2o ciclo Ecuación de Laplace (coordenadas esféricas)

[[Beto]]

Hola, he estado intentando resolver un ejercicio que tiene el siguiente enunciado:

Una esfera metálica de radio R dividida en dos partes por el ecuador, de manera que el hemisferio superior esta conectado a potencial V mientras que el inferior se conecta a tierra. Piden calcular el potencial electrostático en todos los puntos del espacio.

Lo que yo he hecho es lo siguiente:

Como se tiene simetría acimutal entonces la solución será de la forma:

$$\phi(r,\theta)=\sum_{\ell=0}^\infty(a_\ell r^\ell+b_\ell r^{-(\ell+1)}) P_\ell(\cos\theta)$$

Luego considerando que el potencial se debe de comportar de forma adecuada, es decir en el infinito no debe de diverger, ni hacerse cero en el interior de la esfera, propongo las siguientes soluciones:

para el interior de la esfera ($b_\ell=0$):

$$\phi_1(r,\theta)=\sum_{\ell=0}^\infty a_\ell r^\ell P_\ell(\cos\theta)$$

y para la región exterior a la esfera ($a_\ell=0$):

$$\phi_2(r,\theta)=\sum_{\ell=0}^\infty b_\ell r^{-(\ell+1)}P_\ell(\cos\theta)$$

luego considerando al potencial continuo, se tiene que para cuando $r=R$

$$a_\ell R^{\ell}=b_\ell R^{-(\ell+1)}\Rightarrow b_\ell=a_\ell R^{2\ell-1}$$

pero luego tengo problemas para encontrar la constante $a_\ell$, ¿que me sugieren hacer? ... he pensado en usar las propiedades de ortonormalidad de los polinomios de Legendre, es decir tomar en cuenta que como:

$$V=\sum_{\ell=0}^\infty a_\ell R^\ell P_\ell(\cos\theta)$$

multiplicar a ambos lados por $P_{\ell '}(\cos\theta)$ y luego integrar:

$$V\int_0^{\frac{\pi}{2}} P_{\ell '}(\cos\theta)\sin\theta\dd\theta=\sum_{n=0}^{\infty}a_\ell R^\ell\int_{0}^\pi P_{\ell }(\cos\theta)P_{\ell '}(\cos\theta)\sin\theta\dd\theta$$

considerando que la integral de la derecha es $\dst \int_{0}^\pi P_{\ell }(\cos\theta)P_{\ell '}(\cos\theta)\sin\theta\dd\theta=\frac{2}{2\ell+1}\delta_{\ell\ell'}$ se tiene que:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> V\int_0^{\frac{\pi}{2}} P_{\ell}(\cos\theta)\sin\theta\dd\theta &=a_\ell R^\ell\frac{2}{2\ell+1}\\<br /> \Rightarrow a_\ell &=\frac{(2\ell+1)V}{2R^\ell}\int_0^{\frac{\pi}{2}} P_\ell(\cos\theta) \sin\theta\dd\theta<br /> \end{aligned}<br />$$

Finalmente el potencial eléctrico en todo el espacio se podrá escribir como:

$$<br /> \phi(r,\theta)=\sum_{\ell=0}^\infty \left\{\left(\frac{(2\ell+1)V}{2R^\ell}\int_0^{\frac{\pi}{2}} P_\ell(\cos\theta) \sin\theta\dd\theta\right) r^\ell P_\ell(\cos\theta)\right\}<br />$$

$$\phi(r,\theta)=\sum_{\ell=0}^\infty \left\{\left(\frac{(2\ell+1)V}{2R^{\ell+1}}\int_0^{\frac{\pi}{2}} P_\ell(\cos\theta) \sin\theta\dd\theta\right)r^{-(\ell+1)}P_\ell(\cos\theta)\right\}$$

... ¿si está bien desarrollado? o ¿se me ha escapado algo?

[polonio]

Re: Ecuación de Laplace (coordenadas esféricas)

En la expresión (5), ¿por qué has tomado distintos límites de integración?

[[Beto]]

Re: Ecuación de Laplace (coordenadas esféricas)

En la expresión (5), ¿por qué has tomado distintos límites de integración?

Supongo que te refieres a la parte de izquierda, eso es porque el potencial estaría definido por partes, de $[0,\pi/2]$ sería V y de $[\pi/2,\pi]$ sería cero, entonces en la integral de la izquierda, que en realidad serían dos integrales, una de ellas es cero por la forma en que esta definido el potencial.

