ver las integrales que has hecho para saber dónde puede estar el posible error. Sin hacer cálculos puedes ver más o menos qué ocurre con el campo eléctrico:

- Para $r<b$ el campo es nulo ya que no hay carga eléctrica.
- Para $b<r<a$ el campo varía linealmente con el radio, ya que para $a>r'>r>b$ tendrás más carga en el volumen encerrado por $r'$, y como el volumen aumenta proporcionalmente al cubo del radio, y el campo disminuye con el cuadrado de la distancia, el campo será proporcional a $r$.
- Para $r>a$ tendrás que la carga ya no puede aumentar más, però el campo sigue disminuyendo con el cuadrado de la distancia. Así que el campo resultante será como el de una carga puntual a una distancia $r$ del centro de la esfera con una carga $Q$ (la carga total).

Pon tu planteamiento.

¡Saludos!

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Re: Duda en ejercicio

Se me olvido mencionar un detalle, r está entre a y b. Intenté calcular el campo eléctrico con esféricas, suponiendo que la esfera estaba en el centro y había una carga de prueba en el (0,0,d). Obviamente las integrales quedaron horribles así que no creo que vaya por ahí el camino...

[GNzcuber]

Re: Duda en ejercicio

Hola PressEnter,

No veo qué has intentado hacer, Al parecer has puesto tres integrales triples, las dos primeras son idénticas, pero en ningún lugar veo que menciones la densidad de carga. Intenta al exponer lo que has hecho, exponerlo de verdad, si pones lo que te ha quedado sin más no sabremos cuál fue tu razonamiento para llegar a eso.

Yo te mostraré cómo lo haría yo. Como la carga se reparte uniformemente, tenemos que la densidad de carga es constante en todo el volumen ($\rho(\vec{r})=\rho$). La carga total es

$$\displaystyle \begin{aligned}<br /> Q &= \rho \int_{r=b}^a \int_{\theta=0}^\pi \int_{\phi=0}^{2\pi} \dd r (r\dd \theta) (r\sin(\theta))\dd \phi \\<br /> &= \rho \int_b^a r^2\dd r \int_0^\pi \sin(\theta)\dd \theta \int_0^{2\pi} \dd \phi \\<br /> &= \rho \left(\frac{a^3-b^3}{3}\right)(2)(2\pi) = \frac{4\pi \rho}{3}(a^3-b^3)<br /> \end{aligned}$$

Que realmente no hacía falta hacer la integral, es la diferencia de volumen de dos esferas multplicada por la densidad de carga. Pero como te interesa en un radio $a>r>b$, haciendo lo mismo que antes llegamos a

$$\displaystyle \boxed{Q_{in} = \frac{4\pi\rho}{3}(r^3-b^3)} \qquad r\in [b,a]$$

Por la simetría del problema podemos aplicar la ley de Gauss, vemos que por simetría el campo debe ser radial y como la densidad de carga es uniforme también lo será la magnitud del campo en una superficie esférica gaussiana de radio $r$ concéntrica con la esfera.

$$\displaystyle \begin{aligned}<br /> \oint_\mathcal{S} \boldsymbol{E}\cdot \boldsymbol{\hat{n}} \dd a &= \frac{1}{\varepsilon_0}\iiint_\mathcal{V}\rho(\boldsymbol{r})\dd^3 r \\<br /> E (4\pi r^2) &= \frac{4\pi\rho}{3\varepsilon_0}(r^3-b^3) \\<br /> \boldsymbol{E}_{(b<r<a)} &= \frac{\rho}{3\varepsilon_0}\left[1-\left(\frac{b}{r}\right)^3\right]\boldsymbol{r}<br /> \end{aligned}$$

¡Saludos!

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Re: Duda en ejercicio

Una duda, fuera del ejercicio ... Dijiste que si r<b, el campo es nulo ¿Pero se cancelarían todas las fuerzas en esa posición? En el centro de la esfera el campo sería 0, pero no sé si en cualquier punto. Se que por gauss, si r<b el flujo es 0. ¿Implica esto que el campo sea necesariamente 0?

