Ecuación de Laplace (coordenadas esféricas)

[[Beto]]

Re: Ecuación de Laplace (coordenadas esféricas)

Gracias, no se me habia ocurrido usar la formula de recurrencia. En la grafica que realizaste ¿que representa el color verde de la parte de abajo? ¿No deberia ser constante el potencial en era región?

[Al2000]

Re: Ecuación de Laplace (coordenadas esféricas)

Se trata de un error que introduje al cambiar de coordenadas para hacer el gráfico. Como el computador me daba overflow si intentaba calcular la ecuación con $\ell$ poco mayor de 40, atribuí el efecto a errores computacionales.

Pero resulta que le pedí al computador que simplificara la suma de los $b_\ell$ y obtuve lo siguiente:

$$\frac {2 \ell + 1}{2^{\ell + 1}} \sum_{k=0}^{\frac {\ell -1} 2} \frac {(-1)^k (2 \ell - 2 k)!}{k! (\ell -k)! (\ell -2k+1)!} \quad \text {simplifica a} \quad - (-1)^{\frac {\ell +1} 2} 4^{- \frac \ell 2} \frac {2 \ell + 1}{\ell +1} \frac {\Gamma (\ell )}{\Gamma \left(\frac {\ell +1} 2\right)^2}$$

(pa' que se entretengan los chicos que les gusta la matemática).

Al usar la expresión simplificada pude elevar el valor máximo de $\ell$ hasta cerca de 200 sin obtener overflow.

Bueno, la versión corregida usando un $\ell$ máximo de 100 es la siguiente:



Como puedes ver mi idea de que el problema es equivalente a una media esfera apoyada en un plano se fue por el desagüe

Saludos,

Al

[polonio]

Re: Ecuación de Laplace (coordenadas esféricas)

Esta última figura sí que cuadra con el problema. Lo del plano enfrentado no tiene lógica, pues la hemiesfera inferior tiene las mismas dimensiones que la superior y no se pueden despreciar los efectos de borde (es decir, no se puede considerar infinita en comparación con la superior). Por otra parte, puedes ver que el campo (normal a las superficies equipotenciales) es normal a las superficies de ambas hemiesferas al ser conductoras en equilibrio.

[natanael]

Re: Ecuación de Laplace (coordenadas esféricas)

Bueno y es que nadie vá a preguntar, ya me ostiné , Al, como rayos hiciste para hacer las gráficas?, si es un programa puedieras indicarnos la función o el comando?, disculpa lo imperativo que pueda parecer, pero la curiosidad me está matando .

Realmente no entiendo "ni papa" de lo que están hablando, pero que bueno que existe esta web, porque dudo mucho que en los cursos de física-eléctrica de mi universidad se llegue a este nivel matemático en cuanto a calcular potenciales electrostáticos.

Saludos.

[Al2000]

Re: Ecuación de Laplace (coordenadas esféricas)

La gráfica fue hecha con MathCad. Es una de las gráficas mas sencillas de hacer, lo único que necesitas es proveer una función de dos variables y configurar la gráfica como una gráfica de curvas de nivel.

Saludos,

Al