1r ciclo Flujo magnético a través de una espira

[Carlos21]

El ejercicio es el siguiente:
Un disco de radio R y espesor e (e$\ll$R) tiene una carga Q uniformemente distribuida y gira alrededor de su eje con una velocidad angular ω. Calcule: a) el campo magnético en el centro del disco; b) el momento magnético del disco; c) utilizando este último dato, el flujo magnético a través de una espira coaxial con el disco, de radio igual a 10R, siendo la distancia entre los centros de la espira y el disco 20R.

El dibujo:

Tanto el apartado a), como el b) los tengo resueltos. Mi problema viene con el apartado c), he intentado varias cosas pero no me convence ninguna de ellas.

• La primera que he intentado ha sido calcular el potencial vectorial del campo para la espira a partir de la corriente I para luego calcular la integral de línea sobre la espira coaxial:

$A = \frac{\mu_0}{4\pi} \oint \frac{dI dr}{l}$, siendo $l = \sqrt{(20R)^2 + (10R - r)^2}$ y $dI = \omega \sigma r dr$

Y ya sería resolver la integral, pero tengo la sensación de que no puedo hacerla así como la planteo, puesto que aparecería un dr · dr. ¿O podría poner la corriente como $I = \omega \sigma r^2$ y ya integrar por dr?

• La segunda forma sería usar el momento magnético del disco, calculado ya antes por b) y que da $m = \frac{Q \omega R^2}{4}$ en la ecuación: $\vec{A} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{\vec{m} x \vec{r}}{r^3}$

Y aquí no sé exactamente qué hacer con ese producto vectorial, ya que para hallar A debería hallar las aportaciones de las infinitas espiras que forman el disco y encima el momento magnético que tengo es una constante.

Un saludo y gracias.

[Carlos21]

Re: Flujo magnético a través de una espira

Al final lo he sacado y por si alguien tenía curiosidad aquí lo dejo:

Había que utilizar el momento dipolar magnético m y usar la fórmula del potencial escalar magnético A de la siguiente forma:

$\vec{A} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{\vec{m} x \vec{r}}{r^3} \xrightarrow{} A = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{m r sen \theta}{r^3} \xrightarrow{} A = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{m sen \theta}{r^2}$

Siendo $\theta = arctg \left(\frac{10R}{20R} \right) = arctg \left(\frac{1}{2} \right)$

Entonces:
$\phi = \oint{A dl} = \oint \frac{\mu_0 m sen\theta}{4 \pi l^2} dl = \frac{\mu_0 m sen\theta}{4 \pi \left(\sqrt{100R^2 + 400R^2}\right)^2} \oint dl = \frac{\mu_0 m sen\theta}{4 \pi 500R^2} 20 \pi R = \frac{\mu_0 m sen\theta}{100R}$

Y así se halla el flujo del campo magnético a través de la superficie formada por la espira gracias al vector A y a la integral de línea sobre la espira, aceptando que esta aproximación sólo puede hacerse para elementos alejados de la espira pequeña que funciona como un dipolo magnético.