[GNzcuber]

Re: Duda en ejercicio

Que el flujo sea cero no implica que el campo lo sea. ¿Cuándo no es cero el flujo en una superficie cerrada? Cuando hay una carga neta en su interior. Pero si tenemos un campo uniforme y pensamos cualquier superficie cerrada, todas las líneas de campo que entran salen, así que su flujo es cero, pero el campo evidentemente no.

En este caso es cero el campo porque no hay cargas internas, y el campo producido en el interior por cada una de las cargas externas se anulan en todo punto, otra forma de ver esto, es que sabiendo que las líneas de campo no se pueden cruzar (el campo total, no el generado por cada una de las cargas), entonces si hay una linea de campo que entra no podría salir y no llegaría a una carga de signo opuesto, que sería su sumidero o fuente, dependiendo del signo de la densidad de carga. La situación anterior no tiene sentido físicamente.

¡Saludos!

P.D.: Por cierto, no puedes hablar de fuerza ya que no hay dicha manifestación, en este caso hay un campo. Si en un punto determinado colocamos una carga eléctrica tendremos una fuerza (nula o no), pero no puedes hablar de dicho concepto ya que éste depende de la carga que se coloque en dicho punto, y el valor del campo.

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Re: Duda en ejercicio

Me hace mucha lógica lo que escribiste, muchas gracias! se simplifica a montones con gauss. No se por que no lo pense asi desde un principio. Gracias de nuevo!

Para explicarte lo anterior:

Si, tienes razon. Faltaba multiplicar cada integral triple por la densidad cte y por K. La razón de que haya puesto tres integrales triples, es que cada integral corresponde a una coordenada, de manera que el resultado sea un vector (Ex,Ey,Ez). Las tres integrales triples son diferentes. Había pensado en utilizar la manera directa de calcular el campo vectorial:


Donde:

R1=(r*cos(teta)*sin(phi),r*sin(teta)*sin(phi),r*cos(phi))
R2=(0,0,d)

dq=(Densidad)*(r**2)*sin(phi) dteta dphi dr

Por lo que quedara una integral triple por coordenada. Lo siento, no se como escribir los símbolos como lo haces tu, ojalá entiendas.

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Re: Duda en ejercicio

Que el flujo sea cero no implica que el campo lo sea. ¿Cuándo no es cero el flujo en una superficie cerrada? Cuando hay una carga neta en su interior. Pero si tenemos un campo uniforme y pensamos cualquier superficie cerrada, todas las líneas de campo que entran salen, así que su flujo es cero, pero el campo evidentemente no.

En este caso es cero el campo porque no hay cargas internas, y el campo producido en el interior por cada una de las cargas externas se anulan en todo punto, otra forma de ver esto, es que sabiendo que las líneas de campo no se pueden cruzar (el campo total, no el generado por cada una de las cargas), entonces si hay una linea de campo que entra no podría salir y no llegaría a una carga de signo opuesto, que sería su sumidero o fuente, dependiendo del signo de la densidad de carga. La situación anterior no tiene sentido físicamente.

¡Saludos!

P.D.: Por cierto, no puedes hablar de fuerza ya que no hay dicha manifestación, en este caso hay un campo. Si en un punto determinado colocamos una carga eléctrica tendremos una fuerza (nula o no), pero no puedes hablar de dicho concepto ya que éste depende de la carga que se coloque en dicho punto, y el valor del campo.

Gracias, me quedo muy claro!

[GNzcuber]

Re: Duda en ejercicio

...
La razón de que haya puesto tres integrales triples, es que cada integral corresponde a una coordenada, de manera que el resultado sea un vector (Ex,Ey,Ez). Las tres integrales triples son diferentes.

Sabiendo que la Física del problema es independiente de las coordenadas que se utilicen, te puedes simplificar mucho usando las adecuadas. Si hay simetría esférica, pues coordenadas esféricas.