[Al2000]

Re: Ecuación de Laplace (coordenadas esféricas)

[Beto], un comentario, no entiendo eso de potencial en la región interna... como yo lo veo, estás buscando el potencial en la región externa solamente, puesto que el potencial en la región interna está definido y es precisamente la condición de contorno, es decir, V para la mitad superior y cero para la mitad inferior, para todo $r \leqslant R$. Eso te impondría tener que resolver la condición de que

$$\sum_{\ell=0}^\infty b_\ell R^{-(\ell+1)} P_\ell (\cos \theta ) = <br /> \left \{\begin{aligned}<br /> &V, & 0 \leqslant &\theta \leqslant \frac \pi 2 \\<br /> &0, & \frac \pi 2 < &\theta \leqslant \pi <br /> \end{aligned}\right .<br />$$

Saludos,

Al

[[Beto]]

Re: Ecuación de Laplace (coordenadas esféricas)

[Beto], un comentario, no entiendo eso de potencial en la región interna... como yo lo veo, estás buscando el potencial en la región externa solamente, puesto que el potencial en la región interna está definido y es precisamente la condición de contorno, es decir, V para la mitad superior y cero para la mitad inferior, para todo $r \leqslant R$. Eso te impondría tener que resolver la condición de que

$$\sum_{\ell=0}^\infty b_\ell R^{-(\ell+1)} P_\ell (\cos \theta ) = <br /> \left \{\begin{aligned}<br /> &V, & 0 \leqslant &\theta \leqslant \frac \pi 2 \\<br /> &0, & \frac \pi 2 < &\theta \leqslant \pi <br /> \end{aligned}\right .<br />$$

Saludos,

Al

No comprendo porque la condición de contorno me define el potencial en el interior de la esfera, quizás y se me esté escapando algo, yo lo entiendo como si lo que está a potencial V es solamente el casquete superior, y cero el casquete inferior ...

[Al2000]

Re: Ecuación de Laplace (coordenadas esféricas)

[Beto], en el enunciado que copiaste dice que es una esfera metálica, por consiguiente todos los puntos estarán al mismo potencial.

Saludos,

Al

[[Beto]]

Re: Ecuación de Laplace (coordenadas esféricas)

[Beto], en el enunciado que copiaste dice que es una esfera metálica, por consiguiente todos los puntos estarán al mismo potencial.

Tienes razón, se me estaba escapando que los metales son conductores ... gracias Al

[polonio]

Re: Ecuación de Laplace (coordenadas esféricas)

Lo de los límites, ya veo: no había leído lo de las dos hemiesferas, cada una a un potencial, sino toda la esfera a potencial V al ver que escribías que el potencial no puede ser nulo en el interior (¡ay!, las prisas...)

En cuanto a lo de metálica que dice Al es sólo si se supone que está en equilibrio electrostático, claro, como parece pedir el enunciado, pero las dos semiesferas deben estar aisladas una de la otra porque de lo contrario no es posible este equilibrio y habrá una corriente dentro de la esfera que, de ser ésta estacionaria y el metal homogéneo, sigue cumpliéndose la ec. de Laplace para el potencial.

Después de todo esto... ¿el problema es realmente electrostático, no? Y, ¿las hemiesferas están aisladas y no son, entonces, una sola esfera, verdad? Sobre todo lo de esfera es lo que confunde.

[[Beto]]

Re: Ecuación de Laplace (coordenadas esféricas)

Después de todo esto... ¿el problema es realmente electrostático, no? Y, ¿las hemiesferas están aisladas y no son, entonces, una sola esfera, verdad? Sobre todo lo de esfera es lo que confunde.

Si el problema es electrostático.

[polonio]

Re: Ecuación de Laplace (coordenadas esféricas)

Entonces, queda resuelto como dice el bueno de Al

[Al2000]

Re: Ecuación de Laplace (coordenadas esféricas)

[Beto], ¿terminaste de resolver el problema?

[[Beto]]

Re: Ecuación de Laplace (coordenadas esféricas)

[Beto], ¿terminaste de resolver el problema?

