Otras carreras energia de esfera

[LauraLopez]

Calcule la energia electrostatica almacenada en una distribucion esferica de densidad constante de radio R ( Considere que va "armando" la distribucion agregando capas infinitesimales con carga $\dst dq= 4\pi r^2 \rho dr$

Supongo que al resultado que tengo que llegar es $U = \frac{1}{ 2}Q V$

$\dst U = \int_0^R dq V = \int_0^R 4 \pi \rho r^2 \frac{1}{4 \pi \varepsilon } \frac{Q}{r } dr$

mmmmm me parece que no es asi no? porque asi no llegue a ese resultado

[Al2000]

Re: energia de esfera

Vas bien. Pon en la integral que la carga de la esfera es $\dst Q = \frac {4 \pi } 3 \rho r^3$ y resuelve la integral. El resultado es $\dst U = \frac {4 \pi \rho ^2 R^5}{15 \epsilon_0}$.

Saludos,

Al

[LauraLopez]

Re: energia de esfera

a eso mismo que decis es a lo que llego....pero no deberia llegar a $\dst U = \frac{1}{2 }Q V$ o a lo sumo $\dst U = \frac{Q^2}{8 \pi \varepsilon R}$

[Al2000]

Re: energia de esfera

La energía de una carga en un punto donde exista un potencial V es U = Q V. La expresión U = (1/2) Q V se obtiene cuando se mueve gradualmente una carga Q a través de un potencial variable que aumenta proporcionalmente a la cantidad de carga presente, como ocurre cuando se está cargando un conductor. Gráficamente viene a representar el área bajo una curva Q vs V en donde existe una relación de proporcionalidad entre Q y V. Eso no es ni mucho menos el caso general y ciertamente no es el caso aquí.

Saludos,

Al

[LauraLopez]

Re: energia de esfera

...pero por ejemplo hace un tiempo hice un ejercicio que decia " Una esfera cuyo radio es 0.2 m se carga a un potencial de 30000 V ¿Cual es la energia almacenada? y para aca si use la formula esa que digo....

En el ejercicio de ahora tambien se trata de una esfera de radio R .....porque en el otro es valida? y aca no?

[Al2000]

Re: energia de esfera

La razón te la dí en ese mismo hilo, aunque me parece que no le pusiste mucha atención. En ese caso se trata de una esfera conductora en donde el potencial es el mismo en todos los puntos de la esfera y casualmente es proporcional a la carga de la esfera.

Saludos,

Al

[LauraLopez]

Re: energia de esfera

ahora si lo entendi

el siguiente ejercicio dice : Resuelva el problema anterior integrando la densidad de energia contenida en el campo electrico....

aca a que se refiere? cual es la densidad de energia contenida en el campo electrico?

[Al2000]

Re: energia de esfera

La energía de una distribución de cargas se puede considerar que está "contenida" en el campo eléctrico que produce. Puede demostrarse que la densidad de energía de un campo eléctrico en el vacío vale

$$u_E = \frac 1 2 \epsilon_0 E^2.$$

Para hacer lo que te piden, debes conocer primero el campo que produce la carga en todos los puntos del espacio (interiores y exteriores) y calcular entonces la integral de $u_E$ extendida a todo el espacio. Te planteo las integrales en forma simbólica y tu completa los pasos:

$$U = \int_\text {todo el espacio} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!u_E\,dv = \frac 1 2 \epsilon_0 \int_{0}^{R}\!\! E_\text {interior}^2\,(4 \pi r^2\,dr) + \frac 1 2 \epsilon_0 \int_{R}^{\infty }\!\! E_\text {exterior}^2\,(4 \pi r^2\,dr)$$

donde estoy usando un diferencial de volumen en forma de cáscara esférica de radio $r$ y espesor $dr$, que es lo mas sencillo en este caso dada la simetría esférica del problema.

Bueno, ya sabes cuánto te tiene que dar. Saludos,

Al

[LauraLopez]

Re: energia de esfera

el campo interior y exterior es el mismo y da $\dst E = \frac{\rho}{3\varepsilon } r$ la segunda integral si la valuo en infinito dara infinito....

[Al2000]

Re: energia de esfera

Estás equivocada, el campo en el exterior es similar al de una carga puntual, $\dst E = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac Q {r^2} = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {\frac {4 \pi } 3 R^3 \rho}{r^2} = \frac {\rho R^3}{3 \epsilon_0 r^2}$.

Saludos,

Al

[LauraLopez]

Re: energia de esfera

claro me pasa por hacerlo a las apuradas, ya me dio bien el ejercicio gracias Al!