Había pensado en utilizar la manera directa de calcular el campo vectorial:

[ATTACH=CONFIG]4140[/ATTACH]

No puedo ver nada.

Lo siento, no se como escribir los símbolos como lo haces tu, ojalá entiendas.

Mirate ésto . Al principio puede parecer un palo aprenderlo, pero es gratificante, te puedes expresar bien, y si necesitas ayuda también es bueno que lo aprendas para los que intentan ayudar puedan hacerlo placenteramente y no se les vayan las ganas en el intento de descifrar fórmulas.

¡Saludos!

[Al2000]

Re: Duda en ejercicio

Se me olvido mencionar un detalle, r está entre a y b. Intenté calcular el campo eléctrico con esféricas, suponiendo que la esfera estaba en el centro y había una carga de prueba en el (0,0,d). Obviamente las integrales quedaron horribles así que no creo que vaya por ahí el camino...

A lo mejor te interesaría saber que el método de fuerza bruta que has planteado lleva a la solución correcta. Yo me entretuve un rato evaluando las integrales, lo que me llevó al resultado inesperado de descubrir que mi software no resuelve correctamente la integral.

Hay un par de aspectos que me gustaría comentarte y que tal vez te sirvan mas adelante. Una de las cosas que me gustaría compartir contigo es que al ojo se puede observar que las dos primeras integrales dan cero. ¿Al ojo?, te preguntarás y sí, si sabes donde mirar.

Fíjate que en el radicando en el denominador común a las tres integrales aparece la suma $\dst (-r \cos \theta \, \mathrm {sen} \, \phi )^2 + (r \, \mathrm {sen} \, \theta \, \mathrm {sen} \, \phi )^2$. El ojo entrenado reconoce allí la familiar identidad trigonométrica seno cuadrado mas coseno cuadrado. En efecto $\dst (-r \cos \theta \, \mathrm {sen} \, \phi )^2 + (r \, \mathrm {sen} \, \theta \, \mathrm {sen} \, \phi )^2 = r^2 \, \mathrm {sen}^2 \, \phi$. Se puede hacer una ulterior simplificación del denominador pero eso en este momento no me interesa. Lo que deseo indicarte es que $\theta$ no aparece en el denominador. Tomando eso en cuenta podrás entender por qué las dos primeras integrales son cero. La primera es la integral del coseno y la segunda la integral del seno, ambas evaluadas entre 0 y 2$\pi$.

Te queda entonces solamente la tercera integral. Déjame ponerla en limpio aquí:

$$\int_{0}^{\pi }\!\! \int_{b}^{a}\!\! \int_{0}^{2 \pi }\!\! \frac {(d - r \cos \phi ) r^2 \, \mathrm {sen} \, \phi }{\left[(r \, \mathrm {sen} \, \phi )^2 + (-r \cos \phi + d)^2 \right]^{3/2}}\,d \theta \,dr\,d \phi$$

He corregido el único error que te conseguí, que tomaste los límites de integración para $r$ al revés (culpa del que planteó el problema, que puso los radios al revés jejeje). Nota que no aparece $\theta$ en el integrando, de modo que la integración en $\theta$ es inmediata y (1) se reduce a

$$2 \pi \int_{0}^{\pi }\!\! \int_{b}^{a}\!\! \frac {(d - r \cos \phi ) r^2 \, \mathrm {sen} \, \phi }{\left[(r \, \mathrm {sen} \, \phi )^2 + (-r \cos \phi + d)^2 \right]^{3/2}}\,dr\,d \phi$$