Si, finalmente me salió, el valor para la constate $b_\ell$ lo obtengo de la siguiente manera:

$$V\int_0^{\frac{\pi}{2}}P_{\ell'}(\cos\theta)\sin\theta\dd\theta=\sum_{\ell=0}^\infty b_\ell R^{-(\ell+1)}\int_{0}^{\pi} P_\ell (\cos \theta )P_{\ell'}(\cos\theta)\sin\theta\dd\theta$$

De donde tomando en cuenta que$\dst\int_{0}^{\pi} P_\ell (\cos \theta )P_{\ell'}(\cos\theta)\sin\theta\dd\theta=\frac{2}{2\ell+1} \delta_{\ell\ell'}$, para cuando $\ell'=\ell$ se obtiene que:

$$V\int_0^{\frac{\pi}{2}}P_{\ell'}(\cos\theta)\sin\theta\dd\theta=b_\ell R^{-(\ell+1)}\frac{2}{2\ell+1}$$

entonces $\dst b_\ell=\frac{(2\ell+1)VR^{\ell+1}}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}P_{\ell}(\cos\theta)\sin\theta\dd\theta$, por lo tanto la solución para la región exterior a la esfera será:

$$\phi(r,\theta)=\sum_{\ell=0}^\infty \left\{\left(\frac{(2\ell+1)VR^{\ell+1}}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}} P_\ell(\cos\theta) \sin\theta\dd\theta\right)r^{-(\ell+1)}P_\ell(\cos\theta)\right\}$$

lo cual me parece que ya no se puede reducir más.

[Al2000]

Re: Ecuación de Laplace (coordenadas esféricas)

Veo que terminaste con la misma integral que no conseguí reducir de manera "prolija". Bueno, yo lo llevé un poco mas lejos. Te pongo aquí lo que obtuve a modo de comparación:

$$\phi (r,\theta ) = \frac {b_0} r + \sum_{\scriptsize \begin{aligned} \ell = 1 \\ \text {impar} \end{aligned}}^\infty b_\ell\, r^{-(\ell+1)} P_\ell(cos \theta )\,,\,\,r > R$$

con

$$b_0 = \frac 1 2 R V$$

$$b_\ell = \left[\frac {2 \ell + 1}{2^{\ell + 1}} \sum_{k=0}^{\frac {\ell -1} 2} \frac {(-1)^k (2 \ell - 2 k)!}{k! (\ell -k)! (\ell -2k+1)!}\right] R^{\ell +1} V$$

Quise cambiar el índice para no tener que indicar el uso de valores impares solamente, pero me enredé todo y terminé con algo que no funcionaba. Al final lo deje así. La cosa se ve de esta forma:



Al principio me sorprendió porque de alguna manera me había hecho la falsa imagen de una especie de dipolo gordo, pero si la media esfera inferior está a potencial de tierra, entonces el problema es mas bien el de media esfera conductora a potencial V apoyada sobre una superficie plana infinita mantenida a potencial cero. Estoy convencido de que la parte de potencial distinto de cero (que es el color mas oscuro en la imagen) que se muestra en la parte inferior del dibujo es un artefacto introducido por el necesario truncamiento de la serie infinita.

Saludos,

Al

[[Beto]]

Re: Ecuación de Laplace (coordenadas esféricas)

Hola, ¿Cómo lograste que no apareciera la integral? ... ¿es alguna propiedad de los polinomios de Legendre que no recuerdo? y para considerar que solamente toma a los $\ell$ impares, ¿qué criterio tomaste?

[Al2000]

Re: Ecuación de Laplace (coordenadas esféricas)

Ningún misterio, sólo integré directamente el polinomio. Te respondo en concreto. Los polinomios de Legendre se pueden representar mediante la serie

$$P_\ell (x) = \sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac n 2 \right \rfloor} \frac {(-1)^k (2\ell-2k)!}{2^\ell k! (\ell-k)! (\ell-2k)!} x^{\ell-2k}$$

que es el polinomio que usé para resolver la integral. Aclaratoria:

$$\left \lfloor \frac n 2 \right \rfloor = \mathrm {floor} \left(\frac n 2\right) = <br /> \left \{\begin{aligned}<br /> &\frac n 2, & &n\,\, \text {par} \\<br /> &\frac {n-1} 2, & &n\,\, \text {impar} <br /> \end{aligned}\right .<br />$$

Respecto a la pregunta de por qué sólo los valores impares, pues bueno, no es muy difícil demostrar que

$$\int_{0}^{\pi /2}\!\! P_\ell (\cos \theta ) \, \mathrm {sen} \, \theta \, d \theta = 0\,\, \forall \,\,\ell \, \text {par}$$

La puedes escribir como $\dst \int_{0}^{1}\!\! P_\ell (x)\,dx$ y basarte en que la paridad de los polinomios de Legendre es la misma del índice y en que $\dst \int_{-1}^{1}\!\! P_\ell (x)\,dx = 0$ para todo $\ell > 0$.

Saludos,

Al