1r ciclo Duda Corriente alterna - numeros complejos

[Coilman]

Hola buenas, estoy estudiando física y he llegado al tema de corriente alterna. Pues bien, tengo que hacer un problema y estoy algo perdido respecto a la teoría y no entiendo la solución que da el problema. Espero que alguien pueda orientarme.
Os adjunto el problema resuelto por mi, solo le falta la explicación que es donde tengo problemas. Muchísimas gracias.

El enunciado es:

En la asociación en serie de una bobina de 10 mH y un condensador de 12,5 F circula un corriente de valor eficaz 0,5 A. Sabiendo que la tensión eficaz que se mide en el condensador es de 10 V, encontrar la frecuencia de trabajo f (Hz) así como la tensión eficaz en la bobina y entre los extremos de la asociación completa. Comprobar
que la tensión eficaz total no es la suma de las tensiones eficaces de los dos elementos y explicar por qué.

Sol.: Vc,ef = Ief/wC, despejando w = 4000 rad/s y f = 636,62 Hz ; Vl,ef = w*L*Ief = 20V ; Vef = |Z|Ief = |XL - Xc|Ief. = |40 - 20|0,5 = 10 V . 10V es distinto 10 + 20 V. Dado que las tensiones instantáneas en los dos elementos no están en
fase, la amplitud de la tensión suma (tensión total) no será la suma de las amplitudes de las tensiones en los elementos. Igual ocurre con los valores eficaces, que son proporcionales a las amplitudes de las señales.

Ejercicio resuelto, salvo explicación:
http://www.mediafire.com/?aqam33bbmvpuzxo

[arivasm]

Re: Duda Corriente alterna - numeros complejos

El desfase entre las dos tensiones es de medio ciclo. Por tanto, la amplitud de la tensión suma de ambos elementos (que será la del generador) es la resta de las amplitudes y, por supuesto, lo mismo sucede con los valores eficaces: 10 V (generador) = 20 V (autoinducción) - 10 V (condensador). Debo decir que no he visto el archivo que adjuntas por razones de seguridad relacionadas con mediafire.

[Coilman]

Re: Duda Corriente alterna - numeros complejos

El desfase entre las dos tensiones es de medio ciclo. Por tanto, la amplitud de la tensión suma de ambos elementos (que será la del generador) es la resta de las amplitudes y, por supuesto, lo mismo sucede con los valores eficaces: 10 V (generador) = 20 V (autoinducción) - 10 V (condensador). Debo decir que no he visto el archivo que adjuntas por razones de seguridad relacionadas con mediafire.

Es lo del desfase lo que no entiendo, si me lo pudieras aclarar, porque estoy hecho un lío.
PD: No tengas problemas por abrir el archivo de mediafire, esta libre de virus, es tan solo el pdf con el ejercicio resuelto.

[arivasm]

Re: Duda Corriente alterna - numeros complejos

En un condensador la tensión entre sus bornes se relaciona con la carga que almacenan sus placas a través de la capacidad, $v_c(t) = Q(t)/C$. Como la carga se relaciona con la intensidad a través de $Q(t)=\int I(t) \dd t$, $v_c(t)=1/C \int I(t) \dd t$. Si la intensidad varía armónicamente, $I(t)=I_m \sin(\omega t)$ al aplicar lo anterior tenemos que $v_c(t)=-1/(C\omega)\cos(\omega t)$. Aunque podríamos transformar esta expresión en senos, para la explicación simplemente nos basta con representar gráficamente ambas funciones frente al tiempo (las imágenes siguientes las he tomado de aquí):

En azul está dibujada la intensidad y en rojo la tensión. Como puedes ver, la curva roja está atrasada un cuarto de ciclo respecto de la azul. Es decir, si en cierto instante la azul pasa por su máximo, por ejemplo, la roja lo hace un cuarto de ciclo más tarde.