Aquí si me interesa reducir adicionalmente el denominador. Fíjate que si desarrollas el binomio va a aparecer de nuevo la identidad trigonométrica de antes: $(r \, \mathrm {sen} \, \phi )^2 + (-r \cos \phi + d)^2 = r^2 \, \mathrm {sen}^2 \, \phi + r^2 \cos^2 \phi + d^2 - 2 r d \cos \phi = r^2 + d^2 - 2 r d \cos \phi$. Ya la integral va en esto:

$$2 \pi \int_{0}^{\pi }\!\! \int_{b}^{a}\!\! \frac {(d - r \cos \phi ) r^2 \, \mathrm {sen} \, \phi }{(r^2 + d^2 - 2 r d \cos \phi)^{3/2}}\,dr\,d \phi$$

que si bien se ve "pelúa" es menos impresionante que la original. Desafortunadamente para resolver la integral así como está planteada hay que llamar a la mamá de Tarzán; afortunadamente si se invierte el orden de integración la integral se puede resolver sin "demasiada dificultad". La idea sería resolver la integral:

$$2 \pi \int_{b}^{a}\!\! \int_{0}^{\pi }\!\! \frac {(d - r \cos \phi ) r^2 \, \mathrm {sen} \, \phi }{(r^2 + d^2 - 2 r d \cos \phi)^{3/2}}\,d \phi\,dr$$

Para resolver la integral en $\phi$ puede hacerse el cambio de variable

$$s^2 = r^2 + d^2 - 2 r d \cos \phi$$

Yo los invito a hacer los pasos intermedios, que no es cuestión de tipear todo eso aquí. También invito a cualquier interesado a buscar el texto de Alonso-Finn (tomo I) para ver la interpretación geométrica del cambio de variable. Alonso-Finn hace uso de este cambio para calcular el campo gravitacional producido por una cáscara esférica.

El asunto es que la integral en $\phi$ se convierte en esto:

$$\int_{0}^{\pi }\!\! \frac {(d - r \cos \phi ) r^2 \, \mathrm {sen} \, \phi }{(r^2 + d^2 - 2 r d \cos \phi)^{3/2}}\,d \phi = \frac r {2 d} \int_{|r-d|}^{r+d}\!\! \left(1 - \frac {r^2 - d^2}{s^2}\right)\,ds = \frac {r^2}{d^2}\left(1 - \frac {r-d}{|r-d|}\right)$$

Y la integral de esta expresión es lo que mi software hace mal. Estuve un buen rato jugando con las expresiones para llegar a esa conclusión.

Volviendo a la integral (4), la cosa se ha reducido a evaluar

$$\frac {2 \pi}{d^2} \int_{b}^{a}\!\! \left(1 - \frac {r-d}{|r-d|}\right) r^2\,dr$$

¿Y cómo evaluamos esta integral con ese valor absoluto atravesado allí? Pues vemos los casos posibles.

- Si $d < b$, el integrando es cero y el valor de la integral es cero.

- Si $d > a$, el parentesis en la integral vale 2 y la integral vale $\dst \frac {4 \pi} 3 \frac {a^3 - b^3}{d^2}$

Estos dos son los resultados que me da mi software, pero falla en el caso intermedio:

- Si $b < d < a$, entonces hay que dividir la integral en dos partes:

$$\frac {2 \pi}{d^2} \int_{b}^{a}\!\! \left(1 - \frac {r-d}{|r-d|}\right) r^2\,dr = \frac {2 \pi }{d^2}\left[\int_{b}^{d}\!\! \left(1 - \frac {r-d}{|r-d|}\right) r^2\,dr + \int_{d}^{a}\!\! \left(1 - \frac {r-d}{|r-d|}\right) r^2\,dr\right]$$

El paréntesis en la primera integral vale 2 mientras que el paréntesis en la segunda integral vale cero, y llegamos entonces a

$$\frac {2 \pi}{d^2} \int_{b}^{a}\!\! \left(1 - \frac {r-d}{|r-d|}\right) r^2\,dr = \frac {2 \pi }{d^2} \int_{b}^{d}\!\! 2 r^2\,dr = \frac {4 \pi} 3 \frac {d^3 - b^3}{d^2}$$

el cual es el resultado correcto. Bueno, restaría multiplicar por la constante eléctrica y la densidad de carga para tener los campos en cada región.

Saludos,

Al