Otras carreras Problema con esferas

[Tokoro]

Hola a todos.

El caso es que me han mandado una lista de varios ejercicios, y hay dos de ellos que se me resisten.

Este es uno de ellos:

Una esfera de radio R, centrada en el origen de coordenadas O, esta cargada homogeneamente con una densidad volumica de carga , salvo una región tambien esferica de radio R/2, cuyo centro A dista R/2 del origen O, en la que no hay carga alguna.
a) Obtenga el campo electrico $\vec{E}$ y el potencial V , tomando V ($\infty$) = 0, en un punto B situado en la recta que pasa por O y A, a distancia R/2 de A.
b) Obtenga el campo $\vec{E}$ en funcion de la distancia r al origen para los puntos del segmento OB y el potencial en el origen V (0).
c) ¿ Es cierto que $\vec{E}$ es constante en toda la region esferica descargada?

Llevo toda la tarde intentándolo hacer, pero los resultados que obtengo llego a la conclusión de que son erróneos. No sé como hacer este ejercicio. ¿Podría ayudarme alguien? Muchas gracias por adelantado.

[Al2000]

Re: Problema con esferas

Usa el principio de superposición. El campo de la esfera con un hueco es igual al campo de la esfera sin el hueco menos el campo que produce la carga que quitamos al hacer el hueco. Lo mismo aplica al cálculo del potencial.

Hay una ambigüedad en la posición del punto B en el inciso a). Como en el inciso b) se habla del segmento OB, asumo que el punto B está en la superfice de la esfera. Siendo así, todos los puntos del segmento OB son interiores tanto a la esfera como al hueco, y puedes usar la fórmula del campo para puntos interiores de una esfera maciza con densidad de carga constante (previa deducción, si fuese el caso): $\dst \boldsymbol E = \frac \rho {3 \epsilon_0} \boldsymbol r$.

No es difícil demostrar, trabajando vectorialmente, que el campo en cada punto en el interior del hueco es constante. Si llamas $\boldsymbol r$ al vector de posición de un punto P cualquiera en el interior del hueco respecto del centro de la esfera y $\boldsymbol r'$ al vector de posición respecto al centro del hueco, entonces el campo en P será: $\dst \boldsymbol E_P = \boldsymbol E_\text {esfera} - \boldsymbol E_\text {hueco} = \frac \rho {3 \epsilon_0} \boldsymbol r - \frac \rho {3 \epsilon_0} \boldsymbol r' = \frac \rho {3 \epsilon_0} (\boldsymbol r - \boldsymbol r') = \frac \rho {3 \epsilon_0} \boldsymbol r_\text {centro del hueco} = \mathrm {ctte}$.

Saludos,

Al

[Tokoro]

Re: Problema con esferas

Muchísimas gracias! Por fin pude resolver el problema!!