En la autoinducción la ecuación que determina la relación entre intensidad y voltaje es la ley de Faraday, que tomará la forma, al introducir el coeficiente de autoinducción, $v_L= L \dd I / \dd t$. Haciendo como antes, también nos encontramos que si la intesidad varía senoidalmente, la tensión lo hace cosenoidalmente, pero ahora con el desfase justo al revés: la tensión va adelantada un cuarto de ciclo respecto de la intensidad.

Como en tu caso la intensidad es en cada instante la misma en ambos elementos (pues están en serie), es decir, la curva azul deberá ser la misma en el condensador y en la autoinducción, el resultado es que si superpones las dos figuras (haciendo coincidir la azul) las curvas de la tensión $v_c$ y $v_L$ estarán desfasadas entre ellas en medio ciclo, esto es, una estará "patas arriba" con respecto de la otra (algo parecido a las ondas y la interferencia destructiva) y de ahí que se resten las amplitudes en la tensión suma de ambas, que es la total que soporta en cada instante la asociación.

[Al2000]

Re: Duda Corriente alterna - numeros complejos

Es lo del desfase lo que no entiendo, si me lo pudieras aclarar, porque estoy hecho un lío...

Apartando la estupenda explicación de arivasm que, como decimos por aquí, no tiene desperdicio, tal vez te resulte interesante leer el hilo ¿Trabajando con valores eficaces se cumple la ley de Kirchhoff de las tensiones?.

Saludos,

Al

[Coilman]

Re: Duda Corriente alterna - numeros complejos

Muchas gracias por la explicación y las gráficas de arriba, me serán muy útiles en la exposición del problema. Ahora bien, no entiendo el hecho de que la haya que restar las tensiones para calcular la tensión total cuando éstas están desfasadas.

[arivasm]

Re: Duda Corriente alterna - numeros complejos

No restas las tensiones, sino que las sumas. Lo que sucede es que al hacerlo el resultado tiene una amplitud que es la resta de las amplitudes. Por ejemplo, en la imagen siguiente

las curvas roja y azul claro tienen un desfase de medio ciclo. Al sumarlas el resultado tendrá por amplitud la resta de las amplitudes (debo aclarar que he tomado la imagen de un sitio dedicado a sonido, no a corriente alterna, y lo he hecho sólo para ilustrar tu pregunta; por tanto no le hagas caso a la curva de color azul oscuro).

[Coilman]

Re: Duda Corriente alterna - numeros complejos

No restas las tensiones, sino que las sumas. Lo que sucede es que al hacerlo el resultado tiene una amplitud que es la resta de las amplitudes. Por ejemplo, en la imagen siguiente

[ATTACH=CONFIG]4636[/ATTACH]

las curvas roja y azul claro tienen un desfase de medio ciclo. Al sumarlas el resultado tendrá por amplitud la resta de las amplitudes (debo aclarar que he tomado la imagen de un sitio dedicado a sonido, no a corriente alterna, y lo he hecho sólo para ilustrar tu pregunta; por tanto no le hagas caso a la curva de color azul oscuro).

Pero lo que tengo son tensiones, como se explica que la tensión total es la suma del resto de tensiones pero en este caso hay que restar. No termino de verlo claro.

Editado:
Ya veo porqué se restan, pero tengo otra duda. Cuando ves que la suma de las tensiones no es la tensión total, ¿como sabes automáticamente que las tensiones están desfasadas, y encima sabes que están medio ciclo desfasadas? eso me tiene loco.

[nature]

Re: Duda Corriente alterna - numeros complejos

La suma de tensiones siempre es la tension total (ley de tensiones de kirchoff). No debes tomar las respuestas que te dan los compañeros del foro como leyes o axiomas que aplican a cualquier caso general, aqui se esta discutiendo el caso particular en que el desfase es de medio ciclo y al sumar las tensiones por ley de mallas terminas restándo, es como cuando sumas -5+3=-2, es una suma, pero terminas restando cierto?

Cada componente del circuito te arrojará un desfase $\phi$ que puede tomar cualquier valor real. Trata de usar programas de simulación para entender mejor, haz las graficas del sin(x), sin(x+pi), sin(x+lo que quieras) y luego sumalas, restalas, etc.

