1r ciclo 11.7 Berkeley purcell. Momento magnético de una esfera que gira.

[lindtaylor]

Una esfera de radio $R$ tiene una carga $Q$ distribuida uniformemente sobre la esfera, con una densidad $\sigma=Q/(4\pi R^2)$. Esta carga superficial gira sobre un eje de la esfera con velocidad angular $w$ radianes/seg. Hallar el momento magnético.

Buenas, pondré lo que hice en una prueba para ver por qué saqué tan baja nota. (esperaba mucho más) siendo que llego a el mismo resultado del libro berkeley , me base en el procedimiento para dos tubos concéntricos, los cuales giraban con velocidad angular $w$ también, y lo adapte para una esfera.

Sol:

$\sigma=Q/(4\pi R^2)<br />$

un elemento $dq$ de la esfera es:

$dq=\sigma ds<br /> =\sigma R^2sin\theta d\theta d\phi$

la corriente debido a este dq cumple que
$\mathrm d{I}=dq w$ (acá según el problema análogo a los tubos, está dividido por $2\pi$, pero si no lo divido por este último llego al resultado exacto del berkeley)

un elemento de momento magnético se puede tomar como:

$\mathrm d{m}= dI A/c$, con $A$ el área encerrada por el giro que hace dq.

donde $A=\pi r^2$, $r$: radio del giro de $dq$, además $r=Rsin\theta$

Así tengo que (saltando pasos):

$\displaystyle dm=\frac {\sigma R^4 w}{c}sin(\theta)^3d\theta d\phi<br />$ y aquí integro sobre $\theta$ entre y $\pi$, y para $\phi$ entre y $2\pi$ para llegar a: (en la prueba dejé el problema hasta acá, sin resolver la integral del seno al cubo ya que no alcanzé o no se me ocurrió)

$\therefore$ $\displaystyle m=-\frac {Q wR^2}{3c}$ aunque a mi me da negativo el resultado si .

qué hago mal?

Desde ya gracias.

[Jose D. Escobedo]

Re: 11.7 Berkeley purcell. Momento magnético de una esfera que gira.

Hola,

Tal vez se deve a que el momemto magético tiene caracter vectorial y no haces mención de ello.
Para una distribución arbitraria en el espacio de una corriente, el momento magnetico viene dado por:

$\dst \vec{m}= \frac{1}{2} \int \vec{r} \times \vec{J} d^3x$ (puedes verlo en la wikipedia en ingles, también lo ví en mi libro de electromagnetismo)

Saludos
Jose

[Al2000]

Re: 11.7 Berkeley purcell. Momento magnético de una esfera que gira.

...qué hago mal? ...

Yo veo tres errores:

- El elemento de corriente es $dI =\dst \frac \omega {2 \pi } \,dq$ (en lugar de $dI = \omega\,dq$)

- El momento elemental es $\dst \frac {\sigma \omega R^4} {2 c} \, \mathrm {sen}^3 \, \theta \,d \theta \,d \phi = \frac {\omega Q R^2} {8 \pi c} \, \mathrm {sen}^3 \, \theta \,d \theta \,d \phi$ (tu omitiste el 2 en el denominador)

- La integral del elemento anterior da $\dst \frac {\omega Q R^2}{3 c}$ (positivo)

Por supuesto no hay ninguna mención al carácter vectorial del momento, aunque yo creo que el cálculo es correcto si se acompaña con la mención de la dirección y sentido del momento resultante, puesto que todas las corrientes elementales circulan en el mismo plano, los vectores $d \boldsymbol m$ son todos paralelos y eso permite trabajar en forma escalar.

Saludos,

Al