PD: otra recomendación es que aprendas a usar $\mathbf{L\!\!^{{}_{\scriptstyle A}} \!\!\!\!\!\;\; T\!_{\displaystyle E} \! X}$ para expresar mejor tus ecuaciones en futuros post's.

[arivasm]

Re: Duda Corriente alterna - numeros complejos

Cuando ves que la suma de las tensiones no es la tensión total, ¿como sabes automáticamente que las tensiones están desfasadas, y encima sabes que están medio ciclo desfasadas? eso me tiene loco.

La respuesta es especialmente sencilla en los desfases 0 y de medio ciclo: si el desfase es cero (las dos funciones coinciden punto a punto -me refiero a que coinciden prescindiendo de su amplitud, es decir, los ceros de una se producen a la vez que los de la otra, los máximos de una a la vez que los de la otra, etc-) la amplitud de la suma es la suma de las amplitudes.

Si el desfase es de medio ciclo entonces, como te conté antes, la amplitud de la suma es la resta de las amplitudes.

¿Cómo hacer en los demás casos?. Lo más simple es recurrir a representar las funciones armónicas mediante fasores. Es decir, mediante vectores, de tal manera que el ángulo entre ambos sea el desfase: si éste es 0 sumamos dos vectores de la misma dirección y sentido y el módulo (amplitud) de la suma es la suma de los módulos (amplitudes); si es de 180º el módulo de la suma es la resta de los módulos. Para los demás casos tendré un problema geométrico. Por ejemplo, también es sencillo si el desfase es de un cuarto de ciclo (90º): aplicando el teorema de Pitágoras tienes que el módulo (insisto, amplitud en corriente alterna) de la suma será la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los módulos (amplitudes).

Debo aclarar que todo lo que estoy diciendo para amplitudes es también aplicable a los valores eficaces puesto que el paso de unos a otros será a través de un factor $\sqrt{2}$. Así por ejemplo, antes podría haber dicho "si el desfase es de un cuarto de ciclo (90º), aplicando el teorema de Pitágoras tienes que el valor eficaz de la suma será la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los valores eficaces".

[Coilman]

Re: Duda Corriente alterna - numeros complejos

La respuesta es especialmente sencilla en los desfases 0 y de medio ciclo: si el desfase es cero (las dos funciones coinciden punto a punto -me refiero a que coinciden prescindiendo de su amplitud, es decir, los ceros de una se producen a la vez que los de la otra, los máximos de una a la vez que los de la otra, etc-) la amplitud de la suma es la suma de las amplitudes.

Si el desfase es de medio ciclo entonces, como te conté antes, la amplitud de la suma es la resta de las amplitudes.

¿Cómo hacer en los demás casos?. Lo más simple es recurrir a representar las funciones armónicas mediante fasores. Es decir, mediante vectores, de tal manera que el ángulo entre ambos sea el desfase: si éste es 0 sumamos dos vectores de la misma dirección y sentido y el módulo (amplitud) de la suma es la suma de los módulos (amplitudes); si es de 180º el módulo de la suma es la resta de los módulos. Para los demás casos tendré un problema geométrico. Por ejemplo, también es sencillo si el desfase es de un cuarto de ciclo (90º): aplicando el teorema de Pitágoras tienes que el módulo (insisto, amplitud en corriente alterna) de la suma será la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los módulos (amplitudes).

Debo aclarar que todo lo que estoy diciendo para amplitudes es también aplicable a los valores eficaces puesto que el paso de unos a otros será a través de un factor $\sqrt{2}$. Así por ejemplo, antes podría haber dicho "si el desfase es de un cuarto de ciclo (90º), aplicando el teorema de Pitágoras tienes que el valor eficaz de la suma será la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los valores eficaces".

De acuerdo en la explicación, pero viendo los resultados que salen en el problema, ¿como sabes si el desfase es de 0º, de 180º o distinto a estos?
Cuando presente el problema y llegue a la suma de las tensiones, tendré que explicar porqué no se cumple. Entonces, no se como de esa suma de tensiones ves cuanto desfase tienen. Está claro que si la suma no da la tensión total, el desfase es distinto a 0º, pero insisto que necesito saber cómo averiguas el desfase para pintar la gráfica y explicar medianamente lo que me acabas de explicar de la fase.
Y otra cosa que no entiendo demasiado bien es, si estamos en el caso de medio ciclo (180º), la amplitud total de onda es la resta de las amplitudes de las tensiones, pero que tiene que ver que la amplitud total sea la resta, y para calcular esa tensión total reste las otras tensiones. Muchísimas gracias.

[arivasm]

Re: Duda Corriente alterna - numeros complejos

viendo los resultados que salen en el problema, ¿como sabes si el desfase es de 0º, de 180º o distinto a estos?

Pongamos varios ejemplos: tenemos dos elementos en serie, entre los bornes del primero un voltímetro marca 15 V, entre los del segundo marca 6 V; entre los bornes de la asociación marca 9 V. El desfase entre las tensiones en ambos elementos es necesariamente 180º, pues la amplitud de la suma es la resta de las amplitudes: 9 V = 15 V - 6 V.

Otro diferente: en el primer elemento el voltímetro marca 4 V, en el segundo marca 7 V, para toda la asociación marca 11 V. El desfase es 0, pues la amplitud de la suma es la suma de las amplitudes.

Otro. En el primer elemento marca 6 V, en el segundo marca 8 V, en la asociación marca 10 V. Está claro que el desfase ni es 0 (debería marcar 14 V para la asociación), ni 180º (marcaría 2 V para la asociación). ¿Cuánto es entonces el desfase?. Es un problema de triángulos: un lado mide 6 V, el otro mide 8 V (y queremos conocer el ángulo que forman), el que está frente al ángulo, que será 180º menos el que quieres calcular, mide 10 V [si no entiendes esto haz un dibujo, si no lo ves, dímelo y subo uno -ahora no tengo tiempo!-]. Podemos usar el teorema del coseno: $10^2 = 6^2 + 8^2 + 6 * 8 * \cos (180-\phi)$, luego $\phi=$90º.

Y otra cosa que no entiendo demasiado bien es, si estamos en el caso de medio ciclo (180º), la amplitud total de onda es la resta de las amplitudes de las tensiones, pero que tiene que ver que la amplitud total sea la resta, y para calcular esa tensión total reste las otras tensiones.

Acudo de nuevo a un dibujo anterior:

Si sumas la curva azul "grande", y la amplitud de ésta es por ejemplo 18 V, con la roja, y la amplitud de ésta es de 11 V, el resultado será como la curva azul "pequeña": la amplitud de ésta última serán 7 V. Basta con que te fijes en las "barrigas" de las gráficas.

[Coilman]

Re: Duda Corriente alterna - numeros complejos

Pongamos varios ejemplos: tenemos dos elementos en serie, entre los bornes del primero un voltímetro marca 15 V, entre los del segundo marca 6 V; entre los bornes de la asociación marca 9 V. El desfase entre las tensiones en ambos elementos es necesariamente 180º, pues la amplitud de la suma es la resta de las amplitudes: 9 V = 15 V - 6 V.

Otro diferente: en el primer elemento el voltímetro marca 4 V, en el segundo marca 7 V, para toda la asociación marca 11 V. El desfase es 0, pues la amplitud de la suma es la suma de las amplitudes.

Otro. En el primer elemento marca 6 V, en el segundo marca 8 V, en la asociación marca 10 V. Está claro que el desfase ni es 0 (debería marcar 14 V para la asociación), ni 180º (marcaría 2 V para la asociación). ¿Cuánto es entonces el desfase?. Es un problema de triángulos: un lado mide 6 V, el otro mide 8 V (y queremos conocer el ángulo que forman), el que está frente al ángulo, que será 180º menos el que quieres calcular, mide 10 V [si no entiendes esto haz un dibujo, si no lo ves, dímelo y subo uno -ahora no tengo tiempo!-]. Podemos usar el teorema del coseno: $10^2 = 6^2 + 8^2 + 6 * 8 * \cos (180-\phi)$, luego $\phi=$90º.



Acudo de nuevo a un dibujo anterior:

[ATTACH=CONFIG]4647[/ATTACH]

Si sumas la curva azul "grande", y la amplitud de ésta es por ejemplo 18 V, con la roja, y la amplitud de ésta es de 11 V, el resultado será como la curva azul "pequeña": la amplitud de ésta última serán 7 V. Basta con que te fijes en las "barrigas" de las gráficas.

Muchas gracias, me fui muy útil tu explicación. Me he dado cuenta que necesito saber mas acerca de los números complejos en corriente alterna. Si pudieras facilitarme algún enlace donde estudiarlo me harías un gran favor. Gracias de nuevo.

[mrphysics]

Re: Duda Corriente alterna - numeros complejos

Pongamos varios ejemplos: tenemos dos elementos en serie, entre los bornes del primero un voltímetro marca 15 V, entre los del segundo marca 6 V; entre los bornes de la asociación marca 9 V. El desfase entre las tensiones en ambos elementos es necesariamente 180º, pues la amplitud de la suma es la resta de las amplitudes: 9 V = 15 V - 6 V.

Otro diferente: en el primer elemento el voltímetro marca 4 V, en el segundo marca 7 V, para toda la asociación marca 11 V. El desfase es 0, pues la amplitud de la suma es la suma de las amplitudes.

Otro. En el primer elemento marca 6 V, en el segundo marca 8 V, en la asociación marca 10 V. Está claro que el desfase ni es 0 (debería marcar 14 V para la asociación), ni 180º (marcaría 2 V para la asociación). ¿Cuánto es entonces el desfase?. Es un problema de triángulos: un lado mide 6 V, el otro mide 8 V (y queremos conocer el ángulo que forman), el que está frente al ángulo, que será 180º menos el que quieres calcular, mide 10 V [si no entiendes esto haz un dibujo, si no lo ves, dímelo y subo uno -ahora no tengo tiempo!-]. Podemos usar el teorema del coseno: $10^2 = 6^2 + 8^2 + 6 * 8 * \cos (180-\phi)$, luego $\phi=$90º.

Hola, yo no lo veo, podrias explicarmelo.

Muchas gracias.

[arivasm]

Re: Duda Corriente alterna - numeros complejos

La forma más sencilla es pensando en la representación vectorial (fasores) de las tensiones. El voltaje entre los bornes de la asociación es $\hat v = \hat v_1 + \hat v_2$. La situación será semejante a la que se puede ver en esta figura (no la cargo, porque es demasiado grande -debo decir que la he tomado de aquí-).

Como la posición relativa entre los fasores es siempre la misma, consideremos la siguiente situación:

Así pues, conocemos los valores eficaces de $v_1$, $v_2$ y $v$, que son proporcionales a las longitudes de las flechas, y queremos determinar el desfase $\theta$. Si te fijas en el triángulo formado por las flechas de colores negro, verde y rojo tienes un triángulo, en el que el ángulo que está enfrente del lado rojo es $180-\theta$. Por eso, al aplicar el teorema del coseno tenemos que $v^2=v_1^2+v_2^2-2v_1 v_2 \cos(180-\theta)$. Por cierto, que si tenemos en cuenta que $\cos(180-\theta)=-\cos\theta$, la expresión anterior equivale a $v^2=v_1^2+v_2^2+2v_1 v_2 \cos\theta$.

Por supuesto, podríamos recurrir a otras formas para demostrar lo anterior, como por ejemplo emplear el cuadrado (producto escalar por sí mismo) del vector $\vec v_1 + \vec v_2$ pero, como es lógico, el resultado será exactamente el mismo que acabo de